3.2导数与函数的综合问题

1、第3课时导数与函数的综合问题题型一导数与不等式命题点1证明不等式一，-. .x 1典例(2017贵阳模拟)已知函数f(x)= 1x g(x)=xln x.e(1)证明:g(x)>1;,1(2)证明：(x ln x)f(x)>1 -2. ex 1证明 (1)由题息得 g (x) =(x>0),x当 0<x<1 时，g' (x)<0.当 x>1 时，g' (x)>0,即g(x)在(0,1)上为减函数，在(1, + 8)上为增函数.所以 g(x)> g(1) = 1,得证.x-1x-2(2)由 f(x)=1-x-,彳导 f (x)

2、 = x-, ee所以当 0<x<2 时,f' (x)<0,当 x>2 时,f (x)>0, 即f(x)在(0,2)上为减函数，在(2, + 8)上为增函数，1所以f(x)Rf(2)=1 一3(当且仅当x=2时取等号).又由(1)知xln x> 1(当且仅当x=1时取等号)， 且等号不同时取得,所以(x ln x)f(x)>1 12. e命题点2不等式恒成立或有解问题. . 一 1 + ln x典例(2018大同模拟)已知函数f(x)= x(1)若函数f(x)在区间a, a + 1、存在极值，求正实数 a的取值范围;(2)如果当x>1时，

3、不等式f(x)>x77恒成立，求实数k的取值范围解(1)函数的定义域为(0, +8),1T In x In x f (x) = -x2一,令，(x)=0,得 x= 1.当 xC (0,1)时，f' (x)>0, f(x)单调递增;当xC(1,+8)时，(x)<0, f(x)单调递减.所以x= 1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点,一,1所以 0<a<1<a + 2, 故2<a<1,即实数a的取值范围为 g 1 jx+ 1 1 + In x(2)当x> 1时，kw14植成立,x令 g(x) =x 1 1 In x(x>1)

4、,则 g' (x) = + ln x+1 + x-(x+1 T+ln x) x-ln x1 一再令 h(x)=xln x(x> 1),则 h (x)=1 x>0, 所以 h(x)> h(1)= 1,所以 g' (x)>0,所以g(x)为单调增函数，所以g(x)>g(1)= 2,故kW2,即实数k的取值范围是(一°0,2.引申探究k本例(2)中若改为：？ xoC 1, e,使不等式f(xo)>成立，求实数k的取值范围.xo+ 1x+ 1 1 + In x解,解 当 xC1, e时，k<-b'x+ 1 1+ ln x令 g

5、(x)= Y (x C 1 , e),由例(2)解题知, x _ 2g(x)为单倜增函数，所以 g(x)max= g(e)= 2+二, e2 r I所以kw 2+-,即实数k的取值范围是思维升华(1)利用导数证明不等式的方法 证明f(x)<g(x), xC (a, b),可以构造函数 F(x) = f(x) g(x),利用F(x)的单调性证明.(2)利用导数解决不等式的恒成立问题的策略首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围.也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.跟踪训练 已知函数f(x) = ax+ln x, xC 1, e,若f(x)W0恒成立，求实数a

6、的取值范围.解 . f(x)< 0,即 ax+ln x< 0 对 x 1 , e恒成立，. ” 一号，xC 1 , e. x令 g(x)=- 1nA x 1 , e, xIn x 1则 g' (x)= 2, xx 1 , e, /. g ' (x)< 0,，g(x)在1 , e上单调递减，1g (x)min g (e), e.1.a w e.实数a的取值范围是-8, - e 题型二利用导数研究函数的零点问题“一一1师生共研 典例(2018洛阳质检)已知函数f(x)= xln x, g(x) = x2+ax3.对一切xC(0, +8), 2f(x)>g(x

7、)恒成立，求实数 a的取值范围；(2)探讨函数F(x)=1n x- /+ex是否存在零点？若存在，求出函数 F(x)的零点；若不存在，请 说明理由.解 (1)由对一切 xC(0, +8), 2f(x)>g(x)恒成立，即有 2x1n x> x2+ ax 3.3,、即aw 21n x+x+ 恒成立，x3 令 h(x)= 2ln x+ x十 一,x2,则 h，(x)=+1=x+2r3 x x xx+3 x1当x>1时，h' (x)>0 , h(x)是增函数, 当 0<x<1 时，h' (x)<0, h(x)是减函数, a W h(x)min

