完整版相似三角形讲义

1、?相似三角形?讲义教学目标：1. 知识目标：1理解相似三角形的概念,了解相似三角形的对应元素及相似比；2掌握判定三角形相似的预备定理.2. 水平目标：培养学生探究新知识,提升分析问题和解决问题的水平.增进发放思维水平和现有知识区 向最近开展区迁延的水平.3. 情感目标:增强学生对新知识探究的兴趣,渗透几何中理性思维的思想.教学重点、难点：重点：相似三角形的概念及判定的预备定理1的证实,全等三角形所难点：当两个相似三角形局部重叠时,判别它们的对应角和对应边以及例 教学过程：一类比联想,动手实验1. 回忆全等三角形的含义两个三角形形状、大小相同,能够完全重合 具有的性质对应边、对应角相等.2. 让

2、学生动手画一个三角形及三角形的一条中位线,教师提问：三角形的中位线所截的二角形与原二角形的形状有什么关系大小呢各角有什么关系各边有什么关系?二直观演示,展示新知A1 .相似三角形的定义记为 ABc ,因此有 A=4a , 4= B ' ,/c=/c,将上面所截得的三角形移出,记为a ' b' e ,原三角形/ / / /堕=旦£ =3、=,即两个三角形的对网角相等,对网边成比例.这样的两4ABBCCA 2形虽然大小不一定相等,但形状相同.定义：对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.2 .表小方法：教师介绍表示法,同时强调应把表示对应顶点的字母写

3、在对应的位置上可以以此与 全等符号及表示作一比较,增强记忆.3 .相似三角形的性质：相似三角形的 对应角相等,对应边成比例.4. 相似比：相似三角形对应边的比,叫做两个相似三角形的相似比或相似系数强调：A ' B' C'与ABC的相似比是k,贝U农BC与今B' C'的相似比是- k练习：判断以下命题是否正确.错误的,举出反例；正确的,用定义加以说明：所有的等腰三角形都相似.所有的等边三角形都相似.所有的直角三角形都相似.所有的等腰直角三角形都相似.教师示范一个标准过程,让学生模仿,学会用定义来解决问题C三范例研讨,迁移练习：1 .例1.如图,在金BC中,

4、DE/BC , D,E 分别在 AB, AC上师生共同探讨：(1) 目前要证实两个三角形相似只能根据什么(定义)(2) 根据定义证实两个三角形相似,要证实满足哪两个条件(对应角相等, 对应边成比例)(3) ADEzX ABC满足“对应角相等吗为什么(4) 对应边成比例,由“ DE/BC的条件可得到怎样的比例式,竺=些AB EC(5) 此题的关键归结为“只要证实什么 匪=竺；AC BC(6)根据以前的推论,如何把DE移到BC上去,即应添怎样的辅助线 (EF/AB) 教师板演证实过程.2.如图,DE/BC, » E分别在BA CA的延长线上, D EB ADEA ABC 相似吗A相似由此

5、得到预备定理：3. 定理 平行丁三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成 的三角形与原三角形相似.4.例2,如图,.为&ABC的AB边上的一点,过点 D作CDE/AC ,交 BC丁 E, BE EC=2 1, AC=6CM求DE的长.5、练习：P122贞 1、2、36、课后拓展(机动)：(1)如图甲, /ABD sCB,贝U AD AB=_ :AB : BD=_ : _ 如果 AD=2 DC=1 那TaB=(2),如图乙,在 瑚C中,AD是角平分线,求证：AB BD =0 AC DC五、归纳总结、布置作业：1 .今天学习了相似三角形的定义,它既是三角形相似的判定,乂是相

6、似三角形的性 质,同时可知全等三角形是相似三角形的特殊情况,其相似比是1;2. 平行丁三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形 与原三角形相似.3. 作业相似三角形2四. 教学目标：1. 知识目标：(1) 近一步理解相似三角形的概念,了解相似三角形的对应元素及相似比；(2) 稳固判定三角形相似的预备定理及应用掌握判定三角形相似的其他三个方法2. 水平目标：培养学生探究新知识,提升分析问题和解决问题的水平.增进发放思维水平和现有知识区 向最近开展区迁延的水平.3. 情感目标：增强学生对新知识探究的兴趣,渗透几何中理性思维的思想.五. 教学重点、难点：重点：判定三角形相似的

