3空间向量与立体几何知识点和习题含答案

1、 13空间向量与立体几何【知识要点】1 .空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立.空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b+c)=a+(b+c)；分配律：(+)a=a+a；(a+b)=a+b.(2)空间向量的基本定理：共线(平行)向量定理：对空间两个向量a,b(bw0),a/b的充要条件是存在实数，使得a/b.共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是存在惟对实数，使得c=a+b.空间向量分解定理：如果三个向量a,b,c不

2、共面，那么对空间任一向量p,存在惟一的有序实数组1,2,3,使得p=ia+2b+3c.(3)空间向量的数量积运算：空间向量的数量积的定义：a-b=|a|b|cosa,b；空间向量的数量积的性质：a,e=|aIcosva,e;aXba.b=0;|a|2=aa；|a-b|b,则下列结论正确的是()异面直线EF与GH所成角的大小是已知正四棱柱的对角线的长为,mn(C),m,mn(D)n5.在正方体ABCDAiBiCiDi中，E,F,G,H分别为AAi,AB,BBi,BiCi的中点，则6.DiDi1-8 .四棱锥PABCD的底面是直角梯形，/BAD=90,AD/BC,ABBCAD,2PAL底面ABCD

3、,PD与底面ABCD所成的角是30.设AE与CD所成的角为，则cos三、解答题：9 .如图，正四棱柱ABCDAiBiCiDi中，AAi=2AB=4,点E在CCi上，且CiE=3EC.(I)证明：AiC,平面BED;(II)求二面角AiDEB平面角的余弦值.冗10 .如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为i的菱形，ABC,OAL底4面ABCD,OA=2,M为OA的中点，N为BC的中点.(I)证明：直线MN/平面OCD;(II)求异面直线AB与MD所成角的大小.11 .如图，已知直二面角一PQ,ACPQ,BC,CC,CA=CB,ZBAP=45直线CA和平面所成的角为30.(I)证明：BC

4、XPQ;(II)求二面角BACP平面角的余弦值.习题12.3.4.、选择题：关于空间两条直线(A)若a/b,b(C)若a/,b/正四棱锥的侧棱长为(A)8a、b和平面,则a/,则a/b,下列命题正确的是(B)若a/(D)若a2J3,底面边长为8(B)73),b，b12,则该棱锥的体积为(C)6已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线角的正弦值等于()610(A)彳(B)丁(C)告已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸体的体积是()(单位:20(D)2AB1与侧面ACC1A1所成3(D)2-cm),可得这个几何5.40003(A)-cm3(C)2000cm3若三棱柱的

5、一个侧面是边长为2的正方形,的菱形，则该棱柱的体积等于()80003(B)-cm3(D)4000cm3另外两个侧面都是有一个内角为60正视0 0博视二、填空题：6 .已知正方体的内切球的体积是473u,则这个正方体的体积是.7,若正四棱柱ABCDAiBiCiDi的底面边长为1,ABi与底面ABCD成60角，则直线ABi和BCi所成角的余弦值是.8 .若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为J3,则其外接球的表面积是.9 .连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2币、45每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为.10 .已知AABC是等腰直角

6、三角形，AB=AC=a,AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使/BDC成直角.在折起后形成的三棱锥A-BCD中，有如下三个结论：直线ADL平面BCD;侧面ABC是等边三角形；三棱锥A-BCD的体积是a3.24其中正确结论的序号是.(写出全部正确结论的序号)三、解答题：11.如图，正三棱柱ABCAiBiCi中，D是BC的中点，AB=AAi.(I)求证：ADXBiD;(II)求证：AiC/平面AiBD;(出)求二面角BABiD平面角的余弦值.12 .如图，三棱锥P-ABC中，FAXAB,FAXAC,ABXAC,PA=AC=2,AB=i,M为PC的中点.(A)2(B)22(C)32(D)42(I)求证

7、：平面PCB,平面MAB;(n)求三棱锥PABC的表面积.13 .如图，在直三棱柱ABCAiBiCi中，ZABC=90,AB=BC=AAi=2,M、N分别是AiCi、BCi的中点.(I)求证：BCi，平面AiBiC;(n)求证：MN/平面AiABBi；(出)求三棱锥MBCiBi的体积.I4,在四棱锥SABCD中， 底面ABCD为矩形，SDL底面ABCD,ADDC=SD=2.点M在侧棱SC上，/ABM=60.(I)证明：M是侧棱SC的中点；(n)求二面角S-AM-B的平面角的余弦值.练习i-3一、选择题：i.B2,A3.B4,D二、填空题：5.606.2三、解答题：9.以D为坐标原点，射线DA为