8、 = h(1) = 4.即实数a的取值范围是(一8, 4,(2)令 F(x)=0,得 ln x-Jx+|-=0, e exx 2即 xln x= -x- (x>0). e e易求f(x)=xln x(x>0)的最小值为f11 1e 厂e,设()(x)=exx21 xe(x>0),贝U 力(x) = -e, 当xC (0,1)时，/(x)>0, ©x)单调递增;当xC(1, +8)时，力(x)<0, (f(x)单调递减.1. .(j)(x)的取大值为(j(1)= - 一 ex 2.对 xC (0, + oo),有 xln x>ex-e恒成立, 即F(

9、x)>0恒成立，.函数F(x)无零点.思维升华利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略 研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题.可利 用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据 图象判断函数的零点个数.跟踪训练(1)(2017贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为1,4,部分对应值如下表:x10234f(x)12020f(x)的导函数y=f' (x)的图象如图所示.当1<a<2时，函数y= f(x) a的零点的个数为()A. 1C. 3答案 D解析根据导函数图象知,B. 2D. 42是函数的极小值

10、点，函数 y=f(x)的大致图象如图所示.由于f(0) = f(3) = 2,1<a<2,所以y= f(x) a的零点个数为 4.(2)已知函数f(x)=ax3-3x2+ 1,若f(x)存在唯一的零点 xo,且x0>0,则实数a的取值范围是不合题意，故 aw 0,，(x) = 3ax26x= 3x(ax答案( 8, 2)解析 当a=0时，f(x)= 3x2+1有两个零点, 2),人一，.一-2令 f (x) = 0 ,得 xi = 0, x2 = aa<0.若a>0,由三次函数图象知 f(x)有负数零点，不合题意，故由三次函数图象及 f(0) = 1>0知,

11、即ax：一3X卫7+1>0,化简得a2 - 4>0,又a<0,所以a< 2.题型三利用导数研究生活中的优化问题一-*师生共研典例 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=-a- + 10(x6)2,其中3Vx<6, a为常数.已知销售价格为5元/x 3千克时，每日可售出该商品 11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为 3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解 (1)因为当x=5时，y=11,所以02+ 10=11,解得 a=2.(2)由(1)可知，该商品每

12、日的销售量为y=-2+ 10(x6)2.x 3所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x) = (x-3)2Ix-3+ 10(x6= 2+10(x-3)(x-6)2, 3<x<6.则 f' (x)= 10(x6)2 + 2(x3)(x6) = 30(x 4)(x 6).于是，当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f' (x)十0一f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，当x=4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值.所以，当x=4时，函数f(x)取得最大值且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售

13、该商品所获得的利润最大.思维升华 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的 函数关系式y=f(x).(2)求函数的导数f (x),解方程f (x)=0.(3)比较函数在区间端点和f' (x)=0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题，结合实际问题作答.跟踪训练 某品牌电动汽车的耗电量 y与速度x之间的关系为y=3x3-49x2-40x(x>0),为使 耗电量最小，则速度应定为 .答案 40解析 令 v' =x2-39x- 40=0,彳导 x= 1 或 x=40,由

14、于当 0<x<40 时，v' <。；当 x>40 时，V, >0.所以当x=40时，y有最小值.-审题路线图一审条件挖隐含典例(12 分)设 f(x)="xln x, g(x)=x3x23.(1)如果存在x1, x2C0,2使得g(x1) g(x2)>M成立，求满足上述条件的最大整数M;(2)如果对于任意的s, tC2 I,都有f(s)>g(t)成立，求实数a的取值范围.审题i路线图(1)存在 xi, x2C0,2使得 g(xi)-g(x2)> MJ (正确理解“存在”的含义)g(xi)-g(x2)max > MJ挖掘g(

