初三数学二次函数专题训练

1、v1.0 可编辑可修改辅导联系电话:11初三数学二次函数专题训练知识讲解1一般地，如果 y=ax2+bx+c （a， b, c 是常数且 a丰0）,那么 y 叫做 x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.2当 b=c=0 时，二次函数 y=ax2是最简单的二次函数.3二次函数 y=ax2+bx+c （a, b, c 是常数，a*0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通2常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x-h） +k，通常要知道顶点坐标或对言其顶点坐标为（h, k）,

2、 ?由于二次函数的图像为抛物线,对称轴，顶点.2b4二次函数 y=ax+bx+c 的对称轴为 x=，最值为2a4 ac b2,（k0 时为最小值，k0）个单 位得到函数 y=ax2 k，将 y=ax2沿着 x 轴（右”，左+ ”）平移 h （h0）个单位得到 y=a （x h）2. ?在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿（上加下减），若沿 x 轴平移则直接在含 x 的括号内进行加减（右减左加）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与y 轴的交点.称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x xi） （x X2）,通常要知道图像与 x 轴的两个交点坐标

3、xi, X2b 4ac b2).对于 y=a( x h)2+k 而才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c 而言，其顶点坐标为2a 4a因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向,4ay?轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减x 轴的交点，与v1.0 可编辑可修改辅导联系电话:12抛物线 y=ax2+bx+c 的图像位置及性质与 a, b, c 的作用：a 的正负决定了开口方向，当a0 时，开口向上，在对称轴 x=的左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴x= 的右侧，y 随 x 的增大而增2a2a2大，此时 y 有最小值为 y=，顶点（一 -b-2a24ac b）为最低点；当 a0 时，开口向

4、下，在对称轴 x=的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴2ax=的右侧，y 随 x 的增大而增大，此时 y 有2a4a4av1.0 可编辑可修改辅导联系电话:22开口越小，图像两边越靠近y 轴，|a |越小，开口越大，？图像两边越靠近 x 轴；a, b 的符号共同决定K了对称轴的位置，当 b=0 时，对称轴 x=0,即对称轴为 y 轴，当 a, b 同号时，对称轴 x= 一 0,即对称轴在 y 轴右侧，垂2a直于 x 轴正半轴；c?的符号决定了抛物线与 y 轴交点的位置，c=0 时，抛物线经过原点，c0 时，与 y 轴交于正半轴；c0,开口向上,又Jy=x2x+m=x2x+ ( )2 +m

5、=(x )2+ _-242411 4m 1对称轴是直线 x=-，顶点坐标为(1, 呱).224(2)v顶点在 x 轴上方，顶点的纵坐标大于 0,即 如041 m时，顶点在 x 轴上方.42(3)令 x=0，则 y=m. 即抛物线 y=x x+m 与 y 轴交点的坐标是 A (0, m).JAB/ x 轴 B 点的纵坐标为 m.当 x2 x+m=nW，解得 X1=0, X2=1.最大值为y=4ac b24a,顶点(一,4ac b24a为最咼点.a 丨的大小决定了开口的宽窄，|a |越大,v1.0 可编辑可修改辅导联系电话:23A(0, m,B(1, m1-SAAOB=4.2故所求二次函数的解析式

6、为在 Rt BAO 中, AB=1, OA=1 | m | 1=4,. m= 82y=x2 x+8 或 y=x2 x 8.v1.0 可编辑可修改辅导联系电话:所以抛物线的解析式为y= x2 4x+5.(2)由 y= x2 4x+5 ,令 y=0 ,得x2 4x+5=0.解这个方程，得 X1= 5 , X2=1.所以点 C 的坐标为(一 5 , 0),由顶点坐标公式计算，得点 D ( 2 , 9).【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a, b, c?的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处.例 2(重庆市)已知：m, n 是方程 x2 6x+5=0 的两个实数根，且 mn 抛物线y x2

7、+bx+c 的图像经过点 A( m,0) , B( 0,n),如图所的面积；(3) P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PFUx 轴，与抛物线交于 H 点，若直 线BC?把厶 PCH 分成面积之比为 2: 3 的两部分，请求出 P 点的坐标.【分析】(1)解方程求出 m n 的值.用待定系数法求出 b, c 的值.(2)过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M,可求出 DMC 梯形 BDBO BOC 的面积，？用割补法可求出厶 BCD 勺面积.(3) PH 与 BC 的交点设为 E 点，则点 E 有两种可能:32 EH=EP, EH=EP.23【解答】(1)解方程 x2 6x+5=0,

