定积分习题及答案

1、A层次1.2sinxcos xdx；0,2.x2/a? _x2 dx; 3.忑 dxJ;122 'x . 1 x4.xdx5.dxdx7.e2dx8.dx9.<1 + cos2xdx;10.: 4.x sin xdx ；-5111.兀4 iJ2.cos xdx ；12.5 x3 sin2 x , 3E1dx；13.JI 律*dx ;4 sin x14.4 In x -dx ;、x15.1xarctgxdx ；16.ji2 e2x cosxdx; 17.二 .2eL(xsinx)dx ； 18. sin(lnxdx;19.JI ,23, cos x - cos44 sin xxdx

2、; 20.0 1 sin xxsin x .dx ; 21dx ;0 1 cos2 x22.102xln1 x , dx -1 -x1 '*+x；dx ; 24.23 rxJI2 In sin xdx -0?25.dxdx 0 >0 ).J'. IB层次1.求由yxf0 eMt + f0 costdt = 0所决定的隐函数y对x的导数也.dx2.当x为何值时,函数|x=?te*有极值?3.d cos x一 cos(兀t dt .dx sinx4.x 1, 设f (x )=1x2, x>1、220f (xdx.5.L(arctgt fdt6. 设 f(x)=,2Sin

3、X,：公<,求中(x)=?f(tpt-, 当X20寸1+X,、 27. 设 f (x )= ,求匕 f (x 一1 dx <-,当 x<0寸°J+ex1 . 28. lim (w'n +72 +十qn 1 nF2k9.10.n en求 lim £ 2Fofn neni. 一设 f (x)是连续函数,且 f(x) = x+2"f(t)dt,求 f(x ).11. 假设 jln2亡=；,求x0ii12. 证实：*2e 2 <2 e" dx < w'2.-213. lim - ) = f 4x2exdx,求常数 a

4、x气x + a J'a、门 J、 1+x, x<0 q.314. 设 f(x)=_ I.,求f(x2dx2?15. 设 f(x 用一个原函数为 1+sin2x,求 j2xf'(2xdx.7.016. 设f (x )=ax +b -ln x,在1,3】上f (x )芝0,求出常数a , b使j f (x dx最小.2 1 .17. f(x)=e,求 f (xf (xdx.18. 设 f (x )=x2 -x J.f (x dx +2L f (x dx,求 f (x ).19. f (cosx bosx - f tcosx Sin2 xdx.20. 设xt 0时,F(x)=(

5、x2 -12厂(tdt的导数与x2是等价无穷小,试求f “(0).0(C层次)1 .设f(x)是任意的二次多项式,g(x)是某个二次多项式,j；f(xdx = 6f (0)+4f §+ f(1)求 E(xdx2 .设函数f (x )在闭区问la,b】上具有连续的二阶导数,那么在(a,b )内存在,使得bf xdx=b - a f a% 十 b * 13 “| + 一(b _a 3 f 假设).l 2 J 24'',3 . f(x)在 ia,b】上二 次可微 , 且f'(x)?0 ,"(x)?. 试证(b a f (a )< f f (x dx

6、< (b _a)f(b )十 f (a ).a24 .设函数f (x )在a,b 上连续,f (x )在a,b】上存在且可积,f (a )= f(b )= 0 ,试证 f (x |)壬! I f (x jdx ( a < x < b).5. 设 f (x 肝 0,1 上连续,J.f (x dx = 0 , "xf (x dx =1 ,求证存在一点 x , 0xV,使 f(x4.6. 设 f(x )可微,f(0)=0 , f'(0) = 1, F(x)= ：tf(x2-t2 dt,求 魏°耳.7. 设 f (x 并 &, b】上连续可微,假设

7、 f (a )= f (b )=0,那么 f f(xj)dx max f '(x?.(b a)、a , 喧虫 ,8. 设 f(x 刑 U,B 】上连续,A<a<b<B,求证 l四 j ".,- "= f(b)-f(a).9. 设f(x )为奇函数,在(*,E)内连续且单调增加,F(x)=?(x-3t)f(tdt,证实：(1) F(x) 八,匚.r l'i为奇函数;(2) F(x危0,E )±单调减少.10. 设f(x )可微且积分E f (x )+xf (xt )dt的结果与x无关,试求f(x).11. 假设f"(x质b

