人教版高中数学《导数》全部教案

1、导数的背景5月4 日教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际本钱教学难点极限思想教学过程一、导入新课1. 瞬时速度问题1: 一个小球自由下落，它在下落 3秒时的速度是多少？1析：大家知道，自由落体的运动公式是 s - gt2 其中g是重力加速度.2当时间增量t很小时，从3秒到3+ t秒这段时间内，小球下落的快慢变化 不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到3+ t秒这段时间内位移的增量：s从而，v29.4 4.9 t .t从上式可以看出，t越小，越接近29.4米/秒；当t无限趋近于0时，无tt限趋近于29

2、.4米/秒.此时我们说，当t趋向于0时，的极限是29.4.t当t趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速t度.一般地，设物体的运动规律是 s= s t，那么物体在t到t + t这段时间内的 平均速度为st.如果t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，ttt就说当t趋向于0时，一s的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.t2. 切线的斜率问题2: P 1,1 是曲线y x2上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲 线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.析：设点Q的横坐标为1+ x，那么点Q的纵坐标为1+ x 2,点Q对于点P的纵坐标的增量即函数的增量y

3、 1 x2 1 2x x2，2所以，割线PQ的斜率kpQ y 2 x ( x) 2 x.xx由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，x变得越来越小，kpQ越来越接近2;当点Q无限接近于点P时，即x无限趋近于0时，Kpq无限趋近于2.这说明,割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.由点斜式，这条切线的方程为：y 2x 1.般地，函数yf(x)的图象是曲线C, P ( x°,y°), Q( x。x, y。y )是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P,即x趋向于0时，如果割线PQ无限

4、趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率kPQ线PT的斜率k，也就是说，当 x趋向于0时，割线PQ的斜率kpQ无限趋近于切x的极限为k.x3. 边际本钱问题3:设本钱为C,产量为q,本钱与产量的函数关系式为 C(q)3q210，我们来研究当q = 50时，产量变化q对本钱的影响.在本问题中,本钱的增量为:C C(50 q) C(50)3(50q)210 (3 50210)300 q 3( q)2.产量变化q对本钱的影响可用:C300 3 q来刻划,qq越小，一C越接近300;qq趋向于0时，一C的极限q当q无限趋近于0时，一C无限趋近于300,我们就说当

5、q是 300.我们把一C的极限300叫做当q = 50时C(q) 3q210的边际本钱.q般地，设C是本钱，q是产量，本钱与产量的函数关系式为C= C (q),当产量为q°时，产量变化 q对本钱的影响可用增量比qCq) C(q°)刻划.如果q无限趋近于0时，上无限趋近于常数A,经济学上称A为边际本钱.它说明当产q量为qo时，增加单位产量需付出本钱 A 这是实际付出本钱的一个近似值二、小结瞬时速度是平均速度 当t趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的t斜率是割线斜率丄当x趋近于0时的极限；边际本钱是平均本钱当q趋近于0xq时的极限三、练习与作业：1. 某物体的运动方程

6、为st 5t2 位移单位：m时间单位：s求它在t = 2s时的 速度2. 判断曲线y 2x2在点P 1,2 处是否有切线，如果有，求出切线的方程.3. 本钱C与产量q的函数关系式为C 2q25 ,求当产量q = 80时的边际本钱.4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 h 单位：m与时间t 单位：s 之间的函数关系为h t2，求t = 4s时此球在垂直方向的瞬时速度.5. 判断曲线y丄乂2在1，-处是否有切线，如果有，求出切线的方程2 26. 本钱C与产量q的函数关系为C 4q2 7，求当产量q = 30时的边际本钱.导数的概念5月4 日教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导

7、数。教学重点：导数的概念以及求导数教学难点：导数的概念教学过程：一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际本钱。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量 的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数y f(x)在x Xo处附近有定义，当自变量在x Xo处有增量X时，贝y函 数Y f(x)相应地有增量 y f(xo x) f(xo),如果x 0时，y与X的比X(也叫函数的平均变化率)有极限即-1无限趋近于某个常数，我们把这个极限X值叫做函数y f (x)在x x0处的导数，记作y/ x勺，即注：1.函数应在点Xo的附近有

