材料力学复习资料

1、材料力学重点及其公式1、材料力学的任务： 强度、刚度和稳定性;应力 单位面积上的内力平均应力.A全应力P m“im 丁 =dFA . ：A dA正应力 垂直于截面的应力分量，用符号切应力相切于截面的应力分量，用符号应力的量纲：(1.1)(1.2):二表示。.表示。国际单位制：Pa(N/m2)、MPa、GPa工程单位制： kgf / m2、kgf/cm2线应变 单位长度上的变形量， 无量纲，其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小。外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速 n与传递的功率P来计算 当功率P单位为千瓦(kW，转速为n (r/min )时，外力偶矩为pMe

2、=9549 (N .m)n当功率P单位为马力(PS)，转速为n (r/min )时，外力偶矩为pMe =7024(N.m)nFnA拉(压)杆横截面上的正应力拉压杆件横截面上只有正应力二，且为平均分布，其计算公式为(3-1) 式中Fn为该横截面的轴力，A为横截面面积。正负号规定拉应力为正，压应力为负 。公式（3-1 ）的适用条件：（1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；（2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上 应力分布很不均匀；（4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角:.< 200时拉压杆件任意

3、斜截面（a图）上的应力为平均分布，其计算公式为全应力 p一 二;cos： （3-2）正应力厂.-；-cos2 ：（ 3-3 ）切应力 .-sin 2：（3-4）式中二为横截面上的应力。正负号规定：:由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。- 拉应力为正，压应力为负。:.对脱离体内一点产生顺时针力矩的：为正，反之为负。两点结论：（1）当一00时，即横截面上， 达到最大值，即（。当。=900时， 即纵截面上，-=900 =0。（2）当，45 °时，即与杆轴成45°的斜截面上，：达到最大值，即CJmax 1. 2拉（压）杆的应变和胡克定律（1）变形及应变杆件受

4、到轴向拉力时， 轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短， 横向伸长。如图3-2。图3-2轴向变形I轴向线应变1 横向变形1 b = d -b横向线应变b 正负号规定伸长为正，缩短为负。b(2) 胡克定律当应力不超 过材料的比例 极限时，应力 与应 变成正比。即 cE;(3-5)或用轴力及杆件的变形量表示为巴 (3-6)EA式中EA称为杆件的抗拉(压)刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。公式(3-6)的适用条件：(a) 材料在线弹性范围内工作，即二；(b) 在计算I时，I长度内其 N E、A均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即AI =£ 皿(3

5、-7)EA(3) 泊松比 当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即 V =-1(3-8)表1-1低碳钢拉伸过程的四个阶段阶段图特征点说明1-5中线段弹性阶段oab比例极限CT p弹性极限 ep为应力与应变成正比的最咼 应力兀为不产生残余变形的最咼应 力屈服阶段be屈服极限 s轨为应力变化不大而变形显著增加时的最低应力强化阶段ce抗拉强度b b吧为材料在断裂前所能承受的最大名义应力局部形变阶段ef产生颈缩现象到试件断裂表1-2 主要性能指标性能性能指标说明弹性性能弹性模量E当兰竹时，E =-|强度性能屈服极限氏材料出现显著的塑性变形抗拉强度材料的最大承载能力塑性性能延伸率

6、6 一小00%l材料拉断时的塑性变形程度截面收缩率屮 _ A 一Al 汉 100%A材料的塑性变形程度截面收缩率材料的塑性变形程度屮=A -Ai 灯00%A强度计算由极限应力除以安全系许用应力材料正常工作容许米用的最高应力，数求得。塑性材料d=；脆性材料 -=-b =nb其中足,nb称为安全系数，且大于 1。强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。对轴向拉伸（压缩）杆件（ 3-9）按式（1-4 ）可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。2.1 切应力互等定理受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生， 它们的大小相等，方向同时垂直指向或者背离两截面交

7、线，且与截面上存在正应力与否无关。2.2纯剪切单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状2.3切应变切应力作用下，单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变， 用-表示。2.4剪切胡克定律在材料的比例极限范围内，切应力与切应变成正比，即=G(3-10)式中G为材料的切变模量，为材料的又一弹性常数（另两个弹性常数为弹性模量E及泊松比O ,其数值由实验决定。对各向同性材料,E、G有下列关系2(1 .)(3-11)切应力计算公式横截面上某一点切应力大小为Ip(3-12)式中Ip为该截面对圆心的极惯性矩，为欲求的点至圆心的距离。圆截面周边上的切应力为maxWt(3-13)式中