8、,兀连续,f(0) = 2 , f仞)=1,证实：° f (x )+ f "(x,sin xdx = 3.x12. 求曲线y=(t-Ut-2dt在点(0,0)处的切线方程.a.,13. 设f (x )为连续函数,对任息头数 a有f sinxf (x dx = 0 ,求证f(2-x)=f(x): ax-y). d2 y14. 设方程 2x-tg(x-y)=J0 sec tdt,求耳万.15. 设f(x X a,b】上连续,求证：lim 1 ! f t h )- f t dt = f x f a ( a ： x ： b) hT h a16. 当 x 润时,f(x )连续,且满足

9、 J：(*)f (t)dt =x,求 f(2)17. 设f(x还0,1蛭续且递减,证实1 ,一0f(xdx< J0 f(x)dx,其中 X (0,1 ).18. 设 f'(x )连续,F(x)= jf(t )T(2at pt, f(0)=0 , f(a)=1,试证：F(2a )2F(a )= 1.19. 设g(x)是a,b上的连续函数,f(x)=?g(tpt,试证在(a,b )内方程g(x)-f)= 0至少有一个根.20.设 f (x 还 a,b 】连续,且 f (x )?0 , 乂 F(x )= jf (t pt + 1dt ,证实: f t(1) F(x)*(2) F(x)=

10、0在(a,b )内有且仅有一个根.21. 设 f(x 麻 0,2a】上连续,贝Uf(xdx=?f(x)+f(2a-x)dx.22. 设f(x园以兀为周期的连续函数,证实：' of ' J2 二 二o sinx x f xdx = o 2x 二 f x dx.23. 设f(x辰a,b上正值,连续,那么在a,b)内至少存在一点匕,使f (x dx =(芦 f (x px = 1 f (x dx.a, _2 a1 | .1 I24. 证实 f In f (x +t dt = f In 勺一 Pu + j In f (u du.00 f u 025. 设f(x压Eb】上连续且严格单调增

11、加,那么(a+b)jbf(xHx2jbxf(x)dx. a a Y I26. 设 f(x 祚 a,b】上可导,且 f'(x)M , f(a)=0,贝U f (x )dx 壬萱(b - a f27 .设f(x)处处二阶可导,且f "(x )占0 , 乂 u(t)为任一连续函数,那么1a1a(a a 0 ).of(u(t)df -fou(tdt i, a 0.a 028.设f(x麻a,b】上二阶可导,且bf (x)<0,那么 f f(xdx <(b a)f a'a + b *!°l 2 )29. 设f(x麻a,b】上连续,且f(x)芝0 , HxPx

12、'.,证实在E,b】上必有f(x)三0.a30. f(x)在hb】上连续,且对任何区间&,E】uRb】有不等式'f(xdx?M日-口 1书(M , 8 为正常数),试证在G, b】上f (x )三0(A)1.2 sin x cos3 xdx0解:2.14-cos x4x2 a2 -x2dx原式=_ 02 cos3 xdx =-角昆：令 x = asint,贝U dx = acostdt当x=0时t=0,当 x=a时t =-2n原式= 2a sin t a cost acostdt-031*2解：令乂7,贝u dx=sec2ed0当x =1,班时e分别为-4兀-,3% L

13、J原式兰 sec2 6=理 一4 dx 51 x 1 解：令依=t , dx = 2tdt 当 x=1 时,t=1;当 x=4 时,t=2 原式=2纽=2 dt -1 1 ：:;-t| 11?tg 9 sec314.解：-.J1 xdx口.5 -4x',i x f" | I令 J5 -4x =u,贝U x =f f 1= j2,.1 .dx = 一一 udu4 42当 x = 1 , 1 时,u =3,1原式=-5-u2du=-22 dt1 t3866.1 dx4 口 一 x -1解：令 7TT7 = u,贝u x=1u2, dx = 2udu a1少 x = ,1 时 u

