完整版高数解题方法汇总大一上期中

1、高数解题方法汇总一、课本以及课堂上老帅方法1、如何判断一个数列的极限不存在(1) 找一个趋于X的子数列(2) 找两个收敛于不同极限的子数列(3) 注意一个结论：单调有界数列必有极限(可用来证实数列极限存在)2、如何判断一个函数的在 X0极限不存在(1) 找一个敛于X.的数列Xn , n极限f(Xn )不存在(2) 找两个趋于X.的不同数列Xn和Xn,使n F寸,极限f(Xn )不等于极限f(Xn)(3) 直接写X-X.时函数f(X)极限的表达式,证实极限值为 OC或者不存在(4) 左右极限不相等3、判断可导性(1) 不连续,一定不可导(2) 直接用导数定义(3) 看左右导数是否存在且相等4、判

2、定区间I上的连续曲线f(X)的拐点(1) 求函数二阶导数(2) 求出使函数二阶导数在区间内等于0的全部是根,并求出在区间内二阶导数不存在的点(3) 检查所有点左右两侧附近二阶导数的符号是否相反,假设相反那么是拐点5、求f(X)在某区间内的极值点和相应的极值(1) 求出一阶导数(2) 求出f(X)的全部驻点和不可导点(3) 检查所有点左右两侧附近一阶导数的符号是否相反,相反那么为极值点,接着判断是极大值还是 极小值(4) 求出个极值点的函数值,即可得函数f(X)的全部极值 6、求f(X)在某区间内的最大值和最小值(1) 根据上述方法求出所有极值的函数值(2) 求出区间端点对应的函数值,与所有函数

3、值相比较,最大的即为最大值,最小的即为最小值二、自己总结的方法1、求极限的方法：(1 )看到X->8,就想方法换元t=1/x (t 0)(2) 先化简,再求极限,化简的方法有：分子(分母)有理化(3) 大胆配凑！ ！ ！a. 出现sinX,可考虑配凑sinX/X (但一定要注意 X的变化趋势是X一0)b. 假设底数一1,指数一,考虑化成重要极限的形式(放心大胆化,化完了再单独求尾巴)(但有的时候,底数和指数太不相同,假设硬凑,那么指数的求极限也很麻烦,此时化成e的n次方的形式即可)c. 出现(sinX+cosX )时,整体平方一下即可出现1 了(1在很多重要极限以及无穷小替代中经常出现)

4、d. 很多等价替换的式子要求 x-0,但如果刚好题目给的是 xC(常数),那么换元t=x-C,即可出现t一0(4) 洛必达定理a. 0 - °0型的,要通分化成 0/0或者0<700b. 尽量找关于x的式子中共同的因式,把这个因式重新换元,化繁为简c. 巧用洛必达定理去除常数项(5) 用泰勒公式把关于 x的七里八里的式子全部化成 x的多项式2、关于高阶函数(1) 什么时候用莱布尼茨公式比较好当要求高阶函数,而其中一个因式为多项式时(由于多项式到了高阶函数时,导数会变成0)(2) 当原函数式子比较复杂却要求 n阶导数时,可以考虑先求 一阶导数=一个简单的式子,然后再 求那个简单的

5、式子的(n-1)阶导数(3) 遇到高阶三角函数时一定要先化简(化成 1次),再求n阶导数3、关于求导(1) 对于隐函数的求导一般思路：等式两边同时对x求导(2) 对数求导法常用对象：备指函数(最常用)、多项连乘或连除或开方(可以化成对数的加减,好算一些)4、中值定理的应用x的表达式就把这个新的表达式看成(1) 要把式子中含相同中值的式子写在一起,出现了新的关于新的函数,用柯西中值定理(2) 一般都要用逆向思维,设辅助函数(3) 证实含1个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数(4) 假设结论中涉及到含中值的两个不同的函数,可考虑用柯西中值定理(5) 假设结论中含两个或两个以