8、定义，否那么导数不存在。2. 在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为 0,而y可能为0。3. 丄 是函数y f(x)对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义x是过曲线y f (x)上点(X0，f(x°)及点(X0X, f (X0x)的割线斜率。4.导数f/(x。) lim 仝一x) f(X0)是函数y f(x)在点X0的处瞬时变化x 0X率，它反映的函数y f (X)在点X0处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y f(x)上点(X0，f(x°)处的切线的斜率。因此，如果y f(x)在点x°可导，那么曲线y f(x)在点y f(x°) f

9、/(X0)(X X。)。5. 导数是一个局部概念，它只与函数 与 X无关。6. 在定义式中，设x x0x，那么x因此，导数的定义式可写成f/(x°)7.假设极限lim 血一X) f(X0)不存在,x 0(X0, f(X。)处的切线方程为y f (x)在X0及其附近的函数值有关,XX。，当X趋近于0时，X趋近于X0，.f (X0X)f(x°)f (x)f (X0)limlimx 0xx X0 xx0那么称函数y f(x)在点X0处不可导。8.假设f(X)在Xo可导，贝卩曲线y f (x)在点(Xo,f(X°)有切线存在。反之不然,假设曲线y f(x)在点(Xo, f

10、 (Xo)有切线，函数y f (x)在x°不一定可导，并且,假设函数yf(x)在xo不可导，曲线在点(xo, f(xo)也可能有切线。一般地，lim (a b x) a，其中a,b为常数。x o'特别地，lim a a。x 0如果函数y f(x)在幵区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b)，都对应着一个确定的导数fix)，从而构成了一个新的函数f/(x)。称这个函数f/(x)为函数yf(x)在幵区间内的 导函数，简称导数，也可记作y/，f/(X)二 y/ 二 lXmolirfX) f(x)Xf (x)在幵区间(a,b) (x (a,b)上f(x)在Xo处

11、的导数3.求导函数时，只需将求导数式中的Xo换成X就可即 f/(x)lirfx oX) f(x)4. 由导数的定义可知，求函数y f(x )的导数的一般方法是:函数y f(x)在xo处的导数y/ x X。就是函数y导数f/(x)在xo处的函数值，即y/XXo = f/(xo)。所以函数y也记作f/(Xo)注：1.如果函数y f(x)在幵区间(a,b)内每一点都有导数，那么称函数y f (x)在幵区间(a,b)内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是 函数y f(x)在点Xo处的导数就是导函数f/

12、(X)在点Xo的函数值。(1).求函数的改变量 y f(x x) f (x)。(2).求平均变化率丄一X)f(x)XX(3).取极限，得导数lXm0例1.求y 2x2 1在X = 3处的导数例2.函数y x2 x(1) 求 y/。(2) 求函数y x2 x在x = 2处的导数小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。练习与作业：1.求以下函数的导数:(1) y 3x 4 ；(2) y 1 2x(3) y 3x212x(3)2. 求函数y x2 1在1,0 , 1处导数。3. 求以下函数在指定点处的导数：(1) y x2,Xo 2 ；(3) y (x 2)2,Xo 1y 5 x31 2(2) y

13、-x ,Xo0 ；32(4) y xx, Xo1.4.求以下函数的导数:(1) y 4x 1;(3) y 2x3 3x；(2) y 10 x2 ;2(4) y 2x 7。5.求函数y x2 2x在一2,0 , 2处的导数。导数的概念习题课(5月6 日)教学目标理解导数的有关概念，掌握导数的运算法那么教学重点导数的概念及求导法那么教学难点导数的概念一、课前预习1. f(x)在点Xo处的导数是函数值的改变量与相应自变量的改变量的商当2. 假设f(x)在幵区间(a, b)内每一点都有导数f/(x)，称f/(x)为函数f(x)的导函数；求一个函数的导数，就是求;求一个函数在给定点的导数，就是求.函数f

