Poisson过程教学目的了解计数过程的概念掌握泊松

1、第三章Poisson过程教学目的：(1) 了解计数过程的概念；(2)掌握泊松过程两种定义的等价性；(3)掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条 件分布；(4) 了解泊松过程的三种推广。教学重点：(1)泊松过程两种定义的等价性；(2)泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布；(3)泊松过程的三种推广。教学难点：(1)泊松过程两种定义的等价性的证明；(2)泊松过程来到时刻的条件分布；(3)泊松过程的推广。3.1 Poisson 过程教学目的：掌握Poisson过程的定义及等价定义；会进行Poisson过程相关的概 率的计算。教学重点：Poisson过程的定义

2、与其等价定义等价性的证明；Poisson过程相关的概率的计算。教学难点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明。Poisson过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义定义3.1 :随机过程N(t), t20称为计数过程，如果N(t)表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：(1)N取值为整数；set时,N(s)«N(t)且N(t)-N(s)表示(s,t时间 内事件A发生的次数。计数过程有着广泛的应用，如：某商店一段时间 内购物的顾客数；某段时间内电话转换台呼叫的次数；加油站一段时间内等候加油的人数等。如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，

3、则称该计数过程有独立增量。即当ti ct2Ht3,有X(t2)-X(ti)与X(t3)-X(t2)是独立的。若在任一时间区间中的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则计数过程有平稳增量。即对一切t1 <t2及S>0,在(t1 +S,t2 +S中事件个数N(t2 +s)-N(ti +s)与区间(ti%中事件的个数N(t2)-N(ti)有相同的分布。Poission过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它 最早于1837年由法国数学家Poission引入。独立增量和平稳增量是某些级数过程的主要性质.Poisson过程是具有独立增量和平稳增量的计数过程.定义3.2 :计

4、数过程N(t), t 2 0称为参数为"九A0) Poisson过程，如果(1)N(0) =0;(2)过程具有独立增量；(3)对任意的s,t之0,P(N(t +s)-N(s) =n) =e史且 n!例3.1 :设顾客到达商店依次 3人/h的平均速度到达，且服从Poisson分布，已知商店上午9: 00开门，试求(1)从9: 00到10: 00这一小时内最多有 昭顾客的概率？(2)到9:30时仅到一位顾客，而到11:30时总计已达到5位顾客的概率？(解：见板书。)注：(1) Poisson过程具有平稳增量。(2)随机变量N(t)服从参数为九t的Poisson分布，故EN(t) = ?t

5、 (显然，可以认为九是单位时间内事件发生的平均次数，称 儿是Poisson过程的强度或速 率或发生率。)(3) lim P(N(t s)-N(s) =0) lim e-,t 1 - t o(t) lim P(N(t s)-N(s) =1)气叮 te=t o(t)lim P(N(t s)-N(s) _2) =ot p -(让同学们通过讨论来解释这几个极限结果的实际意义，适当引导学生结合实际 并应用二项分布与Poisson分布之间的关系来解释这3个极限。)根据稀有事件原理，在概率论中我们已经学到:Bernoulli试验中，每次试验成功的概率很小，而实验的次数很多时，二项分布会逼近Poisson分布

6、.这一现象也体现在随机过程中.首先，将(0,t划分为n个相等的时间小区间，则由 条件(4)'可知，当nT电时，在每个小区间内事件发生2次或2次以上的概率 t 0.事件发生一次的概率p定九白(=Kh),显然p很小,n这恰好是1次Bernoulli试验.其中发生1次为成功，不发生的为失败，再由(2)'给出的平稳增量，N就相当于n次独立Bernoulli试验中试验成功的总次数。Poissons布的二项逼近可知，N(t)将服从 参数为M白Poisson分布。(让学生讨论如何判断一个计数过程是不是Poisson过程，则必须验证是否满足(1) (3),条件(1)说明计数过程从0开始，条件(

7、2)通常可以从我么 对过程的实际情况去直接验证，然而条件(3) 一般完全不清楚，如何去判断？ 是否可以从我们所得到的Poisson过程的这三条性质来判断定义中的条件(3)是否成立？接下来就证明计数过程满足 Poisson过程定义中的条件(1)和(2)及 这里的性质的时候，该计数过程是一个Poisson过程。于是得到Poisson过程的等价定义)定义3.2 ': 一计数过程 N(t), t20称为参数为九的Poisson过程，若满足：(1)' N(0) =0;(2)1是独立增量及平稳增量过程，即任取 0 Mti t2 用 tn, n乏N ,N(t1)-N(0), N(t2)-N(

