1999年全国初中数学联赛(Ⅰ)试题答案

1、1999年全国初中数学联赛（I ）试题第一试选择题1.计算-4十二十二的值是 1-V3 1+V3 ' + #A. 1 B. -1 C. 2 D. -22 . ZXABC的周长是24, M是AB的中点，MC=MA=5 ,则AABC的面积 是A. 12 B. 16 C. 24 D. 303 .设b>a,将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标 系内，则有一组a、b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是CD4 . 若函数y =微e-1 OOx + 196 + |x2 - 100入 + 19电 贝U当自变量1, 2, 3,，100这100个自然数 时，函数值的和是

2、A. 540B. 390 C. 194 D. 975 .如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB/DC, AB=998 , DC=1001, AD=1999, 点P在线段AD上，则满足条件/ BPC=90°的点P的个数为a. 0 B. 1 C. 2 D.不小于3的整数666.有下列三个命题：Lj（甲）若a、B是不相等的无理数，则 a B + a - BD ,是无理数；工乙：替d 力是不于目等的壬速类m .u 3 一 Ct T- （3cmy 音。, /是不于目等的壬型士，贝+ 无王里琴。A. 0 B. 1 C. 2D. 3填空题1 .< 1 1务口 - < t" 匚：

3、a =0 N 匕）匚 eO . Bl R C1. 贝 I+ 02.如图，在 ABC 中，/ B=36° , A ACB=128° , / CAB 的平分线交BC于M, 4ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则4ANM的最小角3.已知a、b为整数，且满足F 111a+b=.4.在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且/ NMB= /MBC, WJtg/ABM=.第二试1 .某班参加一次智力竞赛，共a、b、c三题.每题或者得满分或者得0 分，其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分，竞赛结果，每个学生至 少答对了一题，三题全答对的有1个，答对其

4、中两道题的有15人，答对题a的 人数与答对题b的人数之和为29;答对题a的人数与答对题c的人数之和为25; 答对题b的人数与答对题c的人数之和为20.问这个班的平均成绩是多少分？2 .如图，设八ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC.已知 圆过点C且与AC相交于F,与AB相切于AB的中点G.求证：ADXBF.3 . a是大于零的实数，已知存在唯一的实数 k,使得关于x的二次方程 x2+(k2+ak)x+1999+k2+ak=0的两个根均为质数，求a的值.1999年全国初中数学联赛(I )参考答案、选择题一旃 座次=I= 1 + K =一之C3Z5>2 .解 VMA=MB=MC

5、=5 , 丁. / ACB=90 °已知周长是24,则AC+BC=14, AC2+BC2=102, .2AC BC=(AC+BC) 2-(AC2+BC2) =142-102=4 X 24-3口网仁=告AU HQ = 2有= <C>3 .每7田方程组J ¥匕工十:附侍7送口在就直通的五点，为d'十to .图(A)中交点横坐标是负数，故图(A)不对.图(C)中交点横坐标是2*1,故图(C)不对.图(D)中交点纵坐标是大于a小于b的数，不等于a+b,故图(D)不对，故选 (B).答：(B)4 .解 . x2-100x+196=(x-2)(x-98), .当 2

6、&x&98时，|x2-100x+196|=-(x2-100x+196)当自变量x取2, 3,，98时函数值都为0.而当x取1, 99, 100时， |x2-100x+196|=x2-100x+196故所求的和为(1-2)(1-98)+(99-2)(99-98)+(100-2)(100-98)=97+97+196=390 答：(B)5.解 AD的中点M,对BC张成90°角；又在AD上，取点N ,使AN=998 , 则ND=1001.由 ABN和ADCN都为等腰三角形推知，/ BNC=90° .注意 到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点，可知所求点的个数为2.

7、答：(C).右 .闩 » a白一."tfp » a 0 1 * 1a 1>< p * _> + 1仪要令0 =1+¥= 1 +贝11«13+ ot 户»有在里委营.工七款二w、QnmI Q 一 £力TTT里翅,d-t- p-chd 不不r，" p1 、F* 见$ 4d o至支* 二两3不对n 菖.二、填空题1.解 :(b-c)2=4(a-b)(c-a), 即 b2-2bc+c?=4ac-4bc+4ab-43,4a2+b2+c2-4ac-4ab+2bc=Q. . (b+c)2-4a(b+c)+4a2

8、=0, . 2a2-(b+c)2=0,2a = b + c, t±£- 2 a2. Z B=36o ,/ACB=128° , AM 为/CAB 的平分线, 丁. / CAM= / MAB丁. / AMC=44 0又AN为切线，丁. / NAC= / B=360 , / NAM=44 ° , ./N=180° -440 -440 =920 ,.ANM的最小角为4403.解左边二祟ab 2rTb = 3(3b-2)(3a-2)=4,而a、b为整数且不相等，故3b-2, 3a-2H可能取值1, 4或-1, -4.f兆-2 = 1不妨设则:产-2=4-

9、3b - 2 - -4或 ：丁：.无整数解，由，得 b=1 , a=2,a+b=3.4.解 延长MN交BC的延长线于T,设MB的中点为O,连TO,则4BAM“tob.所以Alvl _ OBW= BT即MB2=2AM - BT 令DN=1 , CT=MD=k ,贝(jAM=2-k ,EM = j4 + (2-lc)* , BT = 2+k)代入, 得 4 +(2-上尸=2(2 - k)(2 + k),'.tgZABMAMAB注意到kwO,解得13AM = |,三、解答题1-解设4、%、分别表示答对题本题 从题c的人数，% + %=29 则有4 4 + / = 25% +“ = 20X.

10、= 171* 9+ Xb + x。 = 37 p ，笈匕=12x- = 8 L L答对一题的人数为37-1x3-2x15 = 1,全班人数为1+4+ 15= 20,故平均成绩为- 20 + C25 =20等 这个班的平均成绩是42分.2 .证作DE 1 ACTE则 AC = - AE,AG =三 ED A2由切割线定理AGa AC,ED2 = AT. -AE, 4d.FED* = AF * AE,ED = AF* AE, ,AB _ AT ' AE - ED ?二bafs/iaed, ,-,ZABF=ZEAD而/EAD + NDAB = 90 口， ，/ABF +/DAB = 90， .AD1BF3 .解设方程的两个质数根为p、q,由一元二次方程根与系数的关系, 有p+q=-k2-ak pq=1999+k2+ak +，得 p+q+pq=1999 . .(p+1)(q+1)=24X 53 由知，p、q显然均不能为