14、(x)在点X。处的导数就是3. 常数函数和幂函数的求导公式：(c)/ (xn)/ (n N*)4. 导数运算法那么：假设，贝y：二、举例例 1. 设函数 f (x) x2 1，求：(1) 当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量x ;(2) 当自变量x由1变到1.1时，函数的增量 y ;(3) 当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；(4) 函数在x= 1处的变化率.例2.生产某种产品q个单位时本钱函数为C(q) 200 0.05q2，求(1) 生产 90 个单位该产品时的平均本钱;(2) 生产 90个到 100 个单位该产品时，本钱的平均变化率;(3) 生产 90个与 100 个单位该

15、产品时的边际本钱各是多少 .例3.函数f(x) x2，由定义求f/ (x)，并求f /(4).例4. 函数 f(x) (ax b)2(a,b 为常数 )，求 f/(x).例5.曲线y |x2上哪一点的切线与直线y 3x 1平行?三、稳固练习1. 假设函数f(x)x3，那么f ( 2)2.如果函数yf (X)在点Xo处的导数分别为:(1) f/(Xo)0(2)f/(X0)1(3) fg 1(4)f/(Xo)2，试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角3.函数f (x) x 2x2 ,/,1求 f/(0), f/(-),.4.求以下函数的导数 y r2 3x 2(3) y x3(x24)1 -x 3

16、(4) y (2x 1)2(3x 2)2 5x四、作业1. 假设 lim f(x)存在，那么lim f(x)/ =x 0x 02.假设 f(x) x2，那么 lim f(X) f(1)=x 1 x 13. 求以下函数的导数:(1) y 2x4 20x2 40 x 1(2)y233 2x 4x 5x(3) y (2x31)(3x2 x)(4)y23(X 2) (x 1)4.某工厂每日产品的总本钱C是日产量X的函数,即 C(x) 1000 7x5x2，试求:(1) 当日产量为100时的平均本钱;(2) 当日产量由100增加到125时，增加局部的平均本钱;(3)当日产量为100时的边际本钱.5. 设

17、电量与时间的函数关系为Q 2t2 3t 1，求t = 3s时的电流强度6. 设质点的运动方程是s 3t2 2t 1，计算从t = 2到t = 2+ t之间的平均速度， 并计算当t = 0.1时的平均速度，再计算t = 2时的瞬时速度.7. 假设曲线y 3 x2 1的切线垂直于直线2x 6y 3 0，试求这条切线的方程.28. 在抛物线y 2 x x2上，哪一点的切线处于下述位置？1与x轴平行2平行于第一象限角的平分线.3与x轴相交成45°角9. 曲线y 2x x2上有两点A 2,0，B 1,1 ，求：1割线AB的斜率kAB ； 2过点A的切线的斜率kAT ；3点A处的切线的方程.10

18、. 在抛物线y x2上依次取M 1,1 ，N 3,9，两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程11. 一气球的半径以10cm/s的速度增长，求半径为 10cm时，该气球的体积 与外表积的增长速度.12. 一长方形两边长分别用 x与y表示，如果x以0.01m/s的速度减小，y边以 0.02m/s的速度增加，求在x= 20m y = 15m时，长方形面积的变化率.13. 选做证明：过曲线xy a2上的任何一点x°,y。 x。0 的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.提示：丄/A xx导数的应用习题课5月8日教学目标掌握导数的几何意义，会求

19、多项式函数的单调区间、极值、最值教学重点多项式函数的单调区间、极值、最值的求法教学难点多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用、课前预习1. 设函数y f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内, 那么y f(x)是这个区间内的;如果在这个区间内，贝yy f (x)是这个区间内的.2. 设函数y f(x)在x xo及其附近有定义，如果f(xo)的值比X。附近所有各点的值都大(小)，那么称f(x。)是函数y f(x)的一个.3. 如果y f(x)在某个区间内有导数，那么可以这样求它的极值：(1)求导数;(2)求方程的根(可能极值点)；(3)如果在根的左侧附近为，右侧附近为那么函数 y f(