14、= ,0 421 0 _2u - u _ 1 1 原式=1 du = 2 2 du=1 -2ln22u -10 u -1乙x.1dx|nxe21e21解：原式=d In xd 1 In x'1 , 1 In x1 . 1 In x8.0 2 dx七 x 2x 200解：原式=2 = arctg x 1 |" 2"x 19-01 C0S2xdx解：原式 =0、2cos2xdx= .2 0,cosx|dx10. x4 sinxdx1 I解：x4sinx为奇函数: 4x sin xdx = 0-n11. 4 cos4 xdx、二/二o 2解：原式=4 2 °2

15、cos xdx = 2.2 2 cos x dxa . 2x sin x解：.：七如 为奇函数x2x2 1a 2-5x sin x d4 2x2 严=0；：x13- dx解：原式=-3xdctgx414.4 ln x , dx解:十r4原式=2 ln xd x15.10 xarctgxdx解:、11原式=2 o arctgxdx16.ji2x02ecosxdx解:原式2 e2xd sin x-0故 02e2xcosxdx = 1(e“ -2 )517.(xsinx 2dx解:原式=(xsin x f dxjix21 - cos2x , dx18.esin ln x dx1解:原式=xsin l

16、n x e,1 ,- xcos ln x ； dxee .故 sin lnxdx= sin1cos1 11 219.2二 cosx -cos3xdx解:原式匹 l=2. cosx 1 - cos x dx20.sin xdx1 sin x解:原式=:sinxEnxdx21 一sin xxsin x .21. dx0 1 cos x解：令x=t ,那么21 x22.故 2 in sin xdx = - in 2 2xlndx01 -x1 +C 2解：原式=j2inld x 01-x 223.-1x2-':1x4dx解:dx=2dx24-02lnSinxdx解:原式=2 in-0_ . x

17、2sin - cos2 I :、 、 -x dx 令x* 24 (in 2 + in sin t + in cost dt2 一 0ji20250dxi:z - 0x2 1 x:E1那么 dx - - 2 dt t原式=f0二1 tidt2t'dtt21 t：7-He0 1 t2 1 t.2.二dx'1 x2 1 x'二 dx)1 x2 1 x ."foe0x dx1 x2 1 x：dx:故 0 1 x21 x：-(B)1. 求由eH + J.costdt = 0所决定的隐函数y对x的导数 学解：将两边对x求导得.dy cosxdx 一 一 ey2. 当x为何

18、值时,函数I(x)= jtedt有极值2解：I (x )= xe ,令 I (x )= 0 得 x = 0 当x?0时,I(x»0 当 x<0时,I(x)<0当x=0时,函数I(x并T极小值.cos(m2 dt + i (cosm2 dta3. fcosSt2 dt. dx sinxx _12,求 f0f(x)dxox 10解：原式= ( dx rx 1,4. 设 f (x )=1 2ix,解:5.210f xdx = 0 x 1dx 1xI 'x2L(arctgt ) dt21 x2dx2解:lim .'I . x21?(arctgt fdt争 冲j-

19、lim1x 1_'1 x2 1 2 2x2limx )二2x 1xo 一：.0 电x 壬二 .、,求甲(x)= J f(t )dt其它0xx解：当 x < 0 时,中(x )=f (t dt =0dt = 0 0 0当.钦5时,)=二而小= 022当 x>n 时,tp(x )= f (t dt =f (t dt +、f (t dt = L* sin tdt +"0dt = 1当:：:0时当0、x苴兀时.当x A冗时1,7.设 f x = 1 x1 ex,当x _ 0时2_,求匚 f (x 一1 dx.当x :： 0寸0解:f x-1 = x11 exl,当x_ 1

20、时当x :1时limnn马(曲 + J2n + Vn2 18.9. 求 lim 切on-n n nen解:en 1nn原式=lim W nk"en10. 设f (x)是连续函数,且1f(x)=x+2J f(tdt,求 f x-01解：令 f f(t dt =A,那么 f(x)=x+2A, -01 一11从而 o f x dx = o x 2A dx = 2A即 A = 1 2 A , A =-2 2f x)=x -111.=一,求 x O6角昆：令 Vet 1 = u,贝U t = ln 1 +u2 ), dt = 2U 2 du 当 t=2ln2 时,u=T3 当t =x时,u =

