极限计算方法地总结

1、极限计算方法总结(简洁版)一、极限定义、运算法则和一些结果1定义：(各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述)。说明:(1) 一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证bn o，当 I q K1 时明，例如:lim 一=o(a,b为常数且 a 工 0) ； lim(3x1) = 5 ； lim q；nYanJ2+、不存在，当|q1时等等(2) 在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定 义证明。2 极限运算法则定理1已知lim f (x) , lim g(x)都存在，极限值分别为A, B,则下面极限都

2、存在，且有(1)lim f (x) _g(x) = A _B(2) lim f (x) g(x) = A BlimH,(此时需咲0成立)说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3 两个重要极限(1)lim s 二 1xQ x1(2) lim (1 x)x 二 e - lim (1 丄)x 二 e说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,作者简介：靳一东，男，(1964),副教授。1x例如：I叫弘叨，龙叫(1-2x)x=e，im一(1号)3 = e；等等。4 .等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0

3、)。定理3当XT 0时，下列函数都是无穷小(即极限是0)，且相互等价，即有：x si n x tan x arcs in x arcta n x ln (1 x)ex - 1 o说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)T 0 )，仍有上面的等价关系成立，例如：当x > 0时，e -13x ； ln(1 - x2)-x o定理4如果函数f (x), g(x), fjx), gjx)都是x 、x0时的无穷小，且f(x)f1 (x)，g(x)f1(x)gi(x)，则当忸存在时，liml(x)也存在且等于f(x) lim四，即 X 讯 g(x)x >Xo gi(x)lim

4、f(x) = lim f1(x)xX0 g(x) x_x gi(x)5 洛比达法则f (x)和 g(x)满足：(1) f (x)定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数 和g(x)的极限都是0或都是无穷大；(2) f (x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；.f "(x)(3) lim存在(或是无穷大)；g (x)则极限lim 上 也一定存在，且等于 lim f (x)，即lim f(x) = lim f (x) g(x)g (x)g(x) gx)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比0旳达法则就不能应用。特别要

5、注意条件(1)是否满足，即验证所求极限是否为“-”型或“ ”型；条件0旳(2) 般都满足，而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但 每次使用之前都需要注意条件。6 连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果 x0是函数f (x)的定义去间内的一点,则有 lim f (x f (x0)。Xi07 极限存在准则定理7 (准则1)单调有界数列必有极限。定理8 (准则2)已知Xn , 丫. , Zn为三个数列，且满足:(I)yn 乞 Xn Zn ,(n =1,2,3,)(2)lim yn = a, lim zn = annjpc则极限lim xn

6、一定存在，且极限值也是a，即lim x a。n )： ：nT：:二、求极限方法举例1.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 lim菖4 XTX T(3x+1)2-223x 33解：原式=lXm1(x-1心3x 1 2)Xm1(x-1)(、3x 1 2) 3注：本题也可以用洛比达法则。例 2 limn( . n 2 -、n -1)nJpc解：原式=lim(n2匕(吐1)nY Jn +2 +寸n 1分子分母同除以nlimn ）：例 3 "m"上下同除以3n（一 3）" +1解：原式lim. = 1。Y（2）n +132. 利用函数的连续性（定理 6）求极限例

7、 4 Hm2xi2 xex解：因为x0二2是函数f （x）12 xx e的一个连续点,1所以原式= 22e2=4-.e3. 利用两个重要极限求极限例5 lim匕字x Q 3x22 x 2si n2解：原式=lim 2limXT 3x2xtO2sin2 x212 (;)2注：本题也可以用洛比达法则。2例 6 li叫(1 一 3sin x)x解：原式="叫（1 -3si nx）-3sin x-6sin xx1-6sin xlim(1 -3s in x)x )0-6-e 。例 7 lim (n 2)nn匚n 1n 出-3n解：原式=lim (V 一 ) ' n 1nn +1n卅nn

8、1科戸严=屮。4. 利用定理2求极限例 8 lim x2 sin 17 x解：原式=0 （定理2的结果）。5. 利用等价无穷小代换（定理 4）求极限例9讪皿卑7 arctan(x )解：x； 0时，In（1 3x）3x,arctan(x2)x2,x sin x e e例 10 limT xsin x解：原式=limesinx(e5x»limxTxsi nxxTsin x /e (x-sin x) 1。x - sin x注：下面的解法是错误的:xsinx原式=lim (e卫 “im7xsin x7sn=i ox -sin x正如下面例题解法错误一样:tan xsi nxx x 小lim

9、 3lim 30 。X#x3XrO x3x3tan(x2sin )x 例11 limxTsin x解：；当Xr 0时，x2s in丄是无穷小，.ta n（x2si n）与x2 si n -等价,xxx所以,原式= limx02 . 1x sinxx1= limxsin 0。（最后一步用到定理x >0x6. 利用洛比达法则求极限同时,说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。洛比达法则还可以连续使用。1 COSX例 12 lim2（例 4）V 3x2sin x 1解：原式=lim。（最后一步用到了重要极限）xt 6x 6X cos2x -1解：原式

10、聊二 x -si n -2 2xsin x 例 14 limx3解：原式=limc(2sx = limsinxXT3xxT° 6x1。(连续用洛比达法则，最后用重要极限)6sin x- xcosx 例 15 lim x7x sin x解:原式-limsin x - xcosxx2xsin x-limx.0cosx - (cosx - xsin x)3x23x21 八 m0n XXX +X解：错误解法：原式= lim -=0 。1° X Xx >0正确解法:原式=limxTIn(1 x) - xxln(1 x)1 _1°lim ln(1 x) 一 xx >

11、;°二 limlimx Q2x x Q 2x(1 x) 2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。x -2sin x3x cosx解：易见：该极限是“-”型，但用洛比达法则后得到:°不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：1 一 2 cosxlim，此极限x 匚 3-sin xx° 2sinx1 -原式= limx(分子、分母同时除以c cosx3x1x）=（利用定理1和定理2）37. 利用极限存在准则求极限例 20 已知 = x 2 , xn =2 xn , (n =1,2,)，求 nim 一 Xn解：易证：数列xn单调递增，且有界（0<x n<2）,由准则1极限limn_ :xn存在，设 lim Xn = a 。n_Joo对已知的递推公式Xn 1 =2 * Xn两边求极限,得:例21解:因为，解得：a = 2或a易见：n - 2,n n-1（不合题意，舍去）。所以lim xnn ):i +.n22n21n