2021届天津市河西区高三上学期期末考试数学试卷(解析版)

1、河西区2020-2021学年度第一学期高三年级期末质量调查数学试卷共150分，考试用时120分钟一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.L 设全集/ = x|-3vx<3,xeZ, A = 1,2, 5 = 2,0,2,则AU(GB)=()A. 1B. -1,1,2c. 2D. 0,1,2【答案】B【解析】 【分析】 先利用补集运算求出GB,即可根据并集运算求出AU(G8).【详解】因为/=H3vxv3,xeZ = _2,l,0J2,所以63 = -14，故 4U(C/) = -LL2.故选:B.【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，以及常用数集的识别，属于基

2、础题.2 .已知命题闫/+2x + 3v0,则命题的否定是()A. x2 + 2x+3>0B. Vx e 7?,x2 + 2a + 3 < 0C. VxeR, x2 +2x+3>0D. TxeR, x2+2.v + 3>0【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定.【详解】命题为特称命题，其否定为x2+2x+3>0.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.3 .某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6： 5： 7,防疫站欲对该校学生进行身体健康调查, 用分层抽样的方法从该校

3、高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，样本中高三年级的学生有21人，则 等于()A. 35B.45C.54D. 63【答案】C【解析】【分析】7由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6： 5： 7,知高三年级学生的数量占总数的一，再由分18层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为的样本，高三年级被抽到的人数为21人，能求出比【详解】解：某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6： 5： 7,7A高三年级学生的数量占总数的一，18分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人,；=21 4- = 54.18故选：C.【点睛】本题考查分层抽样的

4、应用，是基础题.4 .函数是定义在R上的奇函数，且当xNO时，) = 2' +x+a(。为常数)，则。)=()1 33A. B. C D. 22 22【答案】D【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得/(0) = 1+4 = 0 ,可得当xiO时，f(x) = 2x+x-1 ,利用 /(。)= /(_1) = _/(1)即可得解.【详解】.函数/(力是定义在R上的奇函数，当xNO时，f(x) = T+x+a,/(0) = 2°+0+« = 1 + « = 0,解得a =1,二当x»0时，f(x) = 2x+x-i,a)"(_l) =

5、_l) = _(2 + l_l) = _2.故选：D.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5 .设a =2加2,"= 一咋产，c = l%2,则小b, c的大小关系是()2A. b>a>cB. a>h>cC. b>c>aD. a>c>b【答案】A【解析】【分析】直接利用指数和对数的单调性求解.【详解】因为4 = 2心>1，” = T°g= 2, 0<。=啕2<1,所以。>4>C故选：A6 .已知正方体的体积是8,则这个正方体的外接球的体枳是（）A. 2E冗B. 4小

6、乃C.D. 8节冗【答案】B【解析】【分析】根据体积得到正方体棱长，根据正方体的外接球半径为体对角线的一半得到半径，计算体积得到答案.【详解】正方体的体积为d =8,则正方体棱长。=2,正方体的外接球半径为体对角线的一半，即=匹_ = 3故V = +乃 =+小3小=46九2233故选：B.【点睛】本题考查了正方体的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将半径转化为求体 对角线是解题的关键.7.将函数），=sin x - J5cos x的图像沿1轴向右平移巩>0）个单位长度，所得函数的图像关于了轴对称，则？的最小值是（）A. -B. C. -D.-121266【答案】D【解析】

7、【分析】/X利用辅助角公式将函数化为y = 2sin x ,然后利用三角函数的平移变换原则即可求解.3 ）【详解】y = sinx将函数的图像沿工轴向右平移旧> 0）个单位长度, 3 -可得y = 2sin x-加一，此函数图像关于>轴对称，则一?一?=攵%+ (keZ),解得？= 一攵%一差(k eZ),因 7>0,则当k=1时，用取得最小值6故选：D【点睛】本题考查了三角函数的平移变换原则、辅助角公式、诱导公式，属于基础题.228.已知双曲线二-三=13>0力>0)的左顶点与抛物线丁=2/>(>0)的焦点的距离为4,且双曲线的 cr o一条渐近线与

8、抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()A. 272B. 26C. 4D. 275【答案】D【解析】【分析】由题意结合抛物线的性质可得-2=-2,进而可得双曲线的左顶点，由双曲线的渐近线方程结合点 2(-2,-1)在双曲线的其中一条渐近线上，即可求出，再利用双曲线的性质即可得解.【详解】.抛物线)，2=2*(>0),，该抛物线的准线为“=一£,2又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),二点(一2, -1)在直线 x = - 4 上，;4 = 一2 即 =4 ,22抛物线的焦点为(2,0),又双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,，双曲