21、、ex T= 2arctgu2ln2 dt _3 2udUx/.u2 u从而x = In 2112. 证实：.一 2e' 证：考虑|_,上1上的函数=£*,那么_222y'=-2xe ,令 y'=0得x = 0| -,0 j时,/>0,2y ： 0当乂y = e*在x = 0处取最大值y = 1,l1n鼻 一1且y = e 在x = ±了处取取小值e 21111故 2 e 2dx ：2 e " dx ：2 1dx1 j_即-2e < 寻 e 凑dx ： . 2.1求常数a .13. 现 x= fa 4x2e'xdx,解：

22、左端=lim xfbc12 x. 2aJ2a1 - ex a右端=f (-2x2ex d(-2x )= J -2x2dex a a- 2a2 2a 1 ea =e'a解之a = 0或a = T.、门 * 、1 +x2, x <03 v14. 设 f(x)=i>0 ,求f(x-2dx.解：令x -2 = t ,贝U3115. 设f(x府一个原函数为1+sin2x,求"xf'(2xdx解：令 2x =t,且 f (x)=(1 +sin2 x ) =sin2x16.设 f (x )=ax + b In x ,在 1,3 上 f (x )芝 0 ,求出常数a ,

23、b 使f (x)dx最小.33解：当 J1 f(xdx最小,即(ax +b - lnx dx 最小,由 f (x )= ax+ b -ln x 芝 0知,y=ax + b 在y =ln x的上方,其间所夹面积最小,那么y = ax +b是y = ln x的切线,而yf =-,设切点为(x°, ln x° ), x贝U切线 y = 2(x x0 )+ ln x0 ,故 a = , b = ln x0 1. x°X03于是 I = f (ax + b - ln x dx =色 x2 + bx i 一 ln xdx1211.2 一 1令I； = 4 =0侍a= a2从而

24、 x0=2 , b=ln21乂 I a"=乌A 0,此时 f (x dx最小.a12f x =e"17.解:f x - -2xe 疽21j0 f (xdx+20 f(xdx,求 f(x).1 2 '设"f (x dx = A , L f (x dx = B,贝 U f (x )=1 一1'11 _. . A = 0 f x dx = 0 x2 Bx 2A dx.=1 B 2A22 8B = f f (x dx = J (x2 Bx +2A dx = 2B 十4A00314一解得：A = -,B = -,丁是33叫(cosx bosx - f 

25、9;(cosx Sin2 xdx. 0JI71解：原式=f cosx cosxdxI sin xf cosx d cosx-0- 018.解:19.x2 - Bx 2Ax.x2 -t2 f t dt 解：lim 0x 020. 设xt 0时,F (x)= j"(x2-t2f"(tdt的导数与x2是等价无穷小,试求f"(0).0x2xf t dt0=lim；x-°x2(C)1 .设f(x)是任意的二次多项式,g(x)是某个二次多项式,£f(xdx = 6f (0)+4ff(nj,求g(xpx.解：设 x = (b _ a + a ,贝 U令 gb

26、 - a t a)：= f t"b + a *. . 土、I,f(1)=g(b).一(1 丁是 f (0 )= g (a ), f J=g曰. ba - / 、'b+a71 ,"l由侍 I =一或 |g(a)+4g 一厂j+g(b)|I、,rl 二 iWig2 .设函数f (x )在闭区间G,b】上具有连续的二阶导数,那么在(a,b )内存在E ,使得bf xdx = b - a fa证：由泰勒公式其中x0,x W (a,b ), W位丁 x0与x之间.两边积分得：I 广：令x°=u,那么I2= (baf '依+上(b a：3f "(E

27、),匚在(a,b).l 2 J 24 Y I3 .f(x)在 5,b】上二次可微,且 f'(x)A0 ,f*(x)>0 . 试证bf b fab -a f a J i f x dx ： ba a2证实：当x正(a,b )时,由f'(x)>0 , f"(x»0知f(x)是严格增及严格凹的,从而f(x?f(a)及f x < f a f bf a x-a b -abb故 f x dx f a dx = ：b - a f a a' a4 .设函数f (x )在a,b 上连续,f '(x )在a,b】上存在且可积,f (a )= f(