6、上的种植,必须屡次运用中值定理(6) 假设条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,有时也考虑对导数用中值定理(7) 假设结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧三、不同题型及处理方法1、设f(X)是多项式,给了几个f(X)参与计算的极限的式子,求 f(X)表达式【方法】：(1)通过观察极限的值确定 f(X)的最高次项(2)确定完最高次项之后用待定系数法2、涉及几何的问题或工程上的实际问题,要进行建模,构造函数就算可能写不出表达式,也建立数学关系,由于有的时候可能只需要从概念上进行评判即可,不一 定需要得到具体的值(看清题目要求的或者要证实的东西与哪个知识或定理类似)3、一个好长的式子(有规律变化)

7、极限值等于一个常数的证实题【方法】：(1)夹逼定理(整体一起夹逼,巧用放缩)(只要是有规律的多项式,哪怕项数是有限 个甚至比较少,都可以尝试夹逼定理)(2)尝试化简式子本身,有时候可以加减相消或者裂项相消4、求分式函数的间断点的类型【方法】：(1)分式函数在其定义区间内一般都是连续的,所以间断点一般出现在使得分母为零的 点上.要在没有约分的情况下,把所有使得分母为零的点求出来.(2)判断是什么间断点一定要严格根据定义来5、最大值和最小值函数【方法】：(X) =1/2f(x)+g(x)+ ?(x)-g(x) ? ? (X)为 f(x)和 g(x)中的最大值? (X) =1/2f(x)+g(x)-

8、 ?(x)-g(x) ? ? ? (X)为 f(x)和 g(x)中的最小值6、证实式1 =式2【方法】(1)把所有式子移到等式同一边,构造新的函数,判断在给定区间上是否有零点7、解函数解析式【方法】利用 函数表示与变量字母无关的特性 ,配凑出关于f(x)的多元一次方程组,最后解方程即 可8、等价替代需要注意的(1) 式子中没有ln(x+1),只有lnx,那么就用lnx(x-1)等但是使用此方法一定要注意 xt什么数,满不满足等价替换的条件(2) 加减不能等效替换,一定不能.实在要用的话,就一定要先拆开,再一项项单独替换,而且一 定要注意替换的过程中,每一项的极限值是否存在9、证实数列单调【方法

9、】(1 )差值法 X n+1 -X n决(2)比值法 Xn+1 /Xn消10、一个条件,判断这个条件能不能推出函数可导或者函数可导,判断能不能推出某个条件【方法】：一定一定一定要写导数的表达式,从定义上判断11、求反函数的导数【方法】(1)先求此函数本身的导数,反函数导数就是原函数导数的倒数(2)等式两边同时对y求导即可(注意求反函数的导数不需要对调x和y,且最后结果的表达式要用 x来表示)12、证实函数在区间内有界【方法】即证该区间内 ?(x)?知(常数)四、注点1、一定要看清楚要求的是函数的极限还是导数的极限！ ！ ！2、 当X-0时,一旦遇到1/X的式子,就一定要考虑分别讨论X=0的左右

10、极限(正负)遇到X?时也要注意考虑正负3、有一个结论：如果f(X)在X.连续,那么?X)?也在X.连续但是题目中如果没有给这个结论的话,那么必须要自己重新证实4、 注意是f(x1)f(x2)<0时才能用零点存在定理,如果推出来的式子时f(x1)f(x2) <0,那么需要单独讨论f(x1)f(x2)=0的情况5、看到两个sin或两个cos的和差,优先考虑和差化积6、选择填空题假设是可以直接看出答案的就不用太纠结去严格证实了7、求有界性的时候多用绝对值不等式 进行放缩8、 假设知道某点的函数值等于0的话,大胆地将其放在定义式里进行加减(反正加减的是0,不影响结果)9、如果 X-0 时,f(x)/x 存在,那么 X-0 时,f(x) -0假设f(x)在x=0处连续,那么f(0)=010、在众多证实题中,谁可导就配凑谁的导数形式11、 假设题干中有 函数在某点的n阶导数存在的信息,隐藏的信息是 (1) f(x)在这一点连续；(2) f(x)在这一点的1(n-1)阶导数都存在12、运用一系列中值定理时,一定要讨论这些中值定理存在的条件(可导啊,连续啊)13、 当没有给函数f(x)的表达式却要证实关于关于f(x0)或者其他与f(x)有关的东西时(比方f(