特殊平行四边形难题综合训练含参考答案

1、A、( 2,2 ) B(. 2, 2) C、(、3, .3 ) D(2,2 )第五章特殊平行 四边形难题综 合训练1、正方形ABCD正方形BEF(和正方形RKPF勺位置如图所示，点 G在线段DK上, 且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG勺边长为4,则厶DEKF面积 为( )A. 10 B . 12 C. 14 D. 16 2、如图，在正方形ABC呐有一折线段，其中AE!EF, EF丄FC,并且AE=6, EF=8,FC=10，则正方形的边长为.第1题第2题第3题第4题3、如图，平面内4条直线I 1、I 2、| 3、| 4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是 1个单位长度，正方形

2、ABC啲4个顶点A B、C D都在这些平行线上，其中点 A C分别在直线I 1、丨4上，该正方形的面积是平方单位.4、如图，在菱形ABC中，边长为10,/ A=60°.顺次连结菱形ABC各边中点，可得四边形ABCD;顺次连结四边形 ABCD各边中点，可得四边形 ABGC2;顺次连结四边形ARGD各边中点，可得四边形 ABGC3;按此规律继续下去 则四边形AB2CD的周长是；四边形 A013B2013G013D013的周长是.5、如图，四边形ABCDI矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F,/ AED2/CED 点 G是 DF的中点，若 BE=1, A(=4,则 AB的长

3、为.6、如图，四边形 ABCDK AB=BC / ABC/CDA90° , BEL AD于点 E,且四边形 ABCD的面积为8,则BE=()则将)A. 2 B. 3C.2 2D. 2.3第5题第6题第7题第8题7、如图，菱形OAB啲顶点O在坐标原点，:菱形OAB绕原点顺时针旋转105°至OA& 如图，正方形 ABC中，AE=3,点E在边CDk,且CD=3DE将厶ADE沿 AE对折至 AFE延长EF交边BC于点G连接AG CF.下列结论：点G是BC中点;DF(=FC;Sfg=9/10 .其中正确的是()A. B. C. D. 9、如图，在正方形ABC呼，点0为对角线A

4、C的中点，过点0作射线OM ON分别交AB BC于点E、F,且/ EO=90° , BO EF交于点P.则下列结论中：(1)图形中全等的三角形只有两对；(2)正方形ABCD的面积等于四边形OEB面积的4倍；(3) BEfBF= 2 0A; (4) AE+CF=20F?OB正确的结论有()个.A. 1B. 2 C. 3 D. 410、如图，在矩形ABC中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型 模板如图放置，则矩形 ABC啲周长为.11、在边长为6的菱形ABC中，动点M从点A出发，沿A-B-C向终点C运动，连接DM交 AC于点N.(1) 如图111，当点M在AB边上时，连接 BN求证：

5、ABN ADN ;(2) 如图112,若/ AB(=90° ,记点M运动所经过的路程为x (6<x< 12).试BB说出旋转过程；A(图 11-2)问：x为何值时， ADN为等腰三角形.12、如图所示，正方形 ABCD的边CD在正方形ECGF的边(1 )求证：BE DG .NDA(2 )图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形图若存在,若不存在，请说明理由.B13、请阅读，完成证明和填空.CDCE数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下:(1 )如图13-1，正三角形ABC中，在AB AC边上分别取点M、N，使BM AN， 连接B

6、N、CM，发现BN CM，且 NOC 60° 请证明：NOC 60°(2 )如图13-2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM BN， 连接AN、DM，那么AN ，且DON 度.(3 )如图13-3，正五边形ABCDE中，在AB BC边上分别取点M、N，使AM BN , 连接AN、EM，那么AN ，且 EON 度.(4 )在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论. 请大胆猜测，用一句话概括你的发现：.14、 ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合)， ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线

7、，分别交射线AB、AC于 点F、G，连接BE .(1 )如图(a)所示，当点D在线段BC上时.求证： AEB ADC ;探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明 理由；(2 )如图(b)所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出(1)中的两个结论 是否成立？(3 )在(2)的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明 理由.BCAC15、如图， ABC中，点O是边AC上一个动点，dO作直线MN / BC，设MN 交 - V的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F :CBDC(1 )探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明图(2 )当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是