7、其他三个方法难点；判定三角形相似的其他三个方法及应用三课堂探究：探究一在一张方格纸上画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来各边长的度量这两个三角形的对应角它们有什么特点你能把理由说来与大家分享吗k倍,如图： ABCffizX A/B/C/中,ABA/B/BC ACB/C/ 一 A/C/你认为这两个三角形之间是什么关系求证；ABS A/B/C/证实：截 A/D = AB ,过 D作 DE/ B/C/n A/DEA/B/C/ ABCA A/DEn AB(A A/B/C/结论：如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似 备注探究二AB AC利用刻度尺和重角命IS A ABC

8、X ABC,使/ A=Z A , =一/ = K ,A/B/ A/C/量BC B/C/的长度,量Z B /G / B/、/ C/的度数 你发现BC B/C/的长度有什么关系 你发现Z B、/C、/ B,、Z C/的度数有什么关系? 由、能得 ABCA A/B/C/有什么关系结论：如果两个三角形的两组对应边的比相等,且 火角相等,那么这两个三角形相似 改变Z A和K的大小,是否有同样的结论 请同学们自己证实这个结论ABCffizX A,B/C,使Z B=Z B/,华 =-AC ,这两个三角形相似 吗A/B/ A/C/探究三作2 ABCftzX A/B/C/,使Z A=Z A/、Z B=Z B/,

9、分别度量两个三角形的边长你发现/ C与Z C/有什么关系?ABBCCA你发现F"、r" 有什么关系?A/B/B/C/C/A/由、能得 ABCffizX A/B/C/有什么关系?结论：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似请同学们自己证实这个结论四例题欣赏 例1：根据以下条件,判断 ABCffizX A/B/C/是否相似,并说明理由? Z A=1200、AB=7cm、AC=14cn)Z A/ = 1200、A/B/=7cm、A/C/=14 cm AB=4 cm、 BC=6cm、AC=8cmAy/ .B =12 CII1、 B C =18 C

10、II1、 A C =2 1 till五、课堂练习1、根据以下条件,判断 ABCftzX A/B/C/是否相似,并说明理由?Z A=400、AB=8cm、AC=15cmZ A/ = 300、A/B/=16cm、A/C/ =30 cm AB=10 cm、BC=8 cm、AC=16cmA/B/=20 cm、B/C/=16 cm、A/C/=32 cm2、图中的两个三角形是否相似/4S3、 要做两个形状相同的三角形框架,其中一个的三边长为3、4、5,另一个三角形的一边长为2,它的另两条边长为多少你有几个答案4、底角相等的两个等腰三角形是否相似顶角相等的两个等腰三角形呢证实你的结论5如图：Rt AABC,

11、 CD是斜边上的高, ACEPA ACBEPAABCffi似吗证实你的结论AS六、归纳总结、布置作业：4. 今天学习了相似三角形的三个判定,5. 作业相似三角形的性质教学目标：知识与技能1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证实方法.2、灵活运用相似三角形的判定和性质,提升分析,推理水平.过程与方法：1、对性质定理的探究经历观察一一猜想一一论证一一归纳的过程,培养学生主动探究、合作 交流的习惯和严谨治学的态度.2、通过实际情境的创设和解决,使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题,复杂问题转化 为简单问题的思想方法.3、通过例题的拓展延伸,体会类比的数学思想,培养学生

12、大胆猜想、勇丁探索、勤丁思考的 数学品质,提升分析问题和解决问题的水平.情感与态度：在学习和探讨的过程中,体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作,在合作中体验成功的喜悦,树立学习的自信心；通过对生活问题的解决,体会数学知识在实际中的广泛应 用.教学重点：相似三角形性质定理的探索及应用教学难点：综合应用相似三角形的性质与判定探索三角形中面积之间的关系教学方法与手段：探究式教学、小组合作学习、多媒体教学教学过程：一、创设情境,引入新课1、我们已经学了相似三角形的哪些性质2、问题情境：某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地,由

13、丁马路拓宽绿地被削去了一个角,变成了一个梯形,原绿化地一 边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是：被削去的局部面积有多少周长是多少你能解决这个问题吗?二、实践交流,探索新知1、看一看： ABCA A B' C'有什么关系为什么2、算一算： ABCA A B' C'的相似比是多少 ABCA A B' C'的周长比是多少面积比是多少3、想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比和相似比有什么关系面积比与相似比乂有什么关系?4、验一验：是不是任何两个相似三角形都有此关系呢你能加以验证吗5、在学生思考、讨论的根底上给出证题过程多媒体6、归纳小结

