2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1配套学案：2.1.1　椭圆及其标准方程 Word版含解析

1、第二章圆锥曲线与方程我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是一个圆，如果改变平面与圆锥轴线的夹角，又会得到什么图形呢？如图，当截面与圆锥轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线实际上，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨道上运行，太阳系其他行星也是如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上如果这些行星的运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线轨迹运行人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了因而，圆锥曲线在这种意义上

2、讲，构成了我们宇宙的基本形式圆锥曲线具有怎样的几何特征？如何研究圆锥曲线的性质呢？ 2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程自主预习探新知情景引入中国科学院紫金山天文台在对海尔波普彗星进行了大量的观测和计算后，发布了一条消息：从1997年2月中旬起，海尔波普彗星将逐渐接近地球，4月过后又将渐渐离去，并预测：3 000年后，它将再次光临地球上空天文学家是根据什么做出这样的预测呢？原来，海尔波普彗星的运行轨道是一个椭圆，通过推算它的运行轨道的方程，算出它的运行周期及轨道的周长，即可得出这一预测可见只要你留心，就会发现椭圆离我们的生活并不遥远，那么在数学方面，我们应学习和掌握椭圆的哪些内容呢？新知导学1

3、我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为_连接这两点的线段的垂直平分线_.也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形那么平面内到两定点距离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？2平面内与两个定点f1、f2的距离的_和_等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的_焦点_，_两焦点_间的距离叫做椭圆的焦距当常数等于|f1f2|时轨迹为_线段|f1f2|_，当常数小于|f1f2|时，轨迹_不存在_.3椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_1(ab0)_1(ab0)_图形焦点坐标_f1(c,0)、f2(c,0)_f1(0，c)、f2(0，c)_

4、a、b、c的关系_a2b2c2_预习自测1椭圆1的焦点坐标是(b)a(，0)b(0，)c(5,0)d(0，5)解析椭圆方程为1，椭圆的焦点在y轴上，又a29，b24，c25，椭圆的焦点坐标为(0，)2椭圆1上的一点p到椭圆一个焦点的距离为7，则点p到另一个焦点的距离是(b)a2 b3 c5 d7解析设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，|pf1|7，则|pf2|2a|pf1|1073.3已知点m到两个定点a(1,0)和b(1,0)的距离之和是定值2，则动点m的轨迹是(b)a一个椭圆b线段abc线段ab的垂直平分线d直线ab解析|ma|mb|2|ab|，点m在线段ab上，故选b4椭圆1的焦距是2，则

5、m的值是(c)a5b3或8c3或5d20解析2c2，c1，故有m41或4m1，m5或m3，故选c5已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_8m25_.解析由题意得，解得8m0，b0，ab)直接求a，b的方程解析(1)由题意可知椭圆的焦点在x轴上，且c4,2a10，a5，b2a2c225169.椭圆的标准方程为1.(2)解法一：椭圆的焦点在y轴上，可设它的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知2a12，所以a6.又c2，所以b2a2c232.椭圆的标准方程为1. 解法二：椭圆的焦点在y轴上，可设其标准方程为1(ab0)由题意得，解得.椭圆的标准方程为1.(3)解法一：若椭圆的焦点在x轴

6、上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得，解得.所求椭圆的标准方程为1.同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在. 综上，所求椭圆的标准方程为1.解法二：设椭圆的一般方程为ax2by21(a0，b0，ab)将两点(2，)、(1，)代入，得，解得.所以所求椭圆的标准方程为1.规律方法求椭圆的标准方程常用的方法有：定义法和待定系数法无论何种方法都应做到：先定位：即确定焦点的位置，以便正确选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，就需分类讨论，或者利用椭圆方程的一般形式(通常设为ax2by21(a0，b0，ab)，避免讨论；后定量：根据已知条件，列出方程组求解未知数跟踪练习2_(1)已知椭圆的两个焦点

7、坐标分别是(0，2)和(0,2)，且过点(，)，则椭圆的标准方程为_1_.(2)已知椭圆经过点(，)、(，)，求其标准方程解析(1)(定义法)由椭圆的定义知，2a2，a.又c2，b26.又椭圆的焦点在y轴上，所求椭圆的标准方程为1.(2)(待定系数法)设椭圆的一般方程为ax2by21(a0，b0，ab)，把点(，)、(，)分别代入方程，列方程组为，解得a，b1，椭圆标准方程为y21.命题方向定义法解决轨迹问题典例3 已知b、c是两个定点，|bc|8，且abc的周长等于18，求这个三角形的顶点a的轨迹方程思路分析由abc的周长等于18，|bc|8，可知点a到b、c两个定点的距离之和是10，所以点

