点到直线的距离公式的七种推导方法

1、点到直线的距离公式的七种推导方法已知点P(x0, y0)直线l ： Ax十By +C = 0( A式0, B式0)求点P到直线l的距离。(因为特殊直线很容易求距离, 这里只讨论一般直线)一、 定义法证：根据定义，点 P到直线|的距离是点P到直线丨的垂线段的长，设点P到直线|的垂线为|'，垂足为Q,由_ |可知i'的斜率为如图Abl'的方程：yy0 = (xx0)与I联立方程组A2 2解得交点 Q(B0 ABy02 AC, AABXjBC)a2+b2，a2+b22 B2x()_ABy0-AC2 A2y0-ABx3_BC 2|PQj(0 2 02X0)2 ( 0 2 02y

2、°)2A2 B22A x0 ABy0 AC2 / =( 2 2 ) (A2 B22-B y° - ABx - BC)2A2 + B2丿A2 + B2A2(AX0 By。C)2 B2(AX0 By。C)2222(A2 +B2)2二、 函数法证：点P到直线|上任意一点的距离的最小值就是点两点的距离公式有，为了利用条件(A2 B2)(x-x°)2 (yy°)2=A2(x -X0)2 B2(y -y°)2 A2(y -y°)2 B2(x -冷)2二A(x-x°) B(y -y°)2 A(y-y°) B(x-X0)

3、2一A(x-X0)B(y-y°)2 =(Ax0 By° C)2(： Ax By C =0)/、2 /| AX0 By° C|d(x人)+(yy°) Kr=VA2 +B2当且仅当A(y - y0) =B(x -冷)时取等号所以最小值就是1 Ax0 By0 C 1(Axo Byo C)2(A2 B2)2A2 B2P到直线|的距离。在|上取任意点 Q(x, y)用Ax - By -i C = 0上式变形一下，配凑系数处理得： A2B2三、不等式法证：点P到直线|上任意一点 Q(x, y)的距离的最小值就是点 P到直线|的距离。由柯西不等式：(A2B2)(x-x

4、。)2(y-y0)2_A(x-x。)B(y-y°)2=(Ax0By。C)2V Ax + By +C = 0,” J(x -X0)2 +(y - y°)2Ax° + By° +C |当且仅当A(y-y0) =B四、转化法证：设直线l的倾斜角为(xi, yjI P M F | y A2x-CBXi，A2 B2X易得/ MP（图 2）或/ MPQ= 1800 （图 3）A21在两种情况下都有 tan2NMPQ =tan22所以cos./MPQ二B+tan2aAx0 + By0 + C| B | Ax0 + By0 + C |PQ|=|PM |cos MPQ =

5、|00| .00J A2 + B2.A2 B2五、三角形法证：P作PM / y轴交|于M，过点P作PN / x轴交|于N （图4） 由解法三知 |PM |=| Ax° Byo C |;同理得 | PN |=| Ax。Byo C | 在Rt MPN中，PQ是斜边上的高 打 PQ|=刊1 |PN|7|PM I2 +|PN |2六、参数方程法| Axo By。C |.A2 B2|B|.A2 B2Nx证：过点P（xo,yo）作直线i'： *；x -x°COS&交直线| 于点q。（如图1）'y = y0+tsi n°由直线参数方程的几何意义知|t|=

6、| PQ |，将l'代入I得Ax0 - At cost - By0 - Bt si nv C = 0整理后得|t|=|x0 By0 C |-A cos日-Bsin 日（1）当_丨时，我们讨论 二与l的倾斜角:的关系：当:-为锐角时 （tan = - A . 0,不妨令A>0,B<0 ）有v - 90°匕Bta n：（图2）_B_.A2 B2|B| 2A.A2B2-Bcos -sin :Ji +tan2a.口1sin - cos：寸1+tan2aJa2 +B2Ja2 十 B2当:-为钝角时（tan . - -A : 0,不妨令 A>0,B>0 ）有 -

7、900B得到的结果和上述形式相同，将此结果代入得（图3）11 _ |Ax0 By。C| = 叶 A2B2_| |A2 B2A2 B2七、向量法证：如图五，设直线I: AxBn = （1,） , Q直线上任意一点，则A线的距离为：B2| Axo By。 C |By C=0（ A0, B 0的 一个法向量PQ =（为- x。， - y0）。从而点P到直yQ图五x1 A2斗TB| n £Q | |Xl x° A（yi 一 yo）| I A（Xi -x。）B（% - y。）| a 二|n|:P点在直线I上Am By“ C=0 从而 4 = I A/+B% - Ax。- By。| |

8、Ax° + By°+C|A2 B2A2 B2丄I可线PQ的两点距离相交，过I PSi = | y。v I =Ax。 By。CI RSl= .PR2 PS2ABxAx0 By0 - C |由三角形面积公式可知:d|附:设点P到直线I的垂线段为PQ垂足为Q,由PQB知，直线PQ的斜率为（A 0）,根据点斜式写出直A方程，并由丨与PQ的方程求出点 Q的坐标；由此根据公式求出丨PQI,得到点P到直线丨的距离为d方案二：设 2 0, Bm 0，这时丨与x轴、y轴都 点P作x轴的平行线，交丨于点R（xi, yo）；作y轴的平行线，交丨于点S（x。，y2）,A xi * By。*C=0-

9、By°-C Ax。- C由得 Xt =, y2 =.Ax。+ By2 + C = 0AB比,Ax0 + By0+C所以，1 PR I = 1 x。I = 0-ARS | = | PR | PS| -Ax。 By。 C可证明，当a=0时仍适用仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r StudienpForsg, zu kommerziellen Zwecken verwendet werd

10、en.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 员 ex.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellZwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uni