14、；相似三角形性质定理 2相似三角形的周长比等丁相似比,面积比等丁相似比的平方.三、根底练习,加深理解练一练：两个三角形相似,请完成以下表格:相似比2周长比13面积比10000归纳：周长比等丁相似比；相似比、周长比,求面积比要平方,面积比求相似比或周 长比那么要平方.四、综合应用,解决问题：如图,DE/ BC AB=30m BD=18m ABC勺周长为80m 面积为100侨,求ADE的周长和面积五、拓展延伸,共同提升1、过E作EF/AB交BC于F,其他条件不变,那么/ EFC的面积等丁多少平行四边形 BDEF勺 面积为多少2、假设设SABC=$ SMDE=6, EFC=§试猜想：S与S

15、、&之间存在怎样的关系?六、类似猜想,深入探究探究：如图,DE/ BC FG/ AB, MN/ AC,且 DE FG MNT点 P,假设设 &DMP=S, PEF=S, , GNP=S &ABC=$ S与Si、&、&之间是否也有类似结论猜想并加以论证.七、回忆反思,畅谈心得本节课你有何收获1、这节课我们学到了哪些知识2、我们是用哪些方法获得这些知识的3、通过本节课的学习,你有没有新的想法或发现你觉得还有什么问题需要继续讨论吗八、布置作业1、作业本 2、3 (2) (3)、4、52、探究推理过程课外整理完成,各组自行组织讨论交流.教学设计说明：1、本节课从

16、一个较为实际的生活情境引入,设置问题悬念,激发学生的求知欲望,使学 生掌握将实际问题转化为数学问题的思想方法,感受数学知识在生活中的广泛应用.2、性质定理2的学习和探索,注重于知识的形成过程,使学生体验特殊到一般的认知规 律,以及由观察一一猜想一一论证一一归纳的数学思维过程.3、由问题的解决变式到例题,再经例题加以拓展延伸,使本节内容衔接更趋自然,同时 使学生充分体会类比的数学思想以及图形之间的互相联系.4、教学中注重小组之间的合作交流,在合作中增强学生的团体意识,体验成功的喜悦, 树立学习的自信心.相似三角形的应用六. 教学目标：1. 知识目标：(1) 理解相似三角形的概念,了解相似三角形的

17、对应元素及相似比；(2) 掌握判定三角形相似的四个定理.2. 水平目标：培养学生探究新知识,提升分析问题和解决问题的水平.增进发放思维水平和现有知识区 向最近开展区迁延的水平.3. 情感目标：增强学生对新知识探究的兴趣,渗透几何中理性思维的思想.七. 教学重点、难点：重点：相似三角形的概念及判定定理难点：把实际问题转化成相似三角形的建模教学过程：一、温顾而知新相似三角形有哪些性质请画图并用几何语言描述；相似三角形有哪些判定方法请画图并用几何语言描述；二、例题欣赏例1、根据史料记载,古希腊数学家、天文家秦勒斯利用相似三角形的原理,在金字塔 影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来

18、测量金字塔的高度. 如图,木杆EF长2m它的影长FD为3门测得OA为201m求金字塔的高度.解;. BA / DEZ BAO EDF乂 . z AOB= DFE=90°. ABC s' DEF.BO AC- 二EF FD bo=EF =DF因此金字塔的高度134m.201 2= 1343例2 如图,为了估算河的宽度,我们可在河对岸选定一个目标点 P,在近岸取点Q和S,使点P、 Q、S共线且直线P S与岸垂直,接着在过点S且与P S垂直的直线 a上选择适当的点T ,确 定PT与过点Q且垂直PS的直线 b交丁点R,测得QS = 4 5 门ST=9 0mQR=60 m求河的宽度PQ

19、解；vZPQRZPSTAAP QRAP S T. PQPSQRSTPQ = 60PQ QS ST PQ 45 一 90PQQR =PQ 90 = PQ 45 60解得PQ= 9 0因此河的宽度PQ为90 m三课堂练习1、在某一时刻,测得一根高为1 . 8 m的竹杆的影长为3 m同一时刻测得一栋高楼的 影长为9 0 m,这栋楼的高度是多少2、如图,测5 得 BD=1 20 mDC=6 0mEC=5 0 m 求河宽 A B5 cm3如图,有一块呈三角形形状的草坪,其中一边的长是20m在这个草坪的图纸上,这条边长5cm其他两边的长度都是3.5cm.求该草坪其他两边的实际长度.四、小结灵活地应用相似三

