2021届河北省衡水中学高三上学期一调考试数学(理)试题Word版含解析

1、2021届河北省衡水中学高三上学期一调考试数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题 一项是符合题目要求的.）1.已知集合 P x log2 x 1 , Q x|x 111A.0,-B ,122（理）试题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有,则 pQq （）1C. 0,1D ,1,2【解析】r试题分析工由题意得1 P=x|log2x<：-1 =< jcO<x<- L 2=x|c| <l! LJ所以尸CIG ="|。<工< Jh故选A.考点：集合的运算.2.已知i为虚数单位，复数A. 12【答案】C【解析】试题分析：由题意得， z考点

2、：复数的运算.3.如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）z满足1.3iB.,22D.,2161 i31 3i 22 2 3i1 i2 2 . 3i-2 ,故选C.4A. 8【答案】BB. 12C. 18D. 24【解析】*题分析；由曲意得；根据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的 组合体，耳中三棱锥的体为匕。;海;x4m3x2 = 4三棱柱的体积九。多= 2x4 = 8,所以该几何体的体积为V =12,故选职考点：几何体的三视图及几何体的体积.【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运

3、算能力及空间想象能力, 属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原 几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图，得出该几何体是一个三棱锥与三棱柱的组合体，即可求解该组合体的体积.学科244.已知命题p：万程x 2ax 1 0有两个实数根；命题 q：函数f x x 的最小值为4 .给 x出下列命题：p q;p q;p q; p q .则其中真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】试题分析：由 （2a）2 4 （ 1） 4a2 4 0,所以方程x2 2ax 1 0有两个实数跟，所以命题p是真命题；当x 0时，函数f x

4、 x 4的取值为负值，所以命题q为假命题，所以 p q , p q,xpq是真命题，故选C.考点：命题的真假判定.5.由曲线yJx,直线y x2及y轴所围成的图形的面积为（A.103B. 416【答案】C【解析】试题分析；由方程组解得工=1式*=4,所以所围成的图形的面积为S =rA-（元-2）血Y jM 故选 c.考点：定积分求解曲边形的面积.26.函数 f x 7 11 excosx的图象的大致形状是（【解析】B.试题分析：由题意得,cosxxJ cos x ,所以 ecos( x)ex 1cosx f (x),所以函数为奇函数,图象关于原点对称，排除选项A, C;令 x 1 ,则必 co

5、s11 e0 ,故选B.考点：函数的奇偶性及函数的图象.7.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A.1321B. 2113C. 113D.138【答案】D【解析】试题分析：程序在运行过程中各变量的值如下表示；循环前/=L1y = Ln =2 ,第一图盾球,x=L了 =2户=M j第二屈盾环/ £= 2了 =t苫=5 j第三欠循环?丈=3、尸=51胃=8：第四次循环，x = 5,j = 8.2r=L3第五次循环,x= 4丁 = 1Xz=21j第六;欠时终止循丽 此时输出结果工二故选D.% 8考点：程序框图的计算.8.定义在R上的函数f x满足f xf x 1, f 04

6、 ,则不等式ex f xex 3 (其中e为自然对数的底数）的解集为（）A.0,【答案】A【解析】试题分析：设g xf x f x1,所以xxe f x e ,xf x f (x) 1R,则gB.,0 U 3,D.3,x ex f x0 ,所以g xexf (x) ex0,所以yexf x f （x） 1,因为g x是单调递增函数，因为exf xex 3,所以 g x 3,又因为 g 0e0 f 0 e0考点：利用导数研究函数的单调性.9.若实数 a , b , c, d 满足 b a2 3ln a3 ,即 g x g 0，所以x 0 ,故选A.222c d 20,则ac b d 的最小值A.