8、x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系Dxyz.222-则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,-2-,0),D(下,-2,。)，O(0,0,2),M(0,0,1),.22一22-2-22(i)MN(1学年1),OP(0,12,2),OD(隹隹2)10.依题设，B(2,2,0),0(0,2,0),E(0,2,1),AI(2,0,4).DE(0,2,1)，而(2,2,0),AC(2,2,4),DA(2,0,4).(1).ACDB0,ACDE0,.-.AICIBD,AICXDE.又DBADE=D,AIC,平面DBE.(n)设向量n=(x,y,z)是平面DAiE的法向量，则nDE,nDA1.,2

9、y2x4zcos(n,AC)0,人令y=1,得n=(4,1,2).0.nAC1414H-75-二一面角A1DEB平面角的余弦值为T-|n|AC|4242作APCD于点P.如图，分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系.N(14,彳,0)设平面OCD的法向量为n=(x,v,z),则nOP0,nOD0,MNn0,MN/平面OCD.(n)设AB与MD所成的角为，AB(1,0,0)，而(零，零,1),cos一.一，正即直线AB与MD所成角的大小为一3(I)证明：在平面内过点C作COLPQ于点O,连结OB.,n=PQ,CO.又.CA=CB,.1.OA=OB. .ZBAO=45,ABO=45

10、,/AOB=90,.BOXPQ,又COPQ, .PQ,平面OBC,PQXBC.(n)由(I)知，OCXOA,OCXOB,OAXOB,故以O为原点，分别以直线OB,OA,OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图). .COX，/CAO是CA和平面所成的角，则/CAO=30不妨设AC=2,则AO33,CO=1.在RtOAB中，/ABO=/BAO=45,BOAO33.OO(0,0,0),B(.3,0,0),A(0-3,0),C(0,0,1).AB(.3,.3,0),AC(0,3,1).设n1=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量，nAB0,3x.3y0,即各2z0,噂x普y2z0.取zJ2,

11、得n(0,4,V2).|ABMD|1冗,一|AB|MD|23由一得取x=1,得n1(1,1,J3).nAC0,3yz0,易知n2=(1,0,0)是平面的一个法向量.即二面角BACP平面角的余弦值是三二5习题1选择题：D2.B3.A4.B5.B填空题：24.37.38.99.510.、解答题：(I)证明：ABCA1B1C1是正三棱柱，BB1,平面ABC,平面BB1C1C，平面ABC.,正4ABC中，D是BC的中点，ADBC,AD，平面 .ADXB1D.(n)解：连接A1B,设A1BAAB1=E,连接DE.-AB=AA1,四边形A1ABB1是正方形，二E是AB的中点，又D是BC的中点，DE/A1C

12、.DE平面A1BD,A1C平面A1BD,.A1C/平面ABD.(出)解：建立空间直角坐标系，设AB=AA1=1,31则D(0,0,0),A(0,-2-,0),B1(J。)设m=(p,q,r)是平面A1BD的一个法向量，则nAD0,且QB1D0,皿,3_1_八_一故q0,Pr0.取r=1,得n1=(2,0,1).22设二面角BACP的平面角为，COS1必11%11.一6.三11BB1C1C,出12. (I)FAXAB,ABXAC,.AB,平面PAC,故ABPC.PA=AC=2,M为PC的中点，MAPC.PC,平面MAB,又PC平面PCB,平面PCB,平面MAB.11-(n)RtPAB的面积-PA

13、AB1.RtPAC的面积S2-PAAC2.22RtABC的面积S3=S1=1.PABACAB,PB=CB,.PCB的面积S4IPCMB12/2J3J6.22，三棱锥PABC的表面积为S=S1+S2+S3+S4=4J6.13.(I).ABCA1B1C1是直三棱柱,BB1,平面A1B1C1,B1BA1B1.又B1C1M1B1,.A1B1,平面BCC1B1,BC11A1B1.BB1=CB=2,.BC1，B1C,.BC1,平面A1B1C.(n)连接A1B,由M、N分别为A1C1、BC1的中点， 得MN/A1B,又A1B平面A1ABB1,MN平面A1ABB1,.MN/平面A1ABB1.(出)取C1B1中点H,连结MH.M是A1C1的中点，MH/A1B1,又A1B1,平面BCC1B1,MHL平面BCC1B1,.MH是三棱锥MBC1B1的高，一,一一1一.112二棱锥MBC1B1的体积VSBCBMH4131132314.如图建立空间直角坐标系，设A(彩，0,0),则B(%;，2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).同理，可求得平面ABiB的法向量是n2(3,1,0).设二面角BABiD大小为，:COSn1n2.1515|1|二面角BABiD的平面角余弦值为155(I)iSMMC(0),60.故BM.BA|BM|BA|cos60,即4；(V2)2()2(旦)2，解得