8、t1),IH,N(tn)-N(tn)相互独立；且-s,t 0, n _0, PN(s t)_N二 n二 PN(t) n(3)'对任意t >0,和充分小的h >0,有P N(t h) - N(t) =1 =U.h 二(h)(4)'对任意t > 0,和充分小的h >0,有PN(t h) -N(t) _2 - (h)定理3.1:定义3.2与定义3.2是等价的。证明：定义3.2'=定义3.2由增量平稳性,记：Pn(t) =PN(t) =n =PN(s t) N(s) =n(I ) n =0情形：因为N(t h) =0=N(t) =0, N (t h) -

9、N(t) =0, h 0我们有:P0(t h) = PN(t) =0, N(t h)-N(t) =0=P N (t) = 0P N(t h) - N(t) = 0 = P0(t)B(h)另一方面P)(h) -PN(t h) -N(t)-0-1-( ' h ： (h)代入上式,我们有:P0(th)-P°(t)二(h)- -1P° 二令hT 0我们有:霭)款:)。0(II ) n >0情形：因为:N(t h) =n =N(t) -n, N(t h) -N(t) =0LN(t)=n -1, N(t h) -N(t) =1 IN(t)-n-l,N(t h)-N(t)-

10、l故有：Pn(t h) = Pn(t)(1 - h-： (h) Pn(t)d h 二(h)二(h)化简并令hT 0得：R(t) = -，uPn十叫两边同乘以e为，移项后有：d- e'T。)-e'tPn_i(t)« dt -、P,(0) = PN(0) = n=0当n =1时，有：d.tte Pi(t)=',耳(0) =0 =Pi(t) =(，t)e-dt -由归纳法可得：('t)n，tPn(t) =e , n N0n!注意：EN(t)=M = 九=EN ,因此九代表单位时间内事件A出现的 平均次数。定义3.2二 定义3.2'，h ( '

11、 h)1PN(t h)-N=1=PN(h)-N(0)= 彳_ '(二；h)=Kh£ =，由(1 一Kh+o(h) =£h+o(h) (3)成立。nz0n!:h (' h)nPN(t h) -N(t) -2 = PN(h) -N(0) 2 = " e-n=2n!_，h L ( ' h) -,h ( h)h h二e ' - =e - -1 - 1 h -e e -1 - h n丑n!n!=1 -eh 一九he'a =o(h) (4)'成立。例3.2 :设N(t), t之0服从强度为 g向PoissorH程，求(1) PN

12、(5) = 4;(2) PN=4,N(7.5) =6,N(12)=9;(3) PN(2) =9| N=4.例3.3 :事件A勺发生形成强度为 Poisson过程N(t),t >0,如果每次事件 发生时以概率P能够被记 录下来，并以M(t)表示t时刻记录下来的事件总数，则 M,t之0是一个强度为KP白PoissorH程。例3.4 :某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女 顾客来商场的人数 假设男女顾客到达商场的人数分别是独立服从每分钟1人与每分钟2人的Poisson过程。(1)到达商场顾客的总人数应该服从什么分布？已知t时刻已有50人到达的条件下，问其中有30位是女性顾客的概率有多大？

13、 平均有多少女性顾客？作业1 :设通过某十字路口的车流可以看做Poisson过程，如果1分钟内没有车辆通过的概率为0.2.(1求2分钟内有多于1辆车通过的概率。(2)在5分钟内平均通过的车辆数。(3)在5分钟内平均通过的车辆数方差。(4)在5分钟内至少有一辆车通过的概率。3.2 Poisson过程相联系的若干分布教学目的：掌握Xn和Tn的分布；理解事件发生时刻的条件分布。教学重点：Xn,1的分布；事件发生时刻的条件分布。教学难点：事件发生时刻的条件分布。PoissonH程N(t),t *0的一条样本路径一般是 跳跃度为1的阶梯型函数。Tn :n =1,2,用是n次事件发生的时刻，也称为第 n次

14、事件的等待时间，规 定：T oO.Xn：n=1,2,|n与n-1次事件发生的时间 问隔，序歹1Xn,n之1也称 为时间间隔序列.n显然 Tn =£ Xi , Xn=Tn -Tn。 i 1接下来讨论Xn:n=1,2,|及Tn :n=1,2,|分布，先讨论X1的分布，让学生根据Poisson过程的两个等价定义中的条件来分析猜想X1的分布，引导学生用Poisson过程的平稳独立增量性和无记忆性之间的联系。复习：1.指数分布 e-，x x -01 -e-，xx -00x ： 0f(X)=0 x；0F(x)=P(XMx) = f f(t)dt = S2.无记忆性若随机变量满足 P(XAS+t|