8、菱形吗？若是，请证 则说明理由;(3 )当点O运动到何处，且 ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？16、如图，已知直线11 : y |x I与直线12： y 2x 16相交于点C, h、12分别交x轴于m点G与点B重合. (1 )求 ABC的面积;(2)求矩形17、在 ABC 中,DEhyI DDE与EF的长；2, ABC 120°将厶ABC绕点B顺时针旋转角(090°得交AC于点I F (G)，叭iG分别交AC、BC于D、F两点. 3 x ABC/ AB仏O(1)如图1,观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论;A、B两点.矩形

9、DEFG的顶点D、E分别在直线J上，顶点F、G都在x轴上，且B(2)如图2,当 30°时，试判断四边形 BCQA的形状，并说明理由18、在菱形ABCD中，对角线AC与交BC的延长线于点E .占J AB(1 )求厶BDE的周长;(2 )点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q .19、如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOBC第一象限内，E是边0B上的动点(不 包括端点)，作/ AEf=90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F,设C(m n).(1 )若m=n时，如图，求证：EF=AE(2 )若m# n时，如图，试问边OB上是否还存在点E,使得EF=AE?若存在，请 求出点E的坐

10、标；若不存在，请说明理由.(3 )若mtn (t > 1)时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF= (t+1) AE成立？ 并求出点E的坐标.y20、如图，将正方形沿图中虚线(其中 xvy)剪成A形恰能拼成一个矩形(非正方形0xc -D四块图形，用这四块图(1 )画出拼成的矩形的简图;(2 ) 求 -的值.y21、如图所示，在矩形 ABCD中，AB 12, AC 20,EB两条对角线相交于点0 .以0B、0C为邻边作第1个平行四边形0BBQ ；对角线相交于点A1 ；再以AB1、AC为邻边作第2个平行四边形ABQC，对角线相交于点01 ；再以0吕、0G为邻边作第3个平行四边形QBB2C1

11、依次类推.(1 )求矩形ABCD的面积；(2 )求第1个平行四边形0BBQ、第2个平行四边形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积.22、如图(22),直线I的解析式为yx 4 ,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点.平图221,四边形ABC是正方形，点E是边BC的中点.AEF 90。，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F,求证：AE=EF.行于直线I的直线m从原点0出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒(0 t< 4 ).(1 )求A B两点的坐标；(2 )用含t的代数式表示 MON的面积S ；(3 )以MN为对角线作

12、矩形OMPN，记 MPN和厶OAB重合部分的面积为S?,当2 t < 4时，试探究S2与t之间的函数关系式;在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为AOAB面积的?1623、如图15,在四边形ABC呼，E为AB上一点， ADEWA BCE都是等 边三角形，AB BC CD DA的中点 分别为P、Q M N,试判断四边形 PQM为怎样的四边形，并证明你的 结论.24、数学课上，张老师出示了问题：如图经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点连接ME则AMEC易证 AME ECF，所以 AE EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究:(1 )小颖提出：如图2,如果把“点E是边B

13、C的中点”改为“点E是边BC上(除B, C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论 “AE=EF仍然成立，你认 为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2 )小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条 件不变，结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明 过程；如果不正确，请说明理由.DCl是AG于 F.bA25、如图，形，点G是 BC上的:CF G 图11、D2、4 10 3、5 或 94、EFB- E C G 图2参考答案5、15 6、C7、A8、B9、C10、8 .5意一点,DE, BF / DE，交DB

14、G/ 仁/2 又T AN=AN ABNPA ADN11、(1)证明：T四边形 ABCI是菱形二AB=AD(2 )解：T/ AB(=90°，二菱形 ABCI是正方形此时，/ CAD45° .F面分三种情形:I)若NDNA则/ ADNZ NAD45。.此时，点M恰好与点B重合，得x=6;H)若DN=DA则/ DNA/ DAI=45° .此时，点M恰好与点C重合，得x=12;皿)若 AN=AD=6,则/ 仁/2,由 AD/ BC,得/ 仁/4,又/ 2=/31C./ 3=/ 4,从而 CMCN 易求 AO6T2，二 CMCNAC- AN=6“故 x=12- CM12(