8、得 X1=5, X2=1 .由 mn,有 m=1, n=5.所以点 A, B 的坐标分别为A (1, 0) , B( 0 ,5).将 A( 1 ,0),B( 0 , 5)得1 b c0,解这个方程组,得c 5b 4,c 5v1.0 可编辑可修改2辅导联系电话:44过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于 M,如图所示.1梯形 MDBOX2x(9+5)=14,2125 BDC=X5X5=.22(3 )设 P 点的坐标为(a, 0)因为线段 BC 过 B, C 两点，所以 BC 所在的直线方程为 y=x+5 .那么，PH 与直线 BC 的交点坐标为 E (a, a+5), PH 与抛物线 y= x2+

9、4x+5?的交点坐标为 H( a, a24a+5).3由题意，得EH=-EP,即223(a 4a+5) ( a+5) = (a+5).23解这个方程，得 a=或 a= 5 (舍去).22 EH=EP,得323(a 4a+5) ( a+5) = (a+5).22 解这个方程，得 a=或 a= 5 (舍去).332P 点的坐标为(一 ，0)或(一三，0).23的图像中的一条与 x 轴交于 A, B 两个不同的点.(1)试判断哪个二次函数的图像经过A, B 两点；(2 )若 A 点坐标为(一 1 , 0),试求 B 点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过 A, B 两点的二次函数，当 x 取何值时

10、，y 的值随 x?值的增大而减 小S DM=x9x2(5 2)272所以SA BCD=S梯形 MDB+SAc 一27DMC一SA BOC= 14+一252=15.(山东枣庄)已知关于x 的二次函数2 .2m 1 -2y=x mx+与 y=x mxm222这两个二次函数【解答】(1 )对于关于 x 的二次函数2m21v1.0 可编辑可修改辅导联系电话:552 2当 m=2 时，y=x 2x 3 .令 y=0，得 x 2x 3=0.解这个方程，得 X1=1, x2=3.此时，点 B 的坐标是 B (3, 0).(3)当 m=0 时，二次函数为 y=x2 1，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0,所

11、以当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小.当 m=2 时，二次函数为 y=x2 2x 3= (x 1)2 4,此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x y1时，x 的取值范围_.22.(山东省)已知抛物线 y=a+bx+c 经过点 A ( 2, 7), B (6, 7) , C(3, 8),?则该抛物线上纵坐标为一8 的另一点的坐标是 _ .3 .已知二次函数 y= x2+2x+c2的对称轴和 x 轴相交于点(m, 0),则 m 的值为_m22由于 b 4ac= ( m) 4x1xm212m 所以此函数的图像与 x 轴没有交点.对于关于 x 的二次函数 y=x2 mx所以此函数的

12、图像与(2)将 A( 1,m22由于 b2 4ac= ( m)24X1Xm2=3 卅+40,2x 轴有两个不同的交点.故图像经过 A, B 两点的二次函数为y=x2 mx2y=x m22整理，得 m 2m=0.解得 m=0 或 m=2得 1+mm-2=0.22 2当 m=0 时，y=x 1.令 y=0，得 x 仁 0.解这个方程，得 X1= 1 , X2= 1.此时，点 B 的v1.0 可编辑可修改辅导联系电话:66i|yyj/J厂ol 蛊/1yo（第 9 题）(第 12 题）（已知二次函数2y=ax +bx+c 的图像过点 A(1, 2), B ( 32), C (5, 7).若点 M( 2

13、, yi), N出一个）.5.（黑龙江省）已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点（1, 2）与（1, 6甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为12 3其距地面高度 h（m）之间的关系式为 h= s2+s+.如下左图所示，？已知球网 AB 距原点 5m123 2乙（用线段 CD 表示）扣球的最大高度为？m,设乙的起跳点 C 的横坐标为 m,若乙原地起跳，因球的44.（温州市）若二次函数 y=x2 4x+c 的图像与 x 轴没有交点，其中c 为整数，？则 c=（只要求4）,则 a+c?的值是P,羽毛球飞行的水平距离s （m）与高度高于乙扣m?的取值范围是h/m7.（甘肃省）二次函

14、数& （甘肃庆阳）兰州市（楼） 的变化而变化2y=x 2x 3 与 x 轴两交点之间的距离为“安居工程”新建成的一批楼房都(x=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,上右图），则 6 楼房子的价格为元/m2.8 层高，？房子的价格 y （元/m2）随楼层数 x8）,已知点（x, y） ?都在一个二次函数的图像上（如二、选择题9.（长沙）二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示,?则下列关系式不正确的是（A. a0 C . a+b+c010.(威海)v1.0 可编辑可修改辅导联系电话:77(1, y2), K (8, y3)也在二次函数 y=ax2+bx+c 的图像上，则下列结论中正确的是()A . yiy2y3B . y2yiy3C . y3yiy2D . yiy30）交 x 轴 A, B 两点，交 y 轴于点 C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 E,点 B 的坐标为（一 1, 0）.（1 ）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；（2） 过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形 ABCP?是什么四边形并证明你 的结论；（3） 连接 CA 与抛物线的对称轴交于点 D,当/ APD2ACP 时，求抛物线的解析式.v1.0