20、x)在这个根处取 得极值；如果在根的左侧附近为，右侧附近为贝惬数y f(x)在这个根处取得极值.4. 设y f(x)是定义在a，b上的函数，yf(x)在(a，b)内有导数，可以这样求最值：(1) 求出函数在(a，b)内的可能极值点(即方程f/(x) 0在(a，b)内的根X1, X2 , xn )；(2) 比拟函数值f(a)， f (b)与f(xj, f(X2), f (xn)，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.二、举例例1.确定函数f(x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间.例2.设一质点的运动速度是v(t) -t4 7t3 15t2 3，问：从t = 0到t = 10这段4时间

21、内，运动速度的改变情况怎样？例3.求函数f(x) 1x3 9x 4的极值.3例4.设函数f (x) 1ax3 !bx2 x在X! = 1与x2 = 2处取得极值，试确定 a和b32的值，并问此时函数在 捲与x2处是取极大值还是极小值？例5.求函数f(x) 3x3 9x 5在2,2上的最大值和最小值.例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？例7.求内接于抛物线y 1 x2与x轴所围图形内的最大矩形的面积.例8.某种产品的总本钱C (单位：万元)是产量 x (单位：万件)的函数：C(x) 100 6x 0.04x2 0.0

22、2x3，试问：当生产水平为 x = 10万件时，从降低单位本钱角度看，继续提高产量是否得当？三、稳固练习1. 假设函数f(x)在区间a，b内恒有f/(x) 0，贝吐匕函数在a，b上的最小值是2.曲线y2x2 x 1的极值点是3.设函数 f (x) ax3 (ax)2ax a在x = 1处取得极大值一 2，那么a=4. 求以下函数的单调区间：(1) y 2x3 3x2 12x 15. 求以下函数的极值：(1) y x2 4x 6，6. 求以下函数的最值：2(2) y (x 1) (x 2)(2) y x3 3x2 9x 5， 4,4(1) y x2 4x 6， 3,10(2) yx3 3x2，

23、1,47.设某企业每季度生产某个产品q个单位时，总本钱函数为C(q) aq3 bq2 cq，(其中a>0, b>0, c>0),求：(1)使平均本钱最小的产量(2)最小平均成 本及相应的边际本钱 .8. 一个企业生产某种产品， 每批生产q单位时的总本钱为C(q) 3 q (单位：百元)，可得的总收入为R(q) 6q q2 (单位：百元)，问：每批生产该产品 多少单位时，能使利润最大？最大利润是多少？9. 在曲线y 1 x2(x 0,y0)上找一点(xo,yo)，过此点作一切线，与 x轴、y轴构成一个三角形，问：X。为何值时，此三角形面积最小？10. 生产某种彩色电视机的总本钱

24、函数为 C(q) 2.2 103q 8 107，通过市场调查，可以预计这种彩电的年需求量为 q 3.1 105 50 p，其中p (单位： 元)是彩电售价，q (单位：台)是需求量.试求使利润最大的销售量和 销售价格 .多项式函数的导数 (5月 6日)教学目的 ：会用导数的运算法那么求简单多项式函数的导数教学重点 ：导数运算法那么的应用教学难点 ：多项式函数的求导一、复习引入1、函数f (x) x2，由定义求f/(x)，并求f/(4)2、根据导数的定义求以下函数的导数：(1)常数函数 y C( 2)函数 y xn(n N* )二、新课讲授1、两个常用函数的导数：2、导数的 运算法那么 ：如果函