15、XAt) = PXAS则称随机变量X是无 记忆 性的。(指数分布无记忆性).如果将X看做某仪器的寿命，则X的无记忆性表示为: 在仪器已工作了 t小时的条件下，它至少工作s+t小时的概率 与它原来至少工 作 s、时的概率是相同的。结论：若XE(Q则对任意的s0,t>0,恒有：P(X s t|X t) =PX s一、Xn和Tn的分布定理3.2 : Xn, n =1,2,川服从参数为K的指数分布，且相互独立.注：定理3.2的结果应该是在预料之中的，因Poisson过程有平稳独立增量,因此 过程在任何时刻都“重新 开始”，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一 切 （由独立增量），且有与过程完全

16、一样的分布（由平稳 增量）.换言之，过程“无记 忆 性"，与指数分布的"无记 忆性"相对应.定理3.2给出了 Poisson过程的又一种定义方法：定义3.3:如果每次事件发生的时间间隔Xi,X2,|相互独立且服从同一参数九的指数分布，这该计 数过程N（t）,t之0是一个强度为九的PoissorH程.注：如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立，且服从同一参数 为九的指数分布，则质 点流构成强度为 九的Poisson过程.定理3.2告诉我们,要确定一个计数过程是不是Poisson过程，只要用统计方法 检验点问问距是否独立，且服从同一指数分布。例3.5:设从早上

17、8Q0FF始有无穷多个人排队等候服务，只有一名服务员，且每个人接受服务的时间是独立的并服从均值为20min的指数分布，则到中午12:00为止平均有多少人已经离去，已有9个人接受服务 的概率是多少？例3.6:甲、乙两路公共汽车都通过某一站，两路汽车的达到 分别服从10分钟1辆（甲）1阳钟一辆Q）白Poisson布假定车总不会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共 汽车的乘客在此车站所需要等待时间的概率分布及其期望。定理3.3: Tn，n=1,2,“服从参数为n和九的F的分布.证明：见板书、事件发生时刻的条件分布讨论在给定N(t) = n的条件下，Ti,T2,|,Tn的条 件分布相关性质及其应用。引理：彳

18、贸设N(t),t 20是PoissonS程，则 70 <swt,有P(工 < s|N(t) =1) =s即在已知0,t内A只发生一次的前提下，A发生的时刻 在0,t上是均匀分布.因为Poisson过程具有平稳独立 增量,事件在0,1的任何相等长度的子区间内发生的概率是等可能的，即它的条件分布是0,t上的均匀分布.自然我们要问：(。这个性质能否推广到N6 = n,n . 1的情况？(2)这个性质是否是Poisson过程特有的？本定理的逆命题是否成立？首先讨论顺序统计量的性质：设丫,匕川,工是n个随机变量，如果Y(k)是Yi,Y2,W,Yn中第k个最小值，k=0,1,l|,n,则称Y(

19、i),Y,IH,Y(n)是对应于Y1,Yj|l,Yn的顺序统计量。若丫,YjM,Yn是独立同分布的连续型随机变量且具有概率密度f(y),则顺序统计量Y1),Y2),Hi,Yn)的联合密度为：nf (y1,y21H,yn) =n!i【f(yj(必 » 二川，：二 yn)i 1原因：(1)(%,%),，)将等于(y1,y2,W,yn),而(YZMLY)等于(y1, y2,lll,yn)的n!个排列中的 任一个；当(乂,五，山区)是(%)21儿外)的一个排列时,(丫"1此)等于(其返川退) 的概率密度nf(yi1,yi2川l,yin) = f(y”川1 "yj = f(

20、y" id1汪：若Y,i =1,2,llln都在(0,t)上独立同均匀分 布，(即f(yi)=?则其顺序统计量(%)，/)，| |，Y(n)的联合密度函数是 r . n!.f (%, 丫2川1, yn) =p (0 二必：v? IH,二 yn 二 t)定理3.4 :设N(t),t20为PoissorH程，则在已知N(t) = n的条件下，事件发生的n个时刻工,丁2，|,工的联合分布密度是：一， . n!，一，一 、f (tl,t2,l|,tn) = (0 二 ti r2 ：二 III,二 tn ；t)注：上式恰好是0,t区间上服从均匀分布的n个相互独立的随机变量Y,YJU,Yn的顺序