7、B. 2C. 2/2D. 8【解析】 试题分析因为实数口区城满足化+M-y+ra+2”3所以八成=0,设 办=yR=Xj贝府）=3加工一，由Ld+2二G,设d=步国二工，贝捕步二工+2，所以（口一耳，十住一 就是曲线了二3，#-£与直线y=#+2之间的最小距离的平方值，对曲线y =3加工-£求导；333，'二一一2莫与平行尸=亢+2平行的切线斜率七二1二一一2元，解得工二1或工二一三（舍去只把工二1代人 xx2了二3加工-d,解得y二-L即切点、则切点到直线，二又十2的距离为上;以/=口即（旷+住的最小值为E,故选D.考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程及其应用.

8、10.已知f1,021,x1.存在x X 0 ,使得f x1f x2，则x1 f x2的取值范1,2212121围为（B.2,1C.2 .23【解析】试题分析：作出函数1,021,xx 1,的图象，如图所示,1,因为存在x2, X 当 x2x10时,f x1f x2，所以x11111一,因为x 在0,一）上的最小值为一,22222,11在，2）上的最小值为火,2所以x11 _222xixi因为f(xi)xi1,f x1f x22x11 f x2X f(x1)1人2/令y2x11一),所以221 、，X 一为开口向上，对称轴位 12 12 1 12 122为x1上抛物线，所以 y x12 -在区

9、间X，一）上递增，所以当 x 时，y 4212224112 1 1x 一时，y ，即xjf x2的取值范围是，一，故选A.22242考点：对数函数的图象及二次函数的性质.1 Q 9211.设函数f x -x3 x2 3x,若方程f x t f x 1 0有12个不同的根，则实数t的3取值范围为（）A. 2B ., 2C ,34, 2D ,1,23 ,15【答案】Cr解析】试题为析：因为工）二3工3+/-3工，所以/工）=*' + 2工-3=0,解彳导丈二一3»了=1,由f （力。解 得“1或内"即图数在（3ML”上单调速麻由/0解得3胃卜即图教在（一3,1） 上单调

10、递遍 则的数的极大值为/（7）二9、函数的极小值为/二“粮据函数的图象可知,设 » =相，可知疗+酗+1_=01伸方程有12不同的根,则亦+的+1=0应在0$内有两个不同的根,盘一03f 534（设+tm+19 则，0 -解得弓，2所以实数£的取值范围为上 二1nIA=?-40选C.考点：根的存在性及根的个数判断.【方法点晴】本题主要考查了方程中根的存在性及其方程根的个数的判读，其中解答中涉及到函利用导数 研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，以及数与方程思想的应用、试题有一定的难度，属 于中档试题，解答中利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解答

11、问题的关键，着重 考查了学生转化与化归思想、推理与运算能力.12.设曲线f xex x （e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为11,总存在曲线g x 3ax 2cosx上某点处的切线 L 使得11 L 则实数a的取值范围为（）2 11 2A.1,2B . 3,C.-,1D .-3 33,3【答案】D【解析】试题分析:由R ,得,二又匚1,因为所以,由 £ +1W（X）=+ 2cos遥, 得 Z （句=3序2sia x 3 兄2s<ajc E 2,2 . 所以 3a- 2&in jc £2 +3a| ?要使过曲线/日）二Tr上任意一点的切线彳，总存在过曲线g

12、（x）=3奴+Z8SX上一点处的切线J使得.乜，贝此.1 ，解得-曰52,故选D.2+3a> I33考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究过曲线在某点的切线方程，其中解答中涉及到函数的求导数的 公式、两条直线的位置关系的判定与应用，解答此类问题的关键在于把问题转化为集合之间的关系，列出 不等式组求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用.第R卷（非选择题共90分）、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分.）y x,13.设m 1 ,变量x , y在约束条件y mx,下，目标函数z x

13、 my的最大值为2,则x y 1【答案】m 12rwi试题分析；因为胡由约束条件了应，作出可行域j如图所示p直线与直线与十 =1交于 卜十”1（工，二,目标函数"二又十而对应的亘线与直线）二皿垂直，目在（工,二）处取得最大值， m +1 m +1m + 1 m + 1由题意得可知匕巴=2,且应L解得相=L+点.m + 1考点：简单的线性规划的应用.14 .函数y ex mx在区间0,3上有两个零点，则 m的取值范围是 3【解析】xX Xe x e e (x 1)2 2,可得xx所以当x 1时，函数f x取得极小值，同时也xx试题分析：由题意得 y ex mx 0 ,得m 且，设f x

