2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：3.2.2　复数代数形式的乘除运算 Word版含解析

1、32.2复数代数形式的乘除运算目标 1.掌握复数的乘法法则，能熟练地进行复数的乘法运算.2.理解共轭复数的意义.3.掌握复数的除法法则，能熟练地进行复数的除法运算重点 复数的乘法与除法的运算法则难点 复数的除法运算知识点一复数的乘法运算填一填1复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2复数的乘法满足的运算律对任意z1、z2、z3c，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3答一答1两个复数的乘法运算法则类似多项式的乘法法则，多个复数的乘法呢？提示：

2、多个复数的乘法运算也类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部2若z1，z2c，(z1z2)2z2z1z2z是否成立？提示：成立复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立知识点二复数的除法运算填一填1共轭复数已知z1abi，z2cdi，a，b，c，dr，则(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是ac，且bd.(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是ac，且bd0.2复数代数形式的除法法则(abi)(cdi)i(cdi0)答一答3根据共轭复数的概念，探究以下问题：(1)如果

3、zr，那么与z有什么关系？(2)复数z与它的共轭复数在复平面内所对应的点的位置关系如何？(3)两个互为共轭复数的复数乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？提示：(1)当zr时，z，即一个实数的共轭复数是它自身(2)关于实轴对称(3)当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数事实上，若zabi(a，br)，那么z(abi)(abi)a2b2，且有z|z|2|2.4复数除法的实质是怎样的？提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可1复数的乘除法(1)复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i2

4、应化为1.(2)复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，但注意结果一般写成实部与虚部分开的形式2共轭复数(1)复数z的共轭复数通常用表示，即当zabi(a，br)时，abi.(2)两个共轭复数的乘积是一个实数，这个实数等于两个共轭复数模的平方，即若zabi(a，br)，则za2b2|z|2|2.(3)实数a的共轭复数仍是a本身，即zc，zzr，这是判断一个数是否为实数的一个准则(4)两个共轭复数的对应点关于实轴对称3虚数单位i的乘方由i41，则对任意nn*，i的幂的周期性如下：i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1.类型一复数的乘法运算【例1】计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2

5、)(2i)(15i)(34i)2i.【解】(1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(211i5)(34i)2i(311i)(34i)2i(912i33i44i2)2i5321i2i5323i.正确使用乘法公式，此类题就不难解决.三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、完全平方公式等.计算下列各题(1)(1i)3；(2)(2i)(3i)解：(1)(1i)3(1i)2(1i)(12ii2)

6、(1i)(2i)(1i)2i2i222i.(2)(2i)(3i)(7i)i.类型二共轭复数【例2】(1)若z，则复数()a2i b2ic2i d2i(2)如图，在复平面内，点a表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()aa bbcc dd(3)复数z1i，为z的共轭复数，则zz1()a2i bici d2i【解析】(1)z2i，则复数2i.(2)因为xyi的共轭复数为xyi，故选b.(3)依题意得zz1(1i)(1i)(1i)1i.【答案】(1)d(2)b(3)b(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算.必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式

7、，再根据共轭复数的定义求.(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设zabi(a，br)，则abi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解.(1)若|z|3，z0，则复数z3i或3i.解析：设zxyi(x，yr)，则有xyi，因此解得或即z3i或3i.(2)已知x1yi与i3x是共轭复数，求实数x与y的值解：x，y为实数，类型三复数的除法运算【例3】计算：(1)；(2)4.【思路分析】(1)分子、分母按复数的乘法先分别展开化简，或分解因式，再做除法；(2)先展开，后化简【解】(1)方法1：原式1.方法2：原

8、式1.(2)原式22iii.在进行复数除法运算时，通常先把(abi)(cdi)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数cdi，化简后就可得到上面的结果.这与作根式除法时的处理是很类似的.若复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(d)a2i b2ic5i d5i解析：由(z3)(2i)5，得z3332i5i，所以5i.1(1i)2i等于(d)a22i b22ic2 d2解析：(1i)2i(12ii2)i(2i)i2i22，故选d.2在复平面内，复数z对应的点位于(d)a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析：zi，故复数z对应的点为z(，)，它位于第四象限，选d.3若z是复数，且(3z)i1(i为虚