25、数f(x)、g(x)有导数，那么也就是说， 两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数 与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数 .例1:求以下函数的导数：(1) y 7x3(2) y3x4(3) y 4x5 3x3(4) y (x21)(x2)(5) f(x) (ax b)2(a、b 为常数)例2:曲线y lx3上一点P(2,8)，求：33(1)过点P的切线的斜率；(2)过点P的切线方程.三、课堂小结：多项式函数求导法那么的应用四、课堂练习：1、求以下函数的导数：(1) y 8x2(2) y 2x 1(3) y 2x2 x(4) y 3x3 4x(5) y (2x 1)(3x2

26、)(6) y x2(x34)2、曲线y 4x x2上有两点A (4，0)，B( 2, 4)，求：(1)割线AB的斜率kAB ； (2)过点A处的切线的斜率kAT ； (3)点A处的切线 的方程3、 求曲线y 3x2 4x 2在点M(2, 6)处的切线方程.五、课堂作业1、求以下函数的导数：(1)y 5x2 4x 1(2)y5x23x 7(3) y 7x213x10(4)y 3x 3x3(5) y2x33x25x 4(6) f(x) (2x)(3x)f(x)3x4 23x340x10(8)2f(x) (x 2)x(9)f(x)(2x3 1)(3x2 x)(10)2y 3(2x 1) 4x2、求曲

27、线y 2x x3在x 1处的切线的斜率。3、求抛物线y 2x2在x 2处及x 2处的切线的方程。44、 求曲线y x3 3x2 1在点P (2,- 3)处的切线的方程。函数的单调性与极值 (5月10 日)教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；掌握利用导数判断函数单调性的方法；教学重点：利用导数判断函数单调性； 教学难点：利用导数判断函数单调性教学过程： 一引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性在假设Xi<X2的前提下，比拟f(x i)vf(x 2)与的大小，在函数 y=f(x)比拟复杂的情况下，比拟 f(x 1)与f(x 2)的 大小并不很容易如果利用导数来判断函数的单调性

28、就比拟简单二新课讲授1函数单调性我们已经知道，曲线 y=f(x)的切线的斜率就是函数 y=f(x)的导数.从函数 y x2 4x 3的图像可以看到：在区间(2， )内，切线的斜率为正，函数 y=f(x)的值随着x的增大而增大，即y/>0时，函数y=f(x)在区间(2，)内为增函数；在区间(，2)内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即y 0时，函数y=f(x)在区间(，2)内为减函数定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y/>0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内y/<0,那么函 数y=f(x)在

29、为这个区间内的减函数。例1确定函数y x2 2x 4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。例2确定函数y 2x3 6x27的单调区间。2极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在 X=0的函数值比它附近所有各点的函数值 都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在 X=2的函数值比它附近所有各 点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。一般地，设函数y=f(x)在x X。及其附近有定义，如果f(x。)的值比X。附近所有 各点的函数值都大，我们说 f( X。)是函数y=f(x)的一个极大值；如果f(x。)的值 比x°附近所有各点的函数值都小，我们说 f( x°)

30、是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：(i) 极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比拟是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最 小。(ii) 函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。(iii) 极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如(以下图所示,X!是极大值点，X4是极小值点，而f(X4)>f(Xj o(iv)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值

31、点 最大值、最小值的点可t 能在区J、间的而使函数取得由上图可以看从而有f(X)出，在函数取得极值!0。但反过来不一定。如函数 y部，也可能在区间的端点。，如果曲线有切线的话，那么切线是水平的，x3，在x 0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设Xo使f (Xo)0，那么Xo在什么情况下是的极值点呢?如上左图所示Xo是f(x)的极大值点，贝y Xo两侧附近点的函数值必须小于)。因此，X0的左侧附近f(x)只能是增函数 只能是减函数，丄爲同理,如上丄示f(Xf(X)0o Xo的右侧附近f(x)XXob示，假设X0是极小值点，那么在Xo的