14、 xxf x在区间（1,3）上单调递增；在区间（0,1）上单调递减,是最小值f 1 e,因为当x 0时，f x3 e ，当x 3时，f 3，所以要使得函数 y e mx33 e 在区间（0,3上有两个零点，所以实数 m的取值范围是e m .3考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值）15 .已知函数f xx3 3mx2 nx m2在x 1时有极值0 ,则m n【答案】11试题分析：因为= V+3而2J所以=%C*+6/3十%所以<?L+3m 7t+电-。,解得冽：或咖' 当ni=L胃=3时f函数工）二jc3十3f+3工+L则 3-6m+H = 0«=9n = 3、，/

15、（X）= 3x2 +6jc+3 =3（x+1）3 > 0 ,函数在龙单调遑僧函数无极值，所以陋+河=11.考点：利用导数研究函数的极值.【方法点晴】本题主要考查了利函数在某点取得极值的性质，其中解答中涉及到了应用导数研究函数的单 调性与极值、函数的极值的性质等知识点的考查，利用导数研究函数的极值时，若函数子啊取得极值f （x0） 0,反之结论不成立，即函数由f （x0） 0 ,函数在该点不一定是极值点（还得加上两侧的单调性的改变），防止错解，属于基础题.16 .定义在R上的函数f x满足：f x f x x2,当x0时，fx x ,则不等式，1，f x 一 f 1 x x的解集为2【答案

16、】x - 2【解析】试题分析:因为定义在R上的心数八目涓足：-工）+ /0）= 一,所以两边求导，得 一广（力十/'（力=24 ,所以/（力=/（兀）十2苒，令xaO,见工。!因为当工。时，（力*巧 所以一（一力所以/（力/2比-巧 又73”/直线，三互过原点仃所以，（0）。，所以者崎令 F（K）=/（X）由一K,则 = 十/（I力1VK+1-N 1=G,即 尸（G是房上的单调递减函数,且串）=%所以不等式/（»十;占/。4+又，即网其后o,即 产a七产所以工43.考点：抽象的性质及其应用.【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质及其应用，其中解答中涉及到利用到导数研究函数的

17、单调性、函数单调性的应用、不等式的求解等知识点的考查，同时考查了构造函数研究函数性质的能力，其中根据 题设，利用导数研究出函数的单调性是解答的关键，着重考查了转化与化归思想及学生的推理与运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .（本小题满分12分）在 ABC中，a, b, c分别为角 A, B, C所对的边，且 -a- .cos A 2cos B 3cos C（1）求角A的大小；（2）若 ABC的面积为3 ,求a的值.【答案】（1） A；（2） a 75.4【解析】sin A sin B sinC试题分析：（1）根据正弦定理化简得,即可得

18、到tanB 2tan A,cosA 2cos B 3cosCtanC 3tan A,利用三角恒等变换，可知求解tan A 1,即可求解角 A的大小；（2）利用正弦定理得出sin Bb a ,代入三角形的面积公式，即可求解 a的值.sin A试题解析：Cl) Vsini/ siaBcos/ 2cosB 3cosc staCco&A 2&q&£ SeosCnn (aa£ tauC _,/ 八 r 4tan A =j 则 lan.E =2taaX , tan C = 3 Ian A .23又在 ABC 中 j tan A = -lanf B + C)=-

19、用 +。一£ 1tantanC则“空怒暇解得ME二 tan d = -1或d =L当加nW-1时尸i3fl月=-2,则*尸君均为钝角a与1+月+C=ji 矛盾,故舍去,故='则人?(2)由 tan A 1 可得 tanB 2 , tanC 3,则sinB 丁, sinC_3_103.b 0 ,求实数b的取值范围.在ABC中有一, sin A sin B2_则b sinBa辜也a,sin A ,25V则 SABC -absinC -a 20a33a-ABC 225105考点：正弦定理；三角形的面积公式.18 .(本小题满分12分)一一12 一函数 f(x) ln x -ax2