28、b )= 0 ,试证 f(x)【i f'(x )dx ( a < x < b).2 'a证实：由于在a,b】上f (x)可积,故有而 f(X)= j f (t dt, f (x)=f t dt -a- x十T ,1Xb1丁是 f(x)=a"(t Jdt xf '(t dt15. 设 f (x 麻 0,1 】上连续,J.f (x dx = 0 , "xf (x dx =1 ,求证存在一点 x , 0 苴 x1,使 f(x»4.证：假设 f(xb?4 , x 0,1 r1 f x dx =4.0x _!dx2由"f (x

29、dx = 0 , J.xf (x px = 1 ,得,11故 x0211从而 J.x-(|f (x -4 dx =0-f x -4=0由于 f(x 肝 b,1 姓续,贝 U f(x)=4 或 f(x)=4.从而 Lf(x)dx=4 或4,这与 rf(x)dx=0 矛盾.故|f (x )a4.6. 设 f(x )可微,f(0)=0 , f'(0) = 1, F(x)=tf(x2 -12 dt,求 lim 耳).0 x >0 x角车：令 x2 t2 =u,贝U F(x)=；j f(u du,显然 F'(x)=xf(x2 )F x F x f x2 f x2 - f 011十是

30、 lim lim q = lim ) = limf 0=x0 xx0 4xx0 4xx0 4 x0447. 设 f(x 作 a,b】上连续可微,假设 f(a)=f(b)=0,那么一df(x|)dx<max|f'(xL(b-a广也证：因f (x归a,b】上连续可微,贝U f(x )在a,主辿'和I也些,b'上均满足拉格朗日定理条件,-2 一 2设 m =maxlf'(x),那么有故一r f 仅 dx < m.(b - a 广8. 设f(x旌k,B】上连续,A<a<b<B,求证眄：f彼* ；)一 "叫x = f(b)-f(a)

31、.、 b f x k 】J f x 1 b1 b证： dx f x k dx f x dxa kk ak ab b k令 x+k=u,贝U f (x+k dx= J f(udu '-a- a k丁是 b f - F(x )为奇函数. r F'(x)= |x"f(t)dt3"tf (tdt 1 由丁 f(x园奇函数且单调增加,当 x>0时,f(x)?0 , J：f(t)-f(x出t<0F 0<t<x),故F'(x)<0 , x 在(0,*c ),即 F(x )在 b,*c)上单调减少. 10. 设f (x )可微且积分jf

32、 (x )+xf (xt )dt的结果与x无关,试求f(x). -0解：记 EIf(x)+xf(xt)dt =C , WJ 由f(x )可微,丁是解之f(x)=ke" (k为任意常数)| I 11. 假设f *(x雁虹兀脏续,f(0)=2 , f()=1,证实： :f (x )+ f "(x 摭in xdx = 3.角昆：因 o f x sin xdx = o sin xdf x所以f (x )+ f "(x ),in xdx = 3. 12. 求曲线y = £(t -1(t -2dt在点(0,0)处的切线万程.解：y'=(x-1【x-2 ),那

33、么 y'(0)=2,故切线方程为:y-0=2(x-0),即 y = 2x., 一 , 二.a13. 设f (x )为连续函数,对任总头数a有兀sinxf (x dx = 0 ,求证f (2江-x )= f(x).证：两边对a求导即 f i,a = f 耕一a k - f k dx1 bkfxdx-1 bf x dxakk ' kk ab f x k一 f x1 b k1 a k故 lim dx = lim f x dx - lim f x dxk_0 - akk_0 k . bk_0 k ' ax(1) F x9. 设f (x )为奇函数,在(_*,E)内连续且单调增加

