二次根式培优讲义

1、二次根式导学案第一课时二次根式复习（1）已知 x2 = a，那么 a 是 x的; x 是 a的记为, a 一定是 。（2） 4的算术平方根为2,用式子表示为44 ；正数a的算术平方根为，0的算术平方根为;式子4a>0（a>0）的意义是。自主学习（1）,16的平方根是；（2）一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t（单位：秒）与开始下落时的高度h（单位：米）满足关系式h =5t2。如果用含h的式子表示t，则t=；（3）圆的面积为S,则圆的半径是 ； 正方形的面积为b-3，则边长为。思考：,16，h h ， s , .b-3等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义：一般地我们把形

2、如 扁（a启0 ）叫做二次根式，a叫做。/。1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？<3-V4 G 型g 启 0） Px2 +1''''3-'2、 当a为正数时.a指a的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式a中，字母a必须满足,a才有意义。3、 根据算术平方根意义计算：（1）（百）2（応）2（3）（J05）2（4）（書）2根据计算结果，你能得出结论：（需）2 = ，其中a色0,4、由公式（-a）2二a（a0），我们可以得到公式a = （、a）2 ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一 个数的平

3、方的形式。如（5）2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，女口5=（ .5）2.练习：（1）把下列非负数写成一个数的平方的形式：60.35（2）在实数范围内因式分解2 2X 一74a -11【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式: 1 一 貶、V3、丄、你(x>o)、品、42、x-_2、x y (x>0, y?>0).x + y1【例2】当x是多少时，2x 3 + 一 在实数范围内有意义? x+1【例3】已知y=.牙龙+. 口+5，求-的值.y若尹+、口=0，求 a2012+b2012 的值.练习：1、x取何值时，下列各二次根式有意义?、3x -42、(1

4、)若 片3/?有意义，则a的值为.A.正数B.负数(2)若、 在实数范围内有意义，则x为()。C.非负数D.非正数1 一 2x3、(1)在式子 一中，x的取值范围是.1 + x(2)已知 Jx2 -4 + J2x + y = 0，贝U x - y =.(一)填空题：馆丫1、 J 当x=时，代数式.4x 5有最小值，其最小值是 。 在实数范围内因式分解：(1) x2 -9 =x2 -( ) 2= (x+_ ) (x-)(2) x2 - 3 =x2 -( ) 2= (x+_ ) (x-)(二)选择题：1、一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为()A > a 3 B、. a -3 C、a

5、3 D > a232、二次根式、a -1中，字母a的取值范围是()A、 avl B 、a< 1 C、a> 1 D、a> 13、已知3 =0则x的值为() A x>-3 B、x<-3 C、x=-3 D、x的值不能确定4、 下列计算中，不正确的是()。A、3= (V3)2 B、0.5= (V05)2 C、".6=0.6 d、(5刀)2=35 =、若 J2x_1 + y _1 =0，那么 x =第二课时 二次根式的性质复习(1)什么是二次根式，它有哪些性质？(2)二次根式J J有意义，则x x-5(3)在实数范围内因式分解：x2 - 6=x2 -( )2

6、=(x+_)(x-)自主学习【探究一】1根据算术平方根的意义填空：4)2=；( ,2)2=； G. 9)2=； C3)2=；q 3 宀；y 2)2=；(、0)=根据以上结果，你能发现什么规律？ 【归纳】 二次根式的性质：| (梟)2= a (a0)【例1】计算： J 3 ) 2(2)( 3角)23(, 5 ) 2(丄)2V2V 62【例2】计算：(1)('.门)2(x>0)(2)(.a2 )2(3)(a22a 1) 2(. 4x2 -12x 9 ) 2【例3】在实数范围内分解下列因式4(2) x-42 2x -32(1) x-3【探究】1、计算： .42 = 0.22 二、202

7、 二15观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：当 a 0时八a2二2、计算：.(-4)2 ： <(-0.2)2； 2、(-20)2 二 观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：当a：0时厂a2二3、 计算：02 二 当 a = 0时，'一 a 二4、归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：a a >0Qa = a = «00-a a c0-5、化简下列各式：(1)、(阿=(2)、J(q5)2 = (3)、$(-6)2= (4)、7207=( ac0)巩固练习1 计算(1)(书)2(2)-(73 )2(3)( 2 46

8、)2(4)(-3(| ) 2(5) (23+372)(2 733/2)2 把下列非负数写成一个数的平方的形式：153.4丄x (x>0).63 在实数范围内分解下列因式： x2-2(2) x4-9 3x2-54、化简下列各式(1) .(a匚3)2 (a 一3)(2 )_23 2 (xv-1.5)达标测试：1、 填空：(1)、 J(2x_1)2 -(J2x_3)2 (x 启 2)=.(2 )、J(兀4)2 =(3 ) a、b、c为三角形的三条边，则 讥a+b-c)2 +|b-a-c =.2、已知 2vxv3,化简：£(x-2)2 +|x-3二次根式的乘除法第一课时二次根式的乘法理