15、6 2 6) =18- 6 2综上所述：当x=6或12或18 6 2时， ADN是等腰三角形D12、(1)因为ABCD正方形，所以BCCD又因为ECGI是正方形，所以EC=CG所以三角形BC审三角形DC(全等(HL。所以BE=DG(全等三角形的对应边相 等)(2)存在。以点C为旋转中心逆时针旋转90度13、( 1)证明：T ABC是正三角形，二 A ABC 60° AB BC ,AB BC在 ABN 和 BCM 中， A ABC ABN BCM .AN BM/. ABN BCM .又T ABN OBC 60°, /. BCM OBC 60°, /. NOC 60&

16、#176;. 注：学生可以有其它正确的等价证明.(2 )在正方形中， AN DM , DON 90°(3 )在正五边形中， AN EM, EON 108°.(4 )以上所求的角恰好等于正n边形的内角(n 2)°80°n14、( 1)证明：T ABC和厶ADE都是等边三角形，/. AE AD, AB AC, EAD BAC 60° .又 T EAB EAD BAD , DAC BAC BAD，二 EAB DAC ,二 AEB ADC .法一： 由得 AEB ADC，二 ABE C 60°.又T BAC C 60°, ABE B

17、AC，二 EB / GC .又 T EG / BC，二四边形 BCGE 是平行四边形.法二： 证出 AEGADB，得 EG AB BC .由得 AEBADC .得BE CG .四边形BCGE是平行四边形.(2 )都成立.1(3 )当 CD CB ( BD 2CD 或CD - BD 或 CAD 30° 或 BAD 90° 或 ADC 30°)时, 四边形BCGE是菱形.理由：法一：由得 AEB ADC，二 BE CD 分又T CD CB，二 BE CB .由得四边形BCGE是平行四边形，四边形BCGE是菱形.法二：由得 AEB ADC，二BE CD .又T四边形BC

18、GE是菱形,/. BE CB /. CD CB .法三：T四边形BCGE是平行四边形，BE/ CG,EG /BC , FBEBAC 60° FABC 60° FFBE60° , BEF是等边三角形.又T AB BC，四边形BCGE是麦形，二ABBE BF , AE 丄 FG EAG 30° ,T EAD 60° , CAD 30° .15、(1) OE OF .其证明如下：T CE是ACB的平分线，12 .T MN/ BC , 13 .23. OE OC .同理可证 OC(OF .二 OEOF .(2 )四边形BCFE不可能是菱形，若

19、BCFE为菱形，则BF丄EC,而由(1)可知FC丄EC,在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线.(3 )当点0运动到AC中点时，OE OF , OA OC ,则四边形AECF为Y ,要使AECF为正方形，必须使 EF丄AC .T EF / BC，二AC丄BC，二 ABC是以 ACB为直角的直角三角形， 当点0为AC中点且 ABC是以ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形.4. A点坐标为4,0 .16、( 1)解：由 2x 80,得 x33由 2x 160,得 x 8.B点坐标为 8,0 . AB 8412.2x16.5 C点的坐标为5,6 .6.Sa ABCAB

20、9;Yc1 12 6 36.2(2)解：T点 D 在 h 上且 Xd xB 8, Yd-8 88. D点坐标为8,8 .33又.点E在l2上且yE yD 8,2xE 16 8. xE 4. E 点坐标为 4,8 . OE 8 4 4, EF 8.17、(1) EA FC.证明：(证法一)Q AB BC,A C.由旋转可知，AB BC, ACi, ABEC,BF , ABE CiBF.BF .即 EAi FC. BE BF，又Q BAi BC, BA BE BC(2)(证法二)Q AB BC,由旋转可知， A BE BF, - BA四边形BCi DA是菱形.C,BEAC.AiB=CB,而 EBC

