高一三角函数与平面向量综合题(共18页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上讲座 三角形内的三角函数问题知识梳理1.内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.，2.正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：正弦定理的一些变式：；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.3.余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. 4.面积公式：（其中为三角形内切圆半径,）.5.射影定理：ab·cosCc·co

2、sB，ba·cosCc·cosA，ca·cosBc·cosA特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。浙江真题1（2010年（18）在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值；()当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长2（2011（18）在中，角所对的边分别为a，b，c，已知且.（）当时，求的值；() 若角为锐角，求p的取值范围。3（12年样卷） (18) 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan (AB)2() 求sin C的值；() 当a1，c

3、时，求b的值例题分析【例1】 (2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理【例2】 (2011年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.求角的大小；求的最大值，并求取得最大值时角的大小.【例3】已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2，BC=6，CD=DA=4.求四边形ABCD的面积.【例4】 (2011年高考全国卷理科17) (本小题满分l0分) ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知AC=90°，a+c=b，求C.【例5】 (2011年高考山东卷理科17)（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别

4、为a，b，c.已知.（1）求的值；（2）若cosB=，,求的面积.巩固练习1.(2011年高考辽宁卷理科4)ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=则（ ） (A) (B) (C) (D)2、在OAB中，O为坐标原点，则当OAB的面积达最大值时，（ ）A B C D3. (2011年高考天津卷理科6)如图，在中，是边上的点，且，则的值为（ ）A B C D4.(2011年高考重庆卷理科6)若的内角所对的边满足，且，则的值为（A） (B) (C)1 (D) 5在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则 。6. (2011年高考全国新课

5、标卷理科16)在中，则的最大值为 。7在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（）求的值；（）若，求bc的最大值.8(2011年高考湖北卷理科16)（本小题满分10分）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为，已知.() 求ABC的周长；()求cos(AC.)9.(2011年高考安徽卷江苏15)在ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若 求A的值；（2）若，求的值.10已知在关于x的方程ax2bxc0中，a、b、c分别是钝角三角形ABC的三内角A、B、C所对的边，且b是最大边(1)求证：该方程有两个不相等的正根；(2)设方程有两个不相等的正根、，若三角形ABC是等腰三角形，求的取

6、值范围11在中，记(角的单位是弧度制)，的面积为S，且 (1)求的取值范围； (2)就(1)中的取值范围，求函数的最大值、最小值 三角形内的三角函数问题知识梳理1.内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.，2.正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：正弦定理的一些变式：；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.3.余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. 4

7、.面积公式：（其中为三角形内切圆半径,）.5.射影定理：ab·cosCc·cosB，ba·cosCc·cosA，ca·cosBc·cosA特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。浙江真题110年（18）在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值；()当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。（）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及0C所以sinC=.（）解：当a=2

8、，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4由cos2C=2cos2C-1=，J及0C得cosC=±由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±b-12=0解得 b=或2所以 b= b= c=4 或 c=4211年（18）在中，角所对的边分别为a，b，c，已知且.（）当时，求的值；() 若角为锐角，求p的取值范围。 3（12年样卷） (18) 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan (AB)2() 求sin C的值；() 当a1，c时，求b的值(18) 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。()

9、 解：由题设得tan C2，从而sin C 6分() 解：由正弦定理及sin C得sin A，sin B sin (AC)sin A cos Csin C cos A，再由正弦定理b 14分例题分析【例1】 (2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理【解析】：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积。或，证法一 ，如图即同理可证，证法二：已知建立直角坐标系，则 同理可证【例2】 (2011年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.求角的大小；求的最大值，并求取得最大值时角的大小.解：由正弦

10、定理得因为，所以.从而.又，所以，则由知，于是=因为，所以.从而当，即时，取最大值2.综上所述，的最大值2，此时，.评析：本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及运用三角公式进行三角变换的能力以及三角函数的最值、求角问题.【例3】已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2，BC=6，CD=DA=4.求四边形ABCD的面积.图415解：如图415，连结BD，则四边形面积SSABDSCBDAB·ADsinABC·CDsinCAC180°，sinAsinC，S（AB·ADBC·CD）·sinA16sinA由余弦定理：在ABD中，

11、BD222422·2·4cosA2016cosA在CDB中，BD25248cosC，2016cosA5248cosC又cosCcosA，cosA，A120°，S16sinA8.【例4】 (2011年高考全国卷理科17) (本小题满分l0分) ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知AC=90°，a+c=b，求C.【解析】：由正弦定理得，由，即A+B+C=1800 ，即，由A-C=900 得A=900+C 即 【例5】 (2011年高考山东卷理科17)（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求的值；（2）

12、若cosB=，,求的面积.【解析】（）由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.（）由（）知: =2,即c=2a,又因为,所以由余弦定理得：，即,解得,所以c=2,又因为cosB=，所以sinB=，故的面积为=.巩固练习1、在OAB中，O为坐标原点，则当OAB的面积达最大值时，（ ）A B C D2.(2011年高考辽宁卷理科4)ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=则（ ） (A) (B) (C) (D)答案： D解析：由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA，故sinB

13、=sinA，所以；3. (2011年高考天津卷理科6)如图，在中，是边上的点，且，则的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】设,则由题意可得: ,在中,由余弦定理得：=，所以=，在中，由正弦定理得，所以，解得=，故选D.4.(2011年高考重庆卷理科6)若的内角所对的边满足，且，则的值为（A） (B) (C)1 (D) 解析：选A。 由得，由得，解得5在ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则。6. (2011年高考全国新课标卷理科16)在中，则的最大值为 。7在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（）求的值；（）若，求bc的最大值.解: ()= = = =

14、() ,又当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.说明：本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理及均值不等式等基础知识，考查运算能力。8(2011年高考湖北卷理科16)（本小题满分10分）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为，已知.() 求ABC的周长；()求cos(AC.)本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力.解析：（）的周长为（）故A为锐角.9.(2011年高考安徽卷江苏15)在ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若 求A的值；（2）若，求的值.【解析】（1）因为所以解得,即A的值为.（2）因为所以所以在ABC中，由正弦定理得:,因为,所以,所以=,解得又因为,所以,解得的值为.10已知在关于x的方程ax2bxc0中，a、b、c分别是钝角三角形ABC的三内角A、B、C所对的边，且b是最大边(1)求证：该方程有两个不相等的正根；(2)设方程有两个不相等的正根、，若三角形ABC是等腰三角形，求的取值范围【解析】(1)证明：因为ABC是钝角三角形，且b是最大边，故1<cosB<0，且b2a2c22accosB.故关于x的方程的根的判别式(b)24ac2b24ac2(a2c22accosB)4ac2(ac)24accosB>0.所以，方程有两个不相等的实根(设两实根分别为，)由根与系数的关系可得