9、解.a b =、ab (a>0, b> 0) , ab a 、. b (a>0, b>0 )，并利用它们进行计算和化简复习 (1) 茜 x 両=, 59=；44 x V9_V9(2) 716 x V25 =, Jl6x25=_;716 x V25_Jl6x25(3) x/100X 736=_, J100x36 =_.100 x V36_/|00x36 般地，对二次根式的乘法规定为Va 証=>/ab . (a0, 反过来：| Jab fa (a0， b0)例1、计算(1) .5 x J (2) 1 x , 9(3) 3 飞 x 2、一 10 (4) 、5a A例2、

10、化简(1)、9 16(2)、16 81 (3). 81 100(4)9x2y2(5). 54巩固练习(1)计算：、，16 x ,85 5 x 2 .15 12a3 . ；ay2(2)化简：.20;24;.54;,12a2b2(3)判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:(4) (-9) f W 乓4；2 x . 25 =4x ；2 x ,25 =< ；2 x、丟=4、12=8 一3随堂训练1、选择题(1)等式- X 1 X -1八X2 -1成立的条件是(D. x1 或 x <-1) A . X1 B . x-1 C . -1 < x < 1(2)下列各等式成立的是()

11、.A. 4 5 x 2 5 =8 5 B .5 3 x 4 . 2 =20 5 C.4 一 3 x 3 一 2 =7 5 D.5.3 x4 . 2 =20 . 6(3)二次根式.(二2)26的计算结果是() A.26 B . -2 6 C . 6 D . 122、化简(1) v 360 ;3、计算：(1) 1830 ;第二课时二次根式的除法复习1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2、计算：(1)3、8 X( -4 6 )(2) 12ab “6ab33、填空:(1)=; 规律:； 9(2)尿=.36=，7般地，对二次根式的除法规定:【例1】计算:16,36(3)【例2】化简:巩固练习

12、1、计算:(1)用V3(2)(3)(4)拓展延伸阅读下列运算过程: 石 翻 22452/53 33 一 3 '5.5 5数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化 利用上述方法化简：(1)0(3 )1,12帀=2,51、选择题(1)计算1(2)化简3,2.272、计算:2的结果是测试：2； J.12的结果是)2.3,48(3)i6C .2 D .27用两种方法计算:(D詈4 63第三课时最简二次根式复习违V27【例1】判断下列二次根式，哪些是最简二次根式？为什么？8 ;(2) . 1 ； (3)、2.5 ;、厂y ；.a2 b2 ; (6) a3(1)、96x4 =(4“2【例

13、2】、化简:(1)3 12, 8x2y3820例3、计算:例4、比较下列数的大小(1) 2.8与.2 3¥4(2 ) - 7 6与- 6 7拓展延伸观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:1 二 1 ( .2 -1)2 2 1，.2 1 _ (、.2 1)( .2 _1) _ 2_1 _ ' _，11 x (J3 - V2)4 - v 232.3 .2 .3 、2)(.3 2厂亠，同理可得：1= 2一 .3，2 J3从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算11 1 (-1+1) ( 021)的值.21.3.22009“ 2008(五)达标测试：1、

14、选择题(1)如果、% (y>0)是二次根式，化为最简二次根式是().B .齐(y>0) C .旦(y>0)yd .都不对(2)化简二次根式a： -a 22的结果是V a2A、f-a2 B 、- ： a -2 C 、a -2 D 、- - a -22、填空：1丄的值等于x(1)化简 J 4 +x2y2 =. (x>0(2)已知 x = ，则 x -U5 2提高1、计算:Vab5" (-3 Ja'b)十3炉 (a>0, b>0)b2'a2、若x、y为实数，且沪丄-，求x y . x-y的值 x+23、观察下列各式，通过分母有理化，把不是

15、最简二次根式的化成最简二次根式:i = 仆(721) 近/一匹山，、2 1 ( ,2 1)( . 2 -1 2-1 ，1=仆(73V2)爲-罷=扭迈3 ,2 (,.3 .2)( .3 一 迈)一 3-2'同理可得：Q(U_ =盲-、3，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算11 1 1(-+ -1 -+ -1 -+)('- 2002 +1)的值.、213.24. 3. 2002 一 2001二次根式的加减第一课时二次根式的加减复习计算.(1) 2x 3x;(2) 2x2 -3x2 5x2;(3) x 2x 3y ;(4) 3a2 - 2a2 a2探索新知学生活动：计算下列各式

16、.(1) 2 2+3,2 =(2) 2 ,8-3 .8+5 ,8 =(3) .7+2、.7+3 ,尸=(4) .3-2 .3+.2 =所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，？再将同类二次根式进行合并例 1 .计算 (1) .8+ .18(2)、莎+、莎例 2.计算(1) 3 玩-9、1 +3 .12( 2 ) (、48 +.20 ) + ( . 12 -、5 )归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并.巩固练习(.48 一 20)( 12 - 一 5)课堂检测1 以下二次根式：.12 :.2 :2 :.27中，与.3是同类二次根式的是（）.A.和B .和 C .和D .和2 .下列各式： 3 3 +3=6 3 ；7 =1 ；、. 2 +、. 6 = J8 =2 2 ； 24 =2 2 ，其中错误的有（）A . 3个 B . 2个 C . 1个 D . 0个3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）（A）3和届（B）73和£4. 下列各式的计算中，成立的是（A