8、a的轨迹是以b、c为焦点的椭圆，但点a与点b、c不能在同一直线上适当建立平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程解析以过b、c两点的直线为x轴，线段bc的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xoy，如图所示由|bc|8，可知点b(4,0)，c(4，0)，c4.由|ab|ac|bc|18，|bc|8，得|ab|ac|10.因此，点a的轨迹是以b，c为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，但点a不在x轴上由a5，c4，得b2a2c225169.所以点a的轨迹方程为1(y0)规律方法如果在条件中有两定点，涉及动点到两定点的距离，可考虑能否运用椭圆定义求解利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，

9、应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程跟踪练习3_已知圆a：(x3)2y2100，圆a内一定点b(3,0)，圆p过点b且与圆a内切，求圆心p的轨迹方程解析|ab|3|36，如图所示设圆p的半径为r，又圆p过点b，|pb|r.又圆p与圆a内切，圆a的半径为10，两圆的圆心距|pa|10r，即|pa|pb|10(大于|ab|)点p的轨迹是以a，b为焦点的椭圆2a10,2c|ab|6，a5，c3.b2a2c225916.即点p的轨迹方程为1.学科核心素养椭圆的焦点三角形的性质

10、1如图所示，pf1f2称为椭圆的焦点三角形如勾股定理，余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式等均成立2解题时应用相关定理要结合椭圆的定义3焦点三角形中常用的关系式有：(1)|pf1|pf2|2a；(2)sf1pf2|pf1|pf2|sinf1pf2；(3)|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cosf1pf2.典例4 如图所示，已知点p是椭圆1上的点，f1和f2是焦点，且f1pf230，求f1pf2的面积思路分析椭圆上一点p与两焦点f1、f2构成的三角形pf1f2我们通常称其为焦点三角形，在这个三角形中，既可运用椭圆定义，又可运用正、余弦定理有时还运用整体思想求|pf1|pf

11、2|等解析在椭圆1中，a，b2，c1，又点p在椭圆上，|pf1|pf2|2a2由余弦定理知|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 30|f1f2|2(2c)24式两边平方得|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|20得(2)|pf1|pf2|16，|pf1|pf2|16(2)，spf1f2|pf1|pf2|sin3084.规律方法在解焦点三角形问题时，一般有两种方法：(1)几何法：利用两个关系式：|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)；利用正余弦定理可得|pf1|、|pf2|、|f1f2|的关系式，然后求出|pf1|、|pf2|.但是，一般我们不直接求出，而是根据需要，把|

12、pf1|pf2|，|pf1|pf2|，|pf1|pf2|看成一个整体来处理(2)代数法：将p点坐标设出来，利用条件，得出点p的坐标间的关系式，再由点p在椭圆上，代入椭圆方程，联立方程组，解出点p的纵坐标，然后求出面积典例5 已知点p(3,4)是椭圆1(ab0)上一点，f1，f2是椭圆的两个焦点，若0.(1)求椭圆的方程；(2)求pf1f2的面积解析(1)0，pf1f2是直角三角形，|op|f1f2|c.又|op|5，c5.椭圆方程为1.又p(3,4)在椭圆上，1，a245或a25.又ac，a25舍去故所求椭圆方程为1.(2)由椭圆定义知|pf1|pf2|6，又|pf1|2|pf2|2|f1f2

13、|2，由2得2|pf1|pf2|80，spf1f2|pf1|pf2|4020.规律方法解决焦点三角形问题时常用椭圆的定义和余弦定理，偶尔也会用正弦定理求解跟踪练习4_已知椭圆1的焦点为f1、f2，p为椭圆上的一点，已知pf1pf2，则f1pf2的面积为(a)a9b12c10d8解析解法一：几何法如图，由已知得a5，b3，c4.则，由此可得|pf1|pf2|18，sf1pf2|pf1|pf2|9.解法二：代数法设点p坐标为(x，y)，由已知得a5，b3，c4.pf1pf2，点p在以f1f2为直径的圆上，即：x2y216，又点p在椭圆上，所以1，联立方程组得：，解得：y，sf1pf2|f1f2|yp|89.易混易错警示由焦点讨论参数范围时，忽视焦点在坐标轴上的讨论. 典例6 方程1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围错解1方程1表示焦点在