15、xi)g(x2)max的隐含实质g (x) max g (x) min > MJ求得M的最大整数值(2)对任意s, te击2%有f(s) > g(t)J (理解“任意”的含义)f(x) min 旬 g (x) maxJ 求得 g(x)max= 1& + xln x> 1恒成立xJ分离参数aa>x x2ln x恒成立J求h(x)= x x2in x的最大值a> h(x)max= h(1)= 1Ja> 1规范解答2 3 .解(1)存在 x，x26 0,2使得 g(x1) g(x2)>M 成立，等价于g(x1)一 g(x2)max> M.2 分

16、 由 g(x)= x3 x2 3,得 g' (x)=3x22x=2令 g (x)>0，得 x<0 或 x>",3一 一 一， ，一一 一 2又xC 0,2,所以g(x)在区间0, 3单调递减，在区间J, 2单调递增，所以g(x)min = gj3j8527' g(x)max= g(2) = 1.112故g(x。一 g(x2)max =g(x) max-g(x)min = -27>M,则满足条件的最大整数M =4.5分 (2)对于任意的s , tC七，2 L都有f(s)>g成立，等价于在区间；2 I上，函数f(x) min 封 g(x)ma

17、x.7 分由(1)可知在区间 2,g(x)的最大值为g(2)=1.，一一 一1 在区间4,2即函数h(x) =x- x2ln x在区间2, 1，上生单调递增,在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)max=h(1),f(x) = a+xln x>1恒成立等价于a>x-x2|n x恒成立. x设 h(x)=x x2ln x, h' (x)=12xln x-x,可知 h' (x)在区间 J, 21上是减函数，又 h' (1) =0,1.所以当 1<x<2 时，h (x)<0;当 2Vx<1 时，h (x)>0.10 分=1, 所以a

18、> 1,即实数a的取值范围是1, +8). 12分x(一 00 , 一 1)1(-1,1)1(1 , + 8)y，十0一0十yc+2c-2力基础保分练课时作业1 . (2018天津调研)已知函数y=x33x+ c的图象与x轴恰有两个公共点，则 c等于()A. 2 或 2B. 9 或 3C. 1 或 1D. 3或 1答案解析. y' =3x2-3,，当 y' =0 时，x= ±1.则当x变化时，y' , y的变化情况如下表:因此，当函数图象与 x轴恰有两个公共点时，必有c+ 2=0或c2=0,，c=2或c=2.2. (2017福建莆田一模)定义在R上的函数

19、f(x)的导函数为f' (x), f(0) = 0.若对任意xCR,都有f(x)>f' (x)+1,则使得f(x) + ex<1成立的x的取值范围为()A. (0, i )D. ( 8, 1)B. ( 8, 0)C. (1, +8 )答案 A解析构造函数g(x) =f(x )- 10-1，则 g(0) = 丁 =T.e.对任意 xC R,都有 f(x)>f' (x) + 1,g' (x) =f' (xexf(x 尸 1exex2f' (x>1f(x)一<0,函数g(x)在R上单调递减.f(x . 1由 f(x) +

20、ex<1 化为 g(x)= x < 1 = g(0), ex>0.使得f(x)+ex+ 1JX+ 3) .当 xC (0,1)时，g' (x)>0, g(x)单调递增，当 xC (1 , + 8)时，gz (x)<0, g(x)单调递减，函数g(x)max= g(1) = 4,所以 a> g(x)max = 4 ,即 aa > 4.4,若函数f(x) = 2x3 9x2+12x a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()A. 4 B. 6 C. 7 D. 8答案 A解析由题意得 f' (x)=6x2 18x+12 = 6(x 1)(x-

21、 2),由 f' (x)>0,得 x<1 或 x>2,由 f' (x)<0,得 1<x<2,所以函数f(x)在(一8, 1), (2, + 8)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1), f(2).若函数f(x)恰好有两个不同的零点，则 f(1) = 0或f(2) = 0,解得a=5或a=4,故选A.5.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)= j400x-2x ? 0<x< 400 ?则总利润最大时，年