8、称为扭转截面系数，R为圆截面半径。切应力公式讨论(1)切应力公式（3-12）和式（3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似(2)应用，其误差在工程允许范围内。极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt是截面几何特征量，计算公式见表3-3。在面积不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。因此，设计空心轴比实心轴更为合理。表3-3实心圆1 p 32（外径为d）兀d3Wt =16空心圆（外径为D,内径为d）lp=£(1_a4)32da =D16强度条件 圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则

9、将发生破坏。因此，强度条件为Tma-1 <!t（3-14）对等圆截面直杆"maxmax- CJ（ 3-15 ）式中为材料的许用切应力。Wt3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系EI(3-16)式中，是变形后梁轴线的曲率半径;对中性轴Z轴的惯性矩。E是材料的弹性模量；ie是横截面現2横截面上各点弯曲正应力计算公式一和 37） 式中，M是横截面上的弯矩；iz的意义同上；y是欲求正应力的点到中性轴的距离最大正应力出现在距中性轴最远点处a _x"maxWz（3-18）式中，Wz 称为抗弯截面系数。对于h b的矩形截面，W-bh2 ;对于直径为 ymax6D的圆形截面，WzD3 ；

10、对于内外径之比为a = d的环形截面，WzD3（1-a4），32D32若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对 称轴，则最大拉应力与最大压应力数值不相等。3.2梁的正应力强度条件梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为二max二仏<：|,- |Wz（3-19）对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为"-'I maxmaxyi(3-20a)J ymaxM max'y2 兰 be JIz(3-20b)式中，l<t IJe 1分别是材料的容许拉应力和容许压

11、应力；yi, y2分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。3.3梁的切应力.二竺（3-21）Izb式中，Q是横截面上的剪力；Sz是距中性轴为y的横线与外边界所围面积对中 性轴的静矩；iz是整个横截面对中性轴的惯性矩；b是距中性轴为y处的横截面宽度。矩形截面梁切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布切应力计算公式< 2 、6Q h22丿bh3(3-22)最大切应力发生在中性轴各点处， 工字形截面梁切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的9597%因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为近似计算腹板上的最大切应力：ma

12、x = Fs d为腹板宽度h 1为上下两翼缘 dh7-y2丄 B H2h2 bIzb 82(3-23)内侧距Yl圆形截面梁等，沿高度呈抛物线变化。最大切应力发生在中性轴上，其大小为（3-25）圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。QS；marIzbQ "2 2d83二 d4 .d644Q3 A横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相3.4切应力强度条件梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即max 弘乜I.Izb（3-26）式中，Qmax是梁上的最大切应力值； Szmax是中性轴一侧面积对中性轴的静 矩；Iz是横截面对中性轴的惯性矩；b是max处截面的宽度

13、。对于等宽度截面，max发生在中性轴上，对于宽度变化的截面，max不一定发生在中性轴上。4.2剪切的实用计算名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的，则名义切应力为QT =A（3-27）剪切强度条件:剪切面上的工作切应力不得超过材料的许用切应力! 1即=Q 一（3-28）A5.2挤压的实用计算名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则-b pbs i-'bJ（ 3-29）Abs式中，Abs表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上 的投影。当挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的投影面积。挤压强度条件挤压面上的工

14、作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力二 bs - !丁 bs 丨（3-30）Abs1，变形计算圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为I的两个横截面的相对扭转角为I T 二dx （rad） （4.4）GI p若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为TlGI P(rad)(4.5)图4.2式中gip称为圆轴的抗扭刚度。显然，的正负号与扭矩正负号相同。公式（4.4 ）的适用条件：（1）材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即.-p ；（2）在长度I内，T、G Ip均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。即旦曰GJ p当T、ip沿轴线

15、连续变化时，用式（4.4）计算。2,刚度条件扭转的刚度条件圆轴最大的单位长度扭转角：'max不得超过许可的单位长度扭转角小，即cp'max =亘 乞防 (rad/m)GI P(4.7)1筈览£门(/m)(4.8)2,挠曲线的近似微分方程及其积分在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即，吐（4.9）EI将上式积分一次得转角方程为二='=dx C（4.10）再积分得挠曲线方程.号dxdx Cx D（ 4.11）式中，C,D为积分常

16、数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。3,梁的刚度条件限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即max汀，0< fe max3,轴向拉伸或压缩杆件的应变能 在线弹性范围内，由功能原理得v .=w Jf i名22Fn I2EA当杆件的横截面面积 A轴力Fn为常量时，由胡克定律 "出，可得（4.14）杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用v .表示。线弹性范围内，得 v 1；.丿 2（4.15）4，圆截面直杆扭转应变能在线弹性范围内，由功能原将IT与代入上式得Vr 二W J” er 2