32、aXb左侧附近f(X)只能是减函数，即f(X)0，在Xo的右侧附近f(x)只能是增函数, 即f(x) 0,从而我们得出结论：假设 Xo满足f (Xo) 0,且在Xo的两侧f(x)的导数异号，那么Xo是fx的极值点，fX。是极值，并且如果fX在Xo两侧满足“左正右负,那么Xo是f X的极大值点,fXo是极大值；如果f X在Xo两侧满足“左负右正，那么Xo是fX的极小值点,例3求函数y 1X3 4x 4的极值 3三小结1求极值常按如下步骤： 确定函数的定义域； 求导数；f Xo 是极小值 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。最好通过列表法 求方程y/=0的根，这些根也称为可能极值点;四稳固

33、练习1确定以下函数的单调区间:1 y 2x2 5x 72求以下函数的极值1y x2 7x 63y x327x五课堂作业1确定以下函数的单调区间:1 y 4x 23 yx2 2x 5(2) y 3x x3(2) y 2x2 5x(4) y 3x2 x3(2)y (x 1)2(4) y x3x2 x2求以下函数的极值1y x2 4x 102(2) y 2x 4x 7x2当x无限趋近于2时的变化趋势21.11.31.51.71.91.991.9991.999922y=x1.21当X从 右侧 趋近 于2时2.92.72.52.32.12.012.0012.000122y=x8.41.7.29Yx 2)

34、发现lim x2x 2我们再继续看yx21x 1当x无限趋近于1 x 1 时的变化趋势;函数的极限有概念:当自变量x无限趋近于xo x X。时，如果函数y fx5y4x33x26x(6) y2x24 X函数的极限4月29 日教学目标:1、使学生掌握当xXo时函数的极限；2、了解lim f(x)A的充分必要条件是limf(X)X xoXx0教学重点:掌握当XXo时函数的极限教学难点:对xXo时，当 XXo时函数的极限的概念的理解。教学过程:一、复习:1limnq -q 1；1(2) lim k.(kN )(4) y 612xn3 xlim f(x)X x0X x(3) yx3 3x213lim

35、x2?x 2二、新课就问题3展幵讨论：函数 当x从左侧趋近于2时无限趋近于一个常数 A,就说当x趋向xo时，函数y fx的极限是A,记作lim f x A。X x0特别地，lim C C ； lim x XoX XoX Xo三、例题求以下函数在X= 0处的极限X2(3)f(X)2x,x 00, X 01 x2,x 0四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限五、练习及作业:1、对于函数y2x 1填写下表，并画出函数的图象，观察当x无限趋近于1时的变1.51.11.011：9010：00011.000011y=2X±1化趋势，说出当x 1时函数y 2x 1的极限2、对于函数y x2

36、 1填写 下表，并画出函 数的图象，观察 当x无限趋近于x212x2 x3.13.013.9012.00013.000013.00000130茅訣二13时的变化趋势，说出当x3时函数y x2 1的极限301lim么31)(13x)23x 2xlim 2(sin x cosx x2)X 21 - XmoH XX2a JmoH X2XV1m4H X函数的最大与最小值 5月8 日教学目标：1、使学生掌握可导函数fx在闭区间a,b上所有点包括端点a,b 处的函数中的最大或最小值；2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学重点：掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学难点：提高“用导数求函数的极值及

37、最值的应用能力一、复习：1、 xn /; 2、 C fx gx /3、求y=x3 27x的极值。新课值最x在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个大，哪个值最小观察下面一个定义在区间a,b上的函数y f (x)的图象发现图中 是极小值，_是极大值，在区间 a,b上的函数y的最大值是 ，最小值是 在区间a,b上求函数y f (x)的最大值与最小值的步骤:1、函数y f (x)在(a, b)内有导数；.2、 求函数yf (x)在(a,b)内的极值3、将函数y f(x)在(a,b)内的极值与f(a), f(b)比拟，其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值三、例1、求函数y x4 2x