20、2x.(1)当a 3时，求f x的单调区间;(2)若 a 1,、一 1, 、 一 13【答案】(1)增区间是 01 ,减区间是 1； (2)333'2'【解析】试题分析：m 代人口二箝 求解更故的导额,利用，（工），0和1（工）<外 即可求解/（力的单调区间jJ设出新函口1f1（2）对于任意。匕（-L+®）, In工一一皿3 -2工C6恒成立j转化为hiKtEC 2/2教式丈）=）即可利用新函额的性质即可求解实数5的取值范围. Ju试题解析：，（二）二一至七2 （x>0）,i >*,oi 时，/'0)aO, /(n)单增XE歹Maj时，、/（

21、力单瓶（2）首先，对于任意a 1, ln x1 2 ax22x b恒成立，则b ln x1 2-ax 22xmax因为函数ha lnx 1ax2 2x所以h2h 1 1x2 2x2其次,1,e，使不等式2x2x ln x ,min g2xln x 在 1,上是减函数,2x ln xIn x成立，于1 x2 2x ln2xmin即b的取值范围是0,32,所以函数g x在1,e上是增函数，于考点：利用导数研究函数的单调性及其最值.19 .（本小题满分12分）在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a,求cosA cosC的值.(1)求sin B的值;（2）若a , b , c成等差数列，且公差大

22、于 0 ,【答案】（1） sinB 也；（2） cosA cosC4【解析】 试题分析：（1）根据正弦定理得 4sin Bsin A "sin A,即可求解sinB的值；（2）已知和正弦定理以及(1)得sin/十siuC三立，役gsd-gfiC=工，列出关于兀的方程，即可求解工的值J从而求解8、a - 8$c,试题解析:<1)由4""=岛下根据正弓建理得4行113点。4 =后就111所以以疽田二一.,7分4(2)由已期口正弦定理以及 得sin / + sia C =.2,设8S4-8fiC=JCj7，+0，i 得2 -2ocs(X+C)=一 + /.丫分4a

23、 <b<c , A<£ < C ；所以、00 < 6 <90° cas/AoosCj3故 00fi(d + C)=85刁=一一 ,"1分4代入式得X2 = ,因此8Szi-8&C=42考点：正弦定理；三角函数的化简求值.20.(本小题满分12分)已知函数 f x ax2 4bx 2alnx (a,b R ).b .(1)若函数y f x存在极大值和极小值，求 b的取值范围;e 1e2 12.e a(2)设m, n分别为f x的极大值和极小值，若存在实数 b的取值范围. b11【答案】(1) b 1；(2) -2三一 a

24、1.ae e 4 e e 2【解析】 试题分析：(1)求出函数的导数 f x ,函数y f x存在极大值和极小值，故方程 f x 0有两个不b , e 1 e2 1等的正实数根，列出不等式组，即可求解b的取值范围；（2）由b J1a,e-1a2. e 2eb e 1 e 1=, .由（1）知f x存在极大值和极小值，设 f x0的两根为X1,x2（ 0x1x2）,a 2 e 2e则f x在0,x1上递增，在x1, x,上递减，在x2,上递增，所以 m fx1, n fx2,根据xx2 1可把m n表示为关于x1，a的表达式，再借助 为的范围即可求解a的取值范围. 22a 2ax 4bx 2a

25、试题斛析：（1） f x 2ax 4b ,其中x 0 2分xx由于函数y f x存在极大值和极小值，故方程 f x 0有两个不等的正实数根，即2ax2 4bx 2a 0有两个不等的正实数根记为x1, x2,显然a 0 4分_2216 b a 0,所以x1 x2 型0, 解得b 1. 6分aax1x2 1 0.2由虱。fl & j目由 知/（M）存在极大值和根小值.e + 1 e2 + 1| 福'kJ设_T=0的两丰就出（0当马3则工）在西）上递增了在（均,崂上递现 在（巧上 递噌，斫以m=/（毛），利=/（覆）.L 劝 因为再 =所以01福"1不巧J而且巧+毛二局+一