17、eV亠2GIP图4.5(4.16) 根据微体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度Vr 二1 r（ 4.17）5，梁的弯曲应变能在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得1aV . =WM e71名2 e2将Me =M与V - MJ-代入上式得V .=山EI2EI（4.18）图4.6横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用式（4.18 ），积分得全梁的弯曲应变能V ；，即 V，M2xdxl2EI2.截面几何性质的定义式列表于下:静矩惯性矩惯性半径惯性积极惯性矩Sy = JAzdA2ly = Jz dAy抵i ”iy nI yz = L yzdA21 p = L p

18、 dASz = jA ydAIlY2dAi 口iz*3.惯性矩的平行移轴公式IIyca2AIIzcb2A-1所示。(I -1 )静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图I 定义式：SyjzdA , SzjydA量纲为长度的三次方。由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标 和yc。则A zCz dA 二 SyA由此可得薄板重心的坐标Zc为ZcA A同理有yc(I -2)所以形心坐标 或 Sy = A Zc ,Sz = A yc由式(I -2 )得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即yc =0 , Sz=0 ； Zc =0，则Sy=0 ；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，

19、则 该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第I块分图形的面积为Ai ,形心坐标为y。，zci，则其静矩和形心坐标分别为nnSzA yci , SyAz。(I -3 )i =iiiSzn为 Ai ycii 1Syn、AZii dyc _ A-n，、' Ai =1z -An、' Ai=1(I -4 )§ I -2惯性矩和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图I量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义2 2lyAzdA , lzAydA为图形对y轴和对z轴的惯性半径。组合图形的惯性

20、矩。设I yi, I zi为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩nn为 I y I yi , I zI zii 土id则定义图形对坐标原点(I -7 )若以表示微面积dA到坐标原点0的距离,0的极惯性矩I P = A "dA(I -8 )因为 -2 =.y2 z2所以极惯性矩与(轴)惯性矩有关系Ip二y2 z2d Iy I(I -9)A式(I -9 )表明，图形对任意两个互相垂直轴的(轴)惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。下式lyz = (A yzdA(I -10 )定义为图形对一对正交轴y、Z轴的惯性积。量纲是长度的四次方。I yz 可能为正，为负或为零。若y , z轴中

21、有一根为对称轴则其惯性积为零。§ I -3平行移轴公式由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴(y ,zj时，如图I -7所示，可得到如下平行移轴公式c(I -13 )Iy =Iyc +a2Az =Izc +b2AJ yz =丨 yczc +abA简单证明之:Iy2 2 9L(Zc +a)dA= .Zc dA + 2aAZcdA+a jAdA其中AzcdA为图形对形心轴 yc的静矩，其值应等于零，则得2IIyca A同理可证（1-13 ）中的其它两式。结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。在使用惯性积

22、移轴公式时应注意a ,b 的正负号。把斜截面上的总应力p分解成与斜截面垂直的正应力 Cn和相切的切应力n （图13.1c）,则其与主应力的关 系为(13.1)2 2 2=. 2m . 3n(13.2)在以Cn为横坐标、.n为纵坐标的坐标系中，由上式所确定的任意斜截面上的正应力Cn和切应力 个圆所围成区域（图13.2显见图 13.2l，拉伸后试样标距11 ;拉伸前1.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距 试样直径d，拉伸后试样直径 d1） hl=L-lM = dx-d2.纵向线应变和横向线应变3.泊松比E = -UE4.胡克定律5.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式？山力6.7.8.许用应力bl二

23、勺脆性材料儿-s，塑性材料 5-®承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式F |轴向拉压杆的强度计算公式5 = 21x100%9.延伸率/10.截面收缩率11.剪切胡克定律（切变模量 g切应变g）12.拉压弹性模量E、泊松比，和切变模量G之间关系式13.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆j -旳（b）空心圆14.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T j 二一P *厶T，所求点到圆心距离r ）15.16.扭转截面系数厂 A ,（ a）实心圆'，r1617.（b）空心圆“薄壁圆管（壁厚 8< Ro /10, R为圆管的平均半径）扭转切应力TT=-2翻计算公式

24、18.77圆轴扭转角二与扭矩T、杆长I、扭转刚度GH的关系式® 儿19.轴）20.21.22.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯Ax <p=2 生 或Irl = !_k <Vi等直圆轴强度条件塑性材料；脆性材料|-卩齐打）冋<5 Glt n 1 J扭转圆轴的刚度条件？T T 匹R 圆截面周边各点处最大切应力计算公式23.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式24. 平面应力状态下斜截面应力的一般公式码+CT 口耳一 C碍耳a- = +COs2a-sin2a，丁血 2 出戶伽25.平面应力状态的三个主应力26.主平面方位的计算公式”