21、FBAi, ABF 4、CBE.BC BF，即 EA, FC.证明：Aba, 30° A® / AB,同理 AC / BCi-四边形BCiDA是平行四边形.又Q ABBCi, 四边形BCi DA是菱形.i8(i)因为四边形ABCD 为菱形，所以 BE / AD, AC / DE ,故四边形ABCD为平行四边形,贝y有 AB AD BCCE 5 ,所以 BE BC CE iO ,AC DE 6，又OA 0-BD, BD2所以 OB OD, BE / AD，贝卩 DBC = DOQ 又 BOPDOQ ,所以 BOP全等于 DOQ故有BP DQ19、 (i)由题意得m=n时，AO

22、B(是正方形.如图，在OA上取点C,使A(=BE则OGOE:丄 EGO45，从而/ AG=135 .由BF是外角平分线，得/ EBf=135，二/ AG=Z EBEvZ AEF=90，二/ FEB/AEO90 .在 Rt AEC中, vZ EAOZAEO90 ,Z EAOZ FEB :. AG” EBE EF=AE(2)假设存在点E,使EF=AE设E (a, 0).作FHLx轴于H如图.由(1)知Z EAOZ FEH,于是 RtAAOBRt EHF FH=OE EHOA点F的纵坐标为a,即FHa.由BF是外角平分线，知Z FBH45，二BH=FH=a.又由 C (m n)有 OB=m 二 BE

23、=OB- OEm- a , EH=m- a+a=m又EH=O/= n，二n=n ,这与已知n相矛盾.因此在边OB上不存在点E,使EFAE成立.(3 )如(2)图，设 E (a, 0), FH=h,贝卩 EH=OH- OE=h+m- a.由 Z AEf=90 , Z EAOZ FEH 得厶 AOEA EHFOE 即 h= (t +1) a , EF= (t+1) AE等价于 FH= (t+1)且 AO OE,即_EH FHh m整理得 nh=ah+am- a2 ,2am an aa(m a)a(m a) n a 即 m a= (t +1)( na).把h= (t+1) a代入得(t 1)a ,而

24、 n=tn ,因此 tn a= (t +1)(n a).化简得ta=n，解得a :x/1 > 1,. n v nv m 故 E在 OB边上.t当E在OB边上且离原点距离为n处时满足条件，此时E (n , 0).t20、 (1)(2 )解法一：由拼图前后的面积相等得:2(X y) yy (x y)因为y0,整理得：(x)2y1 0解得:(负值不合题意，舍去)解法二：由拼成的矩形可知:x y(x y) y以下同解法一.21、(1)在 RtA ABC 中,BC .AC2 AB2,202 12216 ,S矩形abcdAB° BC 12 16 192 .(2 ) Q矩形ABCD，对角线相

25、交于点O ,Sabcd4Sa obc ,Q四边形OBBQ是平行四边形，OB / CB1? OC / BB1 ,OBCB1CB, OCB B1BC，又 Q BC CB , OBCB1CB ,Sobbic2Saobc2Sabcd 96，同理,第6个平行四边形的面积为SaiB1C1C2 SoBB1C1 12 2 Sabcd48,22、(1)当 x 0 时，y 4 ;当丄歹 SabcD y 0时,A(4,0), B 0,4)；(2 ) Q MN / AB,OAON OB(3 )当2 t < 4时，易知点P在AOAB的外面，则点P的坐标为(t, t),1, OMONt, S OMON 丄t2 ；2 2F点的坐标满足；:4即W t)，同理 E(4 t, t),贝y PF PE t (4- t)2t 4 ,所以 S?Sa mpnSa pefSaomnSa pef1 2 1t (2t 4)( 2t 4)2 21 2 1 251S2t，一t16 23 2t 8t 8 ；254 421 2 1 tPE-PF2 2解得ti5 0, t2 5 2,两个都不合题意，舍去；当 2 t < 4 时，S2 3t2 & 8 5，解得