20、角形的性质、判定解决实际生活中的问题4、如图,锐角三角形ABC勺边AB, AC上的高线CE和BF相交丁点D.请写出图中的两对相似 三角形： 用相似符号连接.B. 2对CD 1:6 5D. 4对相似比为5: 4,那么ABCAABG-5A EA. 1对11、AABAABC,相似比为 2: 3, ABCs/AG,的相似比为6A:C . 3对相似三角形练习题20,那么塔楼的高度为7、如果/XABO/X A B' C ,相似比为k k丰1,那么k的值是A. Z A:Z AB.AB': AB C . ZB:Z B'D.BCB'C'8、假设/XABO/X A B

21、9; C' , ZA=40° , Z C=11J ,那么 Z B'等丁A. 300B. 50° C . 400D. 70°9、 三角形三边之比3: 5: 7,与它相似的三角形最长边是 21cm另两边之和是A. 15cmB. 18cm C . 21cmD. 24cm10、如图AB/ CD/ EF,那么图中相似三角形的对数为1、如图,要测量A、B两点间距离,在.点打桩,取OA中点C, OB中点D,3、：在 ABC中,P是AB上一点,连结CP,当满足条件/ ACP= 2或 AC=时,AACIAABC或 Z APC=5. ABC的三边长分别为 右,而屈 A

22、B'C的两边长分别为i1和廿2 ,如果 ABOAAB'C,那么 A'B'C '的第三边长为'''' 6.假设 ABOzX ABC. ABC2 ABC,那么 ABCffizX ABC 的关系测得CD=31.4米,贝U AB=2、一根竹竿的高为L5故,影长为 饷,同一时刻,某12. 在比例尺1: 10000的地图上,相距2cm的两地的实际距离是()A. 200cmB. 200dm C . 200mD. 200km13. Rt ABC中,Z ACB=90 , CEUAB于D, DdACT E,那么和 ABC相似但不全等的三角形共

23、有()(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个14. 在Rt ABC, Z C=90° , C8AB丁 D,以下等式中错误的选项是()(A)ad? bd=cD (B)ac?bd=cbad(C)aC=ad>ab (D) aU=aC+bC15.在平行四边形ABCLfr ,E为AB中点,EF交AC丁 G交AD于F,荣 £ 那么祟的比值是(FD 3 GA(A) 2(B) 316.在 Rt ABC, Z ACB=90(C) 4(D) 5,Cd AB 于 D, WJ BD： Ag 于(C) a :、/b(D)不能确定13CM两条直角边的和为17CM那么斜边上的高的长

24、度为(A) a ： b(B) a2 ： b217. 直角三角形的斜边长为18. Rt ABC中,CD斜边上的高线,AB=29 AD=25 贝U DC二如图,在 ABC中,D为AC上一点,E为延长线上一点,且 BE=AD ED和AB交丁 F求EF： FD=AC BC19.证：20、如图,矩形 ABC呻,E为BC上一点,DFLAE丁 F.(1) ABA ADF相彳以吗请说明理由. 假设 AB= AD=12 BE=8 求 DF 的长.(11 分).一. CE BC21.如图,在 ABC中,ZAB孚90 , CEUAB丁 D, DNAC于 E,求证： 云=屁Z ADB=90 ,CD±AB丁

25、C, AC=20CM,BC=9CM,AB及 BD的长23、如图, ABC中,AD为BC边中线,E为AD上一点,并且 CE=CD£ EAC兰B, 求证： AES BDA, DC=AD?AE24如图,PA ABC中,AD BF分别为BC, AC边上的高,过 D作AB的垂线交 AB丁 E,交 BF 丁 G 交AC延长线丁 H,求证：D=EGEHABi"25如图,正方形 ABCD E是AB的中点,F是AD上的一点,E CF且 AF=1 AD,于,1求证：CE平分 Z BCF,2 1 AB2=C酬GA DBC6、如图,一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上,某一时刻,小明竖起 1米高的直杆,量 得其影长为0.5米,此时,他乂量得电线杆 AB落在地上的影子BD长3米,落在墙上的影子 CD的高为2米.小明用这些数据很快算出了电线杆 AB的高.请你计算,电线杆 AB的高为7、如图,这是圆桌正上方的灯泡看作一个点发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影圆形的示意图.桌面的直径为 1.2米,桌面距离地面1米.假设灯泡距离地面3米,那么 地面上阴影局部的面积为多少8. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如下列图),亮区到窗口下的墙 脚距离EC=8.7m窗口高AB=1