21、统计量Y(1),Y 2)川|,Yn)的联合分布。直观上理解：在已知0,t内发生了欹事件的前提下，各次事件 发生的时刻Ti，T2，HI，Tn(不排序)可看做相互独立的 随机变量，且服从0,t上的均匀分布。例3.7:(见书)乘客按照强度为入的Poissons程来到某火车站，火车在时刻t启程，计算N(t)在(0,t内达到的乘客等待时间的总和的期望值，即要求 e£ (t-Ti),其中Ti=1是第i个乘客来到的时刻。例3.8:(见书例3.6)考虑例3.3中每次事件发生时被记录到的概率随时间发生变化的情况，设事件A在s时刻发生被记录到的概率P(s),若以M(t)表示t时刻被 记录的事件数，那么它

22、还是Poisson程吗？试给出M(t)的分布。3.3 Poisson过程的推广教学目的：掌握非齐次Poisson过程的定义；了解非齐次Poisson过程与Poisson 过程之间的联系；理解复合Poisson过程的定义；掌握复合Poisson过程的性质； 了解条件Poisson过程的定义；掌握条件Poisson过程的性质。教学重点：非齐次Poisson过程与Poisson过程之间的联系；复合Poisson过程 的性质；条件Poisson过程的性质。教学难点：非齐次Poisson过程与Poisson过程之间的联系。一、非齐次Poisson过程当PoissorM程的强度K不再是常数，而与时间t有关

23、系时，Poisson±程被推广 为非齐次Poisson过程。一般来说，非齐次PoissonS程是不具备平稳增量的(例如书例3.6)在实际中， 非齐次Poisson过程也是比 较常用的.例如在考虑设备的故障率时，由于设备使 用年限的变化，出故障的可能性会随之变化；放射性物质的衰变速度，会因各种外 部条件的变化而随之变化;昆虫产卵的平均数量随着年龄和季节而变化等在这样的情况下，再用齐次Poissons程来描述就 不合适了，于是改用非齐次Poissons 程来处理。定义3.4:计数过程N(t), t20称为参数为九。)1圭0的非齐次Poisson过程, 若满足： N(0) =0;(2)过程

24、有独立增量；(3)对任意t > 0,和充分小的h>0,有PN(t h) -N(t) =1 = (t)h 二(h)对任意t>0,和充分小的h >0,有PN(t h) -N(t) -2 u - (h)t在非齐次poissonS程中，均值 m(t) = (K(s)ds.非齐次Poisson过程有如下等价定义:定义3.5 :计数过程N,t之0称为参数为Mt),t00的非齐次Poisson过程,若满足: N(0) =0;(2)过程具有独立增量；t “s(3)对任意实数 t >0,s>0,N(t +s) N(t)具有参数为 m(t+s)-m(t) = ( K(u)du的

25、Poisson分布。m(t s) -m(t)可证：P( N (t s)-N(t) = n) =exp -(m(t s) -m(t)- n!注1：我们称m(t)为非齐次poisson过程的均值或强度。注2:定义3.4与定义3.5是等价的。定理3.5 :设N(t), t之0是一个强度为K(t),t之0的非齐次Poisson过程,对任意 实数t “，令N*(t) = N(m,(t),则N*(t)是一个强度为1的齐次Poisson过程。注3:用此定理可以简化非齐次 Poisson过程的问题 到齐次Poisson过程中 进行讨论。另一方面也可以 进行反方向的操作，即从一个参数为的Poisson构造一个强

26、度函数为的非齐次Poisson过程。定理3.5 '：设M (u),u20是齐次PoissonS程，且九=1.若强度函数 t>.(s),s>0,令m(t) = j/(s)ds, N(t) = M(m(t),则N(t)是具有强度为 K(s)的 非齐次Poisson过程。(一般了解)例3.9:(见书)设某设备的使用 期限为10年，在前5年内它平均2.5年需 要 维 修一次，后5年平均2年需要维修 一次。试求它在使用期内维修过 一次 的概率。二、复合 Poisson 过程定义3.6:称X,t之0为复合PoissorH程，如果对于t之0,X(t)可以表示N(t)为：X(t) = E Y,其中N(t),t 20是一个 Poisson程,Y,i =1,2| 是一族独立同 i