26、二£口 c由于国数¥ =在（我口上单调通疯 所以西埔分x吧G又由于2%工一$网。= 12）所以2-2+3=心（f=L2）.所以雁-JI=/（国）-/（。）,J=也叫 _电叫 + 2ln2411n。= "%" 巧上）一（2«3c/ +2« 2ck - 2c?） +-laj&j）2 I 12-a毛2 +2日In玉，21，111令 t X ,则 m n at 2a In t ,令 h t t - 2ln t t 一 ttee212 t 1所以 h t 1 -22一0,t t t所以h t在口，1上单调递减，所以e e1 2 h t

27、e2 e2 4 e e1 一 11由m n ah t 1,知a ,所以2 a 1h t e e 4 e e 2考点：利用导数研究函数的单调性及其极值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，综合考查了 学生综合运用知识分析问题和解答问题的能力，试题综合性强、计算量大，能力要求高，属于难题，解答 中根据xx2 1可把m n表示为关于 为，a的表达式，借助x1的范围是试题的难点， 此类问题需平时注重总 结和整理.21 .(本小题满分12分)x已知函数 f x xlnx, g x , ex(1)记F x f x g x ,判断F x在区间1,2内的零点个数并

28、说明理由；(2)记 F x 在 1,2 内的零点为 x0, m xmin f x , g x ，若 mx n(n R)在 1, 内有两个不等实根 x1 , x2 ( % x2),判断x1 *2与2%的大小，并给出对应的证明.【答案】(1) F x在区间1,2有且仅有唯一实根； x1 x2 2x0,证明见解析.【解析】试题分析：(1)求出尸(工)，得出困数开(工)在(L2)上里调递增，在利用零点的存在性定理，即可得到结M 由知，当工>1时1 Ffj且存在e(L2)使得尸-双飞)=0 j故xlfi匕1父币st 当用时，/(力 ，得出因而m=< x，根据冽的单调匕2工性,判定出巧+为与2

29、个的大小关系，在给曲目应的证明.-r.Y 试题解析：(1)证明：尸(工)=五加丈-定义域为X E.=e而尤”L2),故即尸(工)在(L2)上里调递增,e.1立又= -K(2)= 21112-4>0,而尸在(L2)上连续,树艮揄艮的存在性定理有二成工)在区£间(L2)有且仅有唯一实报(2)由(1)知，"力三1+加工十二，当工>1时,F(x)>O,且存在而武L2)使得尸()=9)-&&) = ，故4时，/爪工力当工卜巧时,句g.羽eg 而 ；H显然当1再而时，m(x=xlaxf m'(jc) =l + lnx>。因而里增s当兀时,

30、m(x) = 思加二匕鼠心递命m二也在(L+®)有何不等不艮药，。则当巧显然当x2时，x x2 2x0,下面用分析法给出证明.要证:x1 x2 2x0 即证 x22 x0在%,上递减，故可证 m x2m 2x0x1 ,又由m x1m x2 ,即证m x1m 2x02x0 x为，即 x11nxi x exln x1 In x2x0 x 12/ x ，1e1 x 2x0x x0 ,其中x00.e2x0 x e1 In xe2x0 x e2x0e2x0 e10分1 In x工当t e1.-,而 2x0 ex 2x01e2x0 x0,1 时,0; t1,时， t 0故 tmax单增.从而1

31、x x0时,In x1e2" xh x01 e 2x2x0e2x0 x2x0 x i11 e0,因此0,11分0 即 x1 In x12x0x12x) x1)e12分故x1 x2 2x0得证考点：利用导数研究函数的单调性及其极值(最值)【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，综合考查了 学生综合运用知识分析问题和解答问题的能力，试题综合性强、计算量大，能力要求高，属于难题，解答xlnx,1 x x0中由（1）和题设条件，得出函数m x x,进而利用函数 m x的性质求解是解答的关键，x,x xoe此类问题需要注重方法的总结和积累.请考生在第22、23题中