22、60 000, x>400,产量是()A. 100B. 150C. 200答案 D<i成立的x的取值范围为(0, +8).3. (2018届全国名校联考)若不等式2xln x+ x2+ax+ 3>0对xC(0, 十°o)恒成立，则实数 a可取的值组成的集合是()A. a| 4<a<0B. a|a>- 4C. a|0<a<4D. a|a>4答案 B解析由题意得ax> -2xln x-x2-3,3人，、3IP a> 2ln x x一二 令 g(x)= 21n xx- xx2n qx 2x+ 3则 g (x)= 1 + -2

23、=2D. 300x x x解析 由题意得，总成本函数为 C(x) = 20 000+100X,x7在(2,4上单倜递增，而f(1) = 2+ 8-5 = -, f(4) = 8+2-5=5,所以函数f(x)在M上的最大值 为5,故选B. 7. (2017安徽江南名校联考)已知xC (0,2),若关于x的不等式<二2匕2恒成立，则实数k 的取值范围为.答案0, e-1) 解析由题意，知k+ 2x-x2>0. 即k>x22x对任意xC (0,2)恒成立，从而 k>0, 因此由原不等式，得k<e" + x22x恒成立. 300x- - 20 000, 0<

24、;x< 400,总利润P(x)=<260 000- 100x, x>400,300-x, 000,又 P' (x) = f |100, x>400,令P' (x)=0,得x= 300,易知当x= 300时，总利润 P(x)最大.6.(2018 厦门调研)已知 f(x) = x2+b+ c(b, c 是常数)和 g(x)=；x+!是定义在 M = x|1< x< 4 x xx上的函数，对于任意的 xC M,存在 rC M 使得 f(x)>f(x0), g(x)>g(x0),且 f(x0) = g(x0),则 f(x)在M上的最大值为

25、()7A.2B. 5C. 6D. 8答案 B解析 因为当xC1,4时，g(x)=1x+%2g=1(当且仅当x=2时等号成立)，所以f(2) = 2b-i,b,12b b,b x - b+ 5 + c= g(2)=1,所以 c=- 1-2,所以 f(x)=2x +x- 1所以 f (x)=x£=-x2-.因为f(x)在x= 2处有最小值，且 xC 1,4,所以f (2) = 0,即b=8,所以c=5,经检验，b1 2 8，KJ x 一一. =8, c= 5符合题意.所以f(x)=2x+；5, f (x) = x2-,所以f(x)在1,2)上单倜递减，令 f(x) = +x22x,则 f

26、' (x) = (x-1)件+2 ) xx令 f' (x)=0,得 x=1,当 xC (1,2)时，f' (x)>0,函数 f(x)在(1,2)上单调递增，当 xC(0,1)时, f' (x)<0,函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以k<f(x)min = f(1) = e 1,故实数k的取值范围为0,8,直线x=t分别与函数f(x)=ex+ 1的图象及g(x)=2x1的图象相交于点 A和点B,则|AB| 的最小值为答案 42ln 2解析由题意得,|AB|=|et+1 (2t1)|=|et-2t+2|,令h(t) = et-2t+2,则 h

27、，(t)=et-2,所以h在(一00 , in 2)上单调递减,在(in 2, + 8)上单调递增, 所以 h(t)min= h(ln 2) =4- 2in 2>0 , 即|AB|的最小值是 4 2ln 2.9. (2018郑州调研)已知函数f(x)=ax3-3x+1对xC (0,1总有f(x)>0成立，则实数a的取值 范围是 答案4, +oo )解析当xC (0,1时，不等式o3x-13x-1ax33x+1>0 可化为 a>-l,设 g(x) = -3, xC (0,1,则 xxg' (x)=3x3(3x1 ) 3x26x2 x4.易知当x =,g(x)max

28、=4,实数a的取值范围是4, +8).10. (2018佛山质检)定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(3) = 0,且不等式f(x)> xf' (x)在(0, + oo)上恒成立，则函数 g(x)=xf(x)+lg|x+ 1|的零点个数为 答案 3 解析定义在R上的奇函数f(x)满足: f(0)=0=f(3)=f(-3), f(-x)=-f(x), 当 x>0 时，f(x)>xf' (x),即 f(x) + xf' (x)>0,，xf(x)' >0,即 h(x) = xf(x)在 x>0 时是增函数,又 h( x)= xf(