9、线的左顶点为(-2,0), a = 2, 双曲线的渐近线方程为y = ±，x，由点(2,7)在双曲线的其中一条渐近线上可得T = gx(-2)即 =1,双曲线的焦距2c = 2，/ +勾=26 故选：D.【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，关键是对于圆锥曲线性质的熟练掌握，属于中档题.9 .在梯形 43CD 中，AB/CD, ZDAB = 90。, A3 = 2, CD = AD = 1,若点 M 在线段 3。上，则5前-西的最小值为()B.，20D.220【：】B【解析】【分析】根据A8CD. ZDAB = 90°, AB = 2,

10、CD = AD = 1,建立空间直角坐标系, 设两 =2而,04丸1,得至ijM(2 - 24/),再求得府，函的坐标，利用数量积的坐标运算求解.【详解】建立如图所示平而直角坐标系:因为AB/CD，ZZMB = 90°, A8 = 2，CD = AD = 1,所以 8(2,0), 0(0,1), C(l,l),设两=2瓦5,042 41所以加(2-244),920所以而7 = (2-24；1),。江=(1-2尢4-1),所以而瓦7=(2 2/1)(1 2丸)+ 丸(几一1) = 5几2-7九 + 2 = 5 2-1 -7 9当九二历时，AM-CM的最小值为一 , 故选：B.二,填空题

11、：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10 .设acR,若：7 + 1 +，是实数，则仁.【答案】2【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共规复数，化简复数二+1+"利用虚部为零可得 1 + 1结果.【详解】下+*=前&+"丁一+ l + i 是实数，1 + z.1 一二=0,得。=2,故答案为2.2【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌 握纯虚数、共规复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复 数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单

12、问题出错，造成不必要的失分.11.二项式(x-J的展开式中的常数项为.【答案】15【解析】【分析】由该二项式的通项公式即可得出.< _l r愕3r3【详解】由题意可得，通项为一/ =C：(令6一彳=0,得厂=4， k 72所以常数项为C：(1)4=15,故答案为：15.12.过点的直线/与圆/+ V =4相切，则直线/在,，轴上的截距为.【答案】4【解析】【分析】根据题意，分析可得点在圆/+/=4上，根据垂直关系求出切线的斜率，由点斜式求出切线方 程，根据截距的定义可得结果.【详解】因为(一道)2 +=4,所以点(-JI1)在圆/+产=4上，切线/的斜率"一一 1一。一 3,

13、-V3-0则切线I的方程为y- =小(x + JJ)，变形可得)，=底 + 4，所以直线/在)，轴上的截距为4：故答案为:4.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，考查了求圆的切线方程，考查了直线的截距，属于基础题.413. 一袋中装有6个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是上，5 则袋中白球的个数为:从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X的数学期望为.【答案】.3(2). 1.【解析】【分析】设白球个数为m,根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方程计算，入计算X的各种取值对应的概 率，再计算数学期望.【详解】设袋中有白球?个，则有黑球6-/个，设事件4

14、从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球，(731：.E (X) =0x-+lx- + 2x-=l. 555故答案为：3, 1. 【点睛】本题主要考查了组合数的运算，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中熟 记组合数的计算公式，找出随机变量的取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查分析问题与解答问 题，以及推理与计算能力. 314.已知且 + = 1,则 +必的最小值为.a+2 h+24则 P(A) =i±2iL= 解得CL, =3,5即(6一?)(5一叽3,解得小=3或机=8 (舍)，2x1由从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X可能的取值为0.1,2,4 1c!

15、c! 34 3 1则尸(X=0) = 1 = , P (X=l) =- = , P (X=2) = = 一 ,5 5C； 55 5 5【答案】60 + 3【解析】【分析】 先利用基本不等式求得m + 2) + 2S + 2)的最小值，进而求得%的最小值，即可得到答案.【详解】由题意，设z = + 2 + 6 = (a + 2) + 2(/，+ 2),又由( + 2) + 2(/? + 2)(1a+2 b+26( + 2) 3(a + 2) 6s+ 2) 3(a + 2)- J NJXa + 2/7 + 2= 9 + 6"-# -当且仅当6(" + 2)= M "

16、+ 2)时，即。+ 2 = y2(b + 2)时等号成立, a + 2 b + 2即z的最小值为9 + 6无，所以 + %的最小值是60k+3.故答案为6点+ 3.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得(。+ 2) + 23 + 2)的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.15.已知函数/(1) = <x2 + 4%, -3 < x < 0 2x-3,x>0,若方程/(x)+k-2|-丘=。有且只有三个不相等的实数解,则实数k的取值范惘是 【答案】一：,3-2返 【解析】【分析】方程1)+卜一2