38、2 5在区间2,2上的最大值与最小值。解：先求导数，得y/ 4x3 4x令y/ = 0即4x3 4x 0解得 Xi1,X2 0, X3 1导数y/的正负以及f( 2)， f(2)如下表X2-2， 1 11，000，111，2 2/y0+0一0+y1345413从上表知，当 x 2时，函数有最大值13，当x 1时，函数有最小值4在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少,效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。例2用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90。角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最

39、大，最大容积是多少？例3、某商品生产本钱C与产量P的函数关系为C= 100 + 4P，价格R与产量P的函数关系为 R= 25 0.125P，求产量P为何值时， 利润L最大。四、小结：1、闭区间a,b上的连续函数一定有最值；幵区间 (a,b)内的可导函数 不一定有最值，假设有唯一的极值，那么此极值必是函数的最值。2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值 可能不止一个，也可能没有一个。3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即 可，不必再与端点的函数值进行比拟。五、练习及作业：1、 函数

40、y x2 5x 4在区间1,1上的最大值与最小值2、 求函数y 3x x3在区间,3,3上的最大值与最小值。3、 求函数y x4 2x2 5在区间2,2上的最大值与最小值。4、 求函数y x5 5x4 5x3 1在区间 1,4上的最大值与最小值。5、给出下面四个命题(1) 函数yx25x4在区间 1,1上的最大值为 10，最小值为一-4(2) 函数y2x24x1 ( 2V XV 4)上的最大值为17,最小值为1(3) 函数yx312x( 3V XV 3)上的最大值为16， 最小值为一16(4) 函数yx312x( 2v XV 2)上无最大值也无最小值。其中正确的命题有6、把长度为L CM的线段

41、分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。7、把长度为L CM的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。8某商品一件的本钱为 30元，在某段时间内，假设以每件 X元出售，可以卖出200-X件，应该如何定价才能使利润L最大？9、 在曲线Y =1 XX 0, Y 0 上找一点了xo,y。，过此点作一切线，与 X、Y 轴构成一个三角形，问 X0为何值时，此三角形面积最小？10、要设计一个容积为 V的圆柱形水池，底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？ 提示： -4xx函数极限的运算法那么4月30日教学目标：

42、掌握函数极限的运算法那么，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法那么求极限 教学难点：函数极限法那么的运用 教学过程:一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如|计丄0, lim x xo.假设求极x xx x0限的函数比拟复杂，就要分析函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合 而成的，函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂 函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算 二、新课讲授对于函数极限有如下的 运算法那么:XX。如果 lim f (x) A, lim g(x) B，那么X xo也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函

43、数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商作为除数的函数的极限不能为0.说明：当C是常数,n 是正整数时，lim Cf (x) C lim f (x)XX。x xo这些法那么对于x的情况仍然适用.三典例剖析求 lim(x2 3x)x 232求lim空丄x 1 x 1x216求limx 4 x 4分析：当x 4时，分母的极限是0,不能直接运用上面的极限运用法那么 .注意函 数y x 16在定义域x 4内，可以将分子、分母约去公因式 x 4后变成x 4，x 4 由此即可求出函数的极限.2例4求lim x 2 xx x 1分析：当x时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算 法那

44、么.如果分子、分母都除以x2，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的 极限运用法那么计算。总结：lim C c,limxkx；(k N*),XX。x xo2x2 x 4例5求lim 3 厂x 3x3 x21分析：同例4 一样，不能直接用法那么求极限.如果分子、分母都除以x3，就可 以运用法那么计算了。四课堂练习利用函数的极限法那么求以下函数极限(1) liq(2x 3)；(2) lim(2x2 3x 1)x 2(3) lim(2x 1)(x 3)；x 4(4)2x2 1l75ImI Xm!7mH XX3X五小结1有限个函数的和或积的极限等于这些函数的和或积；2函数的运算法那么成立的前提条件是