25、=+"=+面内最大切应力21匕厂g27. 2 J28.受扭圆轴表面某点的三个主应力心，29.三向应力状态最大与最小正应力% 二 °!T 幷-勺30.三向应力状态最大切应力2Q,-【,% - 31.广义胡克定律° I®心5E =*爲一1/（6十5）1 勾二右碍一讥5+印）132.四种强度理论的相当应力=°i%二坷一卩（还+阿）幻=込円阿4=寸扣阿还）'+actj）? +（5 -还）'132.一种常见的应力状态的强度条件化 z 皿 51宀 z E叫精彩文档,_刀4沧_刀*Ci33. 组合图形的形心坐标计算公式X 1,X-'1

26、34. 任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式八'、35. 截面图形对轴z和轴y的惯性半径？ . I ,'' !36. 平行移轴公式（形心轴zc与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）L =L +出 4My37. 纯弯曲梁的正应力计算公式"二38. 横力弯曲最大正应力计算公式H39. 矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数？TIT bhh bh1 w T 二/ =，642 ="32"40. 几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（ 【一为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）迅&#

27、165; 41.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处Ibh 2 A42.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式43.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式44.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处45.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处T -4_4- 3/1=22546.内=弯曲正应力强度条件小FTTWE47.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件49.50.梁的转角方程。:當"51.梁的挠曲线方程? “忖心548.弯曲梁危险点上既有正应力a又有切应力t作用时的强度条件宀 ” 厂|门|或厲川I廿"IE , WI 兀心 M(x)梁的挠曲线近似微分方程52.轴向荷载与横向

28、均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式坷叽53. 偏心拉伸(压缩)达式| > 154. 弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表55. 圆截面杆横截面上有两个弯矩 讥和同时作用时，合成弯矩为M二网+砒56. 圆截面杆横截面上有两个弯矩 讥和认同时作用时强度计算公式 存洛网+船+讥57 右 倆匚面1 十耐+M； +小化切58. 弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式召=7?+4?=十5)+卅勻6召=7?+3?二 J(乐+內)'+3# 兰Q59. 剪切实用计算的强度条件二主W 160. 挤压实用计算的强度条件'61. 等截面细长压杆在四

29、种杆端约束情况下的临界力计算公式62.压杆的约束条件:a)两端铰支卩=1(b) 端固定、一端自由63.64.65.(c )一端固定、一端铰支(d)两端固定压杆的长细比或柔度计算公式细长压杆临界应力的欧拉公式P，=0.7P，=0.5欧拉公式的适用范围66. 压杆稳定性计算的安全系数法67. 压杆稳定性计算的折减系数法 ' 68.人少关系需查表求得广西大课程名称:试巻类型；（氛8）材料力学CJI） 4亠学课程考试试卷一乩2俸年度第'一学期） *' 4 5寺蟹T勺烯"q 中严 yr-g /is% 题号1三1Ei4» 七A九十a 分心/J应得分.lt>

30、15 ! IH f . _ 1-.1D0实得分>Ir *评卷人 1-t'命题敎师签名:教鬼主任签犠蠶第.选择题：（共9分）+，' °'-I.111扼受力构件内任1点随普所取凱耐方位不同会来说，各个面上- .41. ”，J的 D ° （2分）1正应力栢同/切应力不風；B正应力不同，切应刀相同/ ，,n ”.II.0正应力和切应力均拒同：DIE应申和切应为均不風 2盜毋示钢填中: fe _：.&,&生蜉缱£泾孰 竹处审;4魅恕;-4.0 , ,一 '*./l I戎jW. . .L_LU1_*/ -一 -世3.塑性梅

31、料处于图养应力状态下，若抿撮聂大劈应力理论，试分靳量易弦生勇切, 破杯的是丄竝Er? ”'O-a (4#rj 0严划5LlLJ -L u«a/2/l丁 7/A| 1©用 V"勺卜 ， 一卩小轨川證眇一爵典怖 旳.址焦第雲催帥IT77/J . . 呵、J仃护77刀'>,2.二压杆在曾年面古失稳时，长度系数取为i_ =二.简答题：（共W分）-.-:.I1图示爼柱；试根据-如下两种受力情况：画卑求解问题的计算特图并拦出許发空什么爼I 合对呂及最大压应力发生的位置8分爺迩a e（X.甬艇警孝辫- I 色邑'殓五m仓6*圧f塾陥1一:濮窑1 *1,0平曲失翼机眾5产0 c*旦 . *I喷性拒4=7.如GOG亦/产皿也饰/,裁面面积人=药2肋请问压押决穂先|込.试求下图所示单元常扌罰定