17、|-履=。有且只有三个不相等的实数解，可转化为y = x) + k-2|与y = h图象有三 个交点，画出函数图象，数形结合求解女的取值范围.【详解】方程/(犬)+卜一2卜丘=0有且只有三个不相等的实数解， 可转化为y = f (x) +卜一 2|与y = h图象有三个交点，x2+3a + 2,-3< x<0画出 y = /(x) + |x-2| = " x-l,0vx«2,与丁 =依图象如图,3x 5, x > 2），=心,与，=/ + 3x + 2 相切时，k = 3-2y/2，2） =匕过点（一3,2）时，k=_三,3,根据图象可知，一工Kkv3 -

18、 2jl时，两图象有三个交点，3若方程f（x）+k-2|-爪=0有且只有三个不相等的实数解，则实数我的取值范围时一一,3-2立），故答案为：一彳【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令yu）=o,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间出句上是连续不断的曲线，且大十份vo,还必须结合 函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同 的值，就有几个不同的零点.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演

19、算步骤.16.在aABC的内角的对边分别是也c,满足一=1一 . ：m .a + csin A + sin B（1）求角A的值；若a = 3, b = 2五,求sin（2B+A）的值.【答案】（1） A = -: （2） .25一£36【解析】【分析】(1)根据已知条件，由正弦定理角化边，得到三边的关系，进而利用余弦定理求解；(2)由正弦定理求得s加8,并根据边的大小关系判定8为锐角，然后利用倍角公式和两角和的正弦公式计 算.【详解】解：(I) V = 1- a + csin A + sin BI)r由正弦定理得，=1.a+ca+b化简得，b2 4-c2 a2 be .由余弦定理得，

20、cos A+： _" =!, 2bc 2又0<Ac乃，/ A =.3(2)由(1)知，A ,乂 a = 3 , b = 2，sin B =bsinA又 b < a , 15 - sin2B = 2sinBcosB = 3cos 28 = 1-2sin。B =- 3sin(28 + A) =“28 + g卜in28c呜+侬2雨吟=【点睛】本题考查正余弦定理的综合运用，涉及二倍角公式和两角和差的三角函数公式，属中等难度的题 目,关键是熟练利用正弦定理，余弦定理和三角恒等变形计算.17.如图，四棱柱的底而为菱形，A4«L底面A8C0, ZBAD = 120% A3 =

21、 2, E， 尸分别为。Q, 44的中点.（I ）求证：。尸|平面耳AE：3（II）若直线AR与平而与AE所成角的正弦值为:，求A4的长；（川）在（II）的条件下，求二面角片AE R的正弦值.【答案】（I ）见解析（II）A4的长为2 （III） 泮【解析】【分析】（I）取AB1的中点G,根据三角形中位线和菱形特点可证得四边形GE。厂是平行四边形，从而得到OF七G,根据线而平行判定定理证得结论：（H）通过等腰三角形和线面垂直可证得AA4及AE两两 互相垂直，则可将A作为原点建立空间直角坐标系，利用线面角正弦值的向量求法建立关于AA的方程， 解方程得到结果；（川）根据二面角的空间向量求法求解出二

22、面角的余弦值，再根据同角三角函数关系得到 所求正弦值.【详解】（I ）证明：取4片的中点G,连接尸G, GE£G分别为44ABi中点/G = 144且/G / /A4 ,又O七= A内且。E / /4蜴 22FG =。石且FG/DE ：.四边形GEOE是平行四边形:.DF/EG 又OFu平而用AE, EGu平而用A上,。/平而用AE(II )解：在菱形 488中，40 = 120。 /. ZADC = 60°.AACQ是等边三角形，又E为CD中点.AE1CD,又 ABI /CDAE ± AB又 A4,_L 平而 ABC。.AA_LAB, A/l, ± A

23、E则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：设 A4j =/(/ >0)则 A(0,0,0), 4(2,0"), E(0,>/3,0), D卜I,).西=(-1,岛)设平而用AE的法向量九=('y,z).丽=(2,0j), a£ = (o,6o)n -AB1 = 0n-AE = 0即2x + rz = 06y = 0令Z = -2,则x=f, y = 0.n = (f,0,-2)设直线AR与平面用AE所成的角为anI ,y一 ADn I-/-2/13贝|J sina = cos < AD. ji> = ,: = , J=1 |a闻.同石