45、函数fx,gx的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点两个或几个函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.在求几个函数的和或积的极限时，一般要化简,再求极限作业求以下极限(1)lim (2x3 3x 4)x 1x25(2)(3)2x lim 2x 1 x x 1(4)x2 3x 1 lim (x 0 x 41)(5) lim,x X231-3423 x x(6) limx3x3 x20 x5 3x4 2x2(10)(16)limx 2 x 42lim区皿x 03 x xlim厂x x 3x 13x211x 6lim 厂x 2x 5x 3(8)(11)lim 2

46、1x 1 x2lim(2x2)x32x 1、2 lim2() x 2 3x 2x x2 6x32.3(17)xm0 2x 5x3x(9)limxx3 3x2 2xx2 x 6x212x2 2x 1(15) lim 3x2 11x 6x 1 2x 5x 32 c 35兴咼极限的概念4月27 日教学目的：理解数列和函数极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限; 教学难点：数列和函数极限的理解教学过程：一、实例引入:例：战国时代哲学家庄周所着的?庄子天下篇?引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这 样的过程可以无限制地进行下去。1求第n天

47、剩余的木棒长度an尺，并分析 变化趋势；2求前n天截下的木棒的总长度bn尺，并分析变化趋势。观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n无限增大时，数列的项an无限趋近于某个常数 A 即an A无限趋近于0。an无限趋近于常数 A，意指“ a. 可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要 n充分大，就能到达我们所希 望的那么近。即“动点an到A的距离an A可以任意小。、新课讲授1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限趋近于 某个常数A 即|an A无限趋近于0,那么就说数列an的极限是A,记作注：上式读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等于A。“n x表示

48、“n趋 向于无穷大，即n无限增大的意思。lim an A有时也记作当n x时，an A n引例中的两个数列的极限可分别表示为， 思考：是否所有的无穷数列都有极限?例1:判断以下数列是否有极限，假设有，写出极限；假设没有，说明理由(1) 1 1 -123n(3) -2，-2，-2，-2，;(5) 1,1，- 1,n .n 1；(2) 1，?，3，234(4) 0.1，0.01， 0.001，(0.1)n，;，(1)n ，注：几个重要极限：1(1) lim - 0(2) lim C C (C是常数)n nn(3) 无穷等比数列qn ( q 1 )的极限是0,即：limqn 0(q 1)n2、当x时

49、函数的极限(1) 画出函数y -的图像，观察当自变量 x取正值且无限增大时，函数值x正无穷大时,y的变化情况：函数值无限趋近于0,这时就说，当x趋向于 A函数y -x的极限是0,记作：lim -0x般地，当自变量x取正值且无限增大时，如果函数y f(x)的值无限趋近于一个常数A,就说当x趋向于正无穷大时，函数 y f(x)的极限是A,记作：lim f (x) Ax也可以记作，当x 时，f (x) A(2) 从图中还可以看出，当自变量 x取负值而x无限增大时，函数y丄的x值无限趋近于0,这时就说，当x趋向于负无穷大时，函数 y -的极限是0,记x作: lim 丄 0x x一般地，当自变量x取负值

50、而x无限增大时，如果函数y f(x)的值无限趋近于一个常数A,就说当x趋向于负无穷大时，函数 y f(x)的极限是A,记作:Jim f (x) A也可以记作，当x 时，f(x) A(3) 从上面的讨论可以知道，当自变量x的绝对值无限增大时，函数y的x值都无限趋近于0,这时就说，当x趋向于无穷大时，函数y丄的极限是0,记x作 lim -0x x一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函数y f(x)的值无限趋近于一个常数 A,就说当x趋向于无穷大时，函数y f(x)的极限是 A,记作：lim f (x) Ax特例：对于函数f(x) C ( C是常数)，当自变量X的绝对值无限增大时，函数f (x) C的值保持不变，所以 当x趋向于无穷大时，函数f(x) C的极限就是C , 即例2:判断以下函数的极限：(2) lim 10xX|7(4) lim 4三、课堂小结1、数列的极限2、当x 时函数的极限四、练习与作业1、判断以下数列是否有极限，假设有，写出极限(1)12 ，n；(2)7,7, 7,，