34、,F(x)= J0(x 3t)f(tdt ,证实: 为奇函数;(2) F(x祚0,*c )±单调减少.证：(1) F( x)= "一(x3t)f (tdtM J：(x+3u)f(u)du令 a = n _ x,即得 f (2冗 _ x )= f (x )0x-y)d v14. 设方程 2x-tg(x-y )= J sec tdt,求一 .0dx解：方程两边对x求导,得从而 y = 1 -cos2 x-y =sin2x-y15. 设f(x应a,b上连续,求证：、吗一ia f t h )- f t dt = f x f a ( a ： x ： b)证：设F(x内f(x )的原函

35、数,贝U左边=lim 1 F (x + h )_ F (a + h )_ F (x )+ F (a ) h 0 h,- I1 1-=f(x) f (a )=右边.,- 一 ,.一x2 1 x-16. 当 xM0时,f(x )连续,且满足"')f(t)dt = x,求 f(2).解：等式两边对x求导,得令 x2(1 +x)=2 得 x=1将x=1代入得：f(2)5=11故 f (2 )=;.I ,.| |17. 设f(x压0,1址续且递减,证实1,% J0 f (x dx 弓 L f(xdx,其中人在(0,1 ).、一1-1证:0 f x dx =0 f x dx f x dx

36、1-那么 f x dx - f x dx00=找*?)玖0".2 ), /.,1 ), &W,乳)由丁 f(x匹减,f上拦f(M)1-故,f x dx - f x dx 冬 00- 0一 1即九 f f (x dx < "f (x dx o0 0x .18. 设 f (x 旌续,F(x)=°f(t f'(2a-1 dt, f(0)=0 , f(a)=1,试证：F(2a )-2F(a )= 12aa证：F 2a 2F a = ° f t f 2at dt 一 2 ° f t f 2a 一 t dt在第一个积分中,令2a-t=

37、u,那么而一 f t f 2a t ? = f 2a f 0 f2 a =1 a故 F 2a -2F a =119. 设g(x )是a,b上的连续函数,f (x )= jg(t dt,试证在(a,b )内方程g(x)-f)= 0至少有 一个根.证：由积分中值定理,存在&w(a,b侦.一即 g - f b = 0 b - a故芸是方程g(x)-已里=0的一个根.b -a. C * i* r ill| !1* I |-20. 设f(x肝a,b】连续,且f(x?0, 乂 F(x)= jf (tdt +白滞?1,证实：(1) F(x)M2(2) F(x)=0在(a,b )内有且仅有一个根.一.

38、1证：(1) F x = f x E：、：2f xa 1b(2) F(a)=bfy)dt <0 , F(b)= "f(tdt >0'-J乂 F(x压a,bM续,由介值定理知F(x)=0在(a,b )内至少有一根.乂 F'(x »0,那么F(x阵增,从而F (x )= 0在(a,b )内至多有一根.故F (x )= 0在(a,b )内有且仅有一个根.21. 设 f(x 麻 0,2a 】上连续,那么 广 f(xdx=f (x)+f(2a-x)dx.002aa2a证:o f x dx = o f x dx a f x dx令 x=2a-u , dx =

39、-du ,贝U故 2af x dx = "f x f 2a -x dx-0- 022. 设f(x炬以兀为周期的连续函数,证实：2 :二(sinx+x )f (x dx = J(2x + R)f(xdx.-00、一 2 -证: o sin x x f x dx令x = r +u ,贝U='"(u +n -sin u )f (u du ( , f (x )以冗为周期)2 : 一故 ° sin x x f x dx = 0 2x “ "if x dx23. 设f(x辰a,b上正值,连续,那么在a,b)内至少存在一点匕,使b1 bfa f(那么 F x

40、= f t dt a x f x -2xf x , a a?t?x , f(x)在a,b】严格单增f t - f x ,： 0那么 F '(x)<0,从而 F(b)<F(a )=0ibb即 a b f t dt - 2 tf t dt ： 0aa dx = 土f(x px=E ja f(xdx.、一人xb证：令 F x = f t dt - f t dt -a- x由丁 xw a,b】时,f(x)>0,故故由零点定理知,存在一点Ew(a,b ),使得F(£)=0b即 f t dt - .f t dt = 0 a-i b'b'乂 f x dx = f x dx,i f x dx = 2 f x dx-a a- ab1 b故f (x dx = n f (x dx