29、 x)= xf(x),1- h(x)=xf(x)是偶函数，当x<0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R,且 f(0) = f(3) = f(3)=0,可得函数yi = xf(x)与y2= lg|x+1|的大致图象如图,由图象可知，函数 g(x)=xf(x)+lg|x+ 1|的零点的个数为 3.11. (2017 全国出)已知函数 f(x) = x-1-aln x.(1)若f(x)>0,求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n, !j+2)!j + 212/+2<m,求m的最小值.解(1)f(x)的定义域为(0, +8),若aw 0,因为f&= 2+ain

30、2<0,所以不满足题意；a x 一 a若 a>0,由 f' (x)= 1-x-= -x-知，当 xC(0, a)时，f' (x)<0;当 xC(a,+8)时，(x)>0,所以f(x)在(0, a)上单调递减，在(a, + 00)上单调递增，故x = a是f(x)在x (0, + 8)上的唯一极小值点也是最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当 a=1时，f(x)>0,故 a= 1.(2)由(1)知当 xC (1, +8)时,x- 1- ln x>0,令 x=1 + 2n 彳导 ln j + 2n/<2n,从而皿,+ 2 *1111+ i

31、n , + 2n)<2+ 22+ 2ni1 /=1 2n<1.Me，而1+2为+22)一 1135c1 + 23 r *>2,所以m的最小值为3.12. (2017广州调研)已知函数f(x)=ex m-x,其中m为常数.(1)若对任意xC R有f(x)>0恒成立，求m的取值范围；(2)当m>1时，判断f(x)在0,2m上零点的个数，并说明理由.解(1)由题意，可知fz (x) = ex m-1, 令 f' (x)= 0,得 x= m.故当 xC (8, m)时，ex-m<1, r (x)<0, f(x)单调递减;当 xC (m, 十 °

32、;°)时，ex-m>1, fz (x)>0 , f(x)单调递增.故当x= m时，f(m)为极小值也为最小值.令 f(m)= 1 m>0,得 m< 1,即对任意xC R, f(x)>0恒成立时，m的取值范围是(一00, 1.(2)f(x)在0,2 m上有两个零点，理由如下：当 m>1 时，f(m) = 1 m<0. f(0) = e m>0, f(0) f(m)<0,且 f(x)在(0, m)上单调递减, f(x)在(0, m)上有一个零点.又 f(2m)=em 2m,令 g(m)=em2m,贝Ug' (m) = em 2

33、, .,当 m>1 时，g' (m)=em 2>0, ，g(m)在(1, + 8)上单调递增.1. g(m)>g(1) = e 2>0 ,即 f(2m)>0. . f(m) f(2m)<0, . f(x)在(m,2m)上有一个零点. 故f(x)在0,2 m上有两个零点.力技能提升练13. (2018届中山一中测试)已知a, bCR,直线y=ax+ b +万与函数f(x) = tan x的图象在x=：处相切，设g(x) = ex+bx2+a,若在区间1,2上，不等式mWg(x) wm22恒成立，则实数4m有()A.最大值eB.最大值e+1C.最小值eD

34、.最小值e答案 B解析 由f，(x)=,可得f'，T = 2, cos x. 4-4尸一1,所以直线y=ax+ b + 2与函数f(x) = tan x的图象的切点为一工，一1因此a =2, b= - 1, g(x)=ex x2+ 2,所以当 xC 1,2时，g' (x)= ex- 2x>0 , g(x) = exx2+2 单调 递增，所以 g(x)min=e+1, g(x)max= e22.所以 ew mw e+1 或 mw e.14. (2018届全国名校联考)已知函数f(x) = 3ln x 52+2x 3ln 3-3,则方程f(x) = 0的解的 个数是.答案 11 O3解析 因为 f(x) = 3ln x- 11x2+2x3ln 3-3,23 x + 2x+ 3所以 f (x)=3-x+2=xx