24、方历7 4解得：t = 2,即A%的长为2(III)设平面“AE的法向量m = (%,y,%)v AE =(0,x/3,0),码= (-1,712)m- AE = 0.,即 m , AD1 = 0VVi = o-X + 5/3 + 2Z = 0令4=1,则>1=。，x=2 J而=（2,0,1）设二面角BAE-D1的平面角为夕1cli1历,冗 |4-2|1则 cos6 = cos < m.n > = = -=-=11 11 mn 2V2x>/5 Msin 0 = MD，即二而角用AE 4的正弦值为主四10io【点睛】本题考查线面平行关系的证明、利用线而角求解其他量、二面角

25、的求解问题，考查学生对于向量 法求解立体几何中角度问题的掌握，考查学生的计算能力，属于常规题型.18 .设等差数列也的公差为d, d为整数,前n项和为Sn，等比数列低的公比为q,已知q =4，打=2 ,d = q , S0=1OO, “eN.（1）求数列q与%的通项公式；（2）设=去，求数列。”的前n项和为 n【答案】4=2” 1, r=2- （2） 7； =6-铝【解析】【分析】（1）利用已知条件求出数列的首项与公差与公比，然后求解通项公式.（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可.10%+453 = 100详解】解：（1）有题意可得：，r ，ad = 2（舍去）或,4=14

26、 = 2a = 9解得、2d =9所以4=2-1,2n -1.31+W4+组.2 22 2327 D1T _ I 3579+>+>+>+>-可得;1=2 + ； +2+4 2+ 3故（=6 年一21，2” 1 个 2a? + 3=32【点睛】用错位相减法求和应注意的问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形： 在写出“SJ与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表 达式：（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19 .己知椭圆C:： +二=1（。>&

27、gt;0）的离心率为正，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，点 cr b-2F为椭圆的左焦点，且甑48的面积是1 +正.2【.求椭圆c的方程:H.设直线x = ?y + l与椭圆C交于P、Q两点，点P关于X轴的对称点为R （匕与。不重合），则直线4。与x轴交于点H,求APQ”面积的取值范围.【答案】L +/=1； II.5 e 0,【解析】【分析】I,根据离心率和以及/ =b2+c2可求得的值,从而得到椭圆方程:0.联立直线方程与椭圆方程, 假设尸，。坐标，可得耳坐标及根与系数的关系式：+力=-?7,力力=-一二：根据直线4。 的两点式方程表示出H点坐标，代入根与系数关系式可求得“（4,0

28、）,从而将所求面积变为： 3 I： c _ 6，_ 6通，换元整理后得到"。"一百一二!，利用”有求得所求而积的取值范围,【详解】I,由6 = £ =虫得：。=虫。 a 222V f 2正 2=>ab = 2AG则“-F +产解得："2,则。=1, c ="2二椭圆。的标准方程为： + y2=l 4 .x = my +1联立口 2 114II.由与。不重合可知：加工0整理可得：（/+4）3+2»-3 =。，加工0 设P（ax）,。（孙必），则。（再，一乂）2m3则）”为=一一；，一-nr +4广+4直线6。的方程为：y+x =

29、?F（xxJ令量=0,解得:”玉+上"=人上三%+>1'+8又内=myx +1, x2 = my2 +1_(2y2+1)1+(明+1)% _2%为+(凹+乃)_2机 则 - -H |X + 丁2>1 + >2X + >2一6？=运工 + 1=也+1 = 3 + 1 = 4_ 2m -2m-J+4即直线4。与x轴交点为:4(4,0) S'PQH =1x(4-l)x|).' -y2| = 1-，(弘 + 力)2-4)17=9 ，加工o ZN/? I I令 I =+3 > 翼,则?2=/一3.S - 6/ - 6%。一万万 f / +

30、一当时，1+;单调递增，贝切+;>¥663vJ6r <产= 冒r > 0星电2 ,又"f 3t-#- 19 -(3)根据对任意xe 0,言对任意xe 0,212恒成立，设(p(x)=e"cosx-x-m(xe O,5冗,用导数法求其最小值即可.【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的三角形面积的取值范围问题，解题的关键是能够通过已知 条件确定出点坐标，从而将所求面积转化为求解函数值域的问题，通过函数值域的求法求得所求范围， 本题思路虽然不复杂，但计算量较大，属于偏难题.20.已知函数/(x) = e'(sinx-cosx+4),函数g(x) = 2x8sx,其中e = 2.71828是自然对数的底 数.(1)求曲线y = /(x)在点(oj(o)处的切线方程；(2)设函数a)= /a)-4g(x)(“e R),讨论Mx)的单调性;(3)若对任意xe 0,1| ,恒有关于x的不等式cosx-5'40成立，求实数，”的取值范围.【答案】(1)4x - y + 3 = 0. (2)答案见解析.(3) 1,+s)【解析】【分析】(1)由函数f(x)=L(sinx-cosx+4),求导得到/'(x) = e'(2sinx+4),再求得，/(0), 写