完整版概率论与数理统计习题及答案选择题

1、?概率论与数理统计?习题及答案选择题单项选择题1 .以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销,那么其对立事件 入为().(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销；(B) “甲、乙两种产品均畅销；(C) “甲种产品滞销或乙种产品畅销；(D) “甲种产品滞销.解：设8='甲种产品畅销,C='乙种产品滞销,A = BCA = BC = BUC =,甲种产品滞销或乙种产品畅销,.选c.2 .设A, B,C是三个事件,在以下各式中,不成立的是().(A) (A-B)Ub=aUb；(B) (AUB) -B = A；(C)(aUb) -ab =abUAb；(D)(aUb)-c =(a-c)U(b

2、-c).解：(Ab) Ub=aBUb=(aUb)D(BUb)=aUb:. a .(aUb) -b =(aUb)B =aBU bB = aB = a-b = ab 不对(aUb)-ab =(a-b)U(b-a)= aBU Ab. c对, 选 b.同理D也对.3 .假设当事件 A,B同时发生时,事件 C必发生,那么().(A) P(C) <P(A) +P(B) -1 ;(B) P(C) >P(A) +P(B) -1 ;(C) P(C)=P(AB);(D) P(C) = P(AUb).解：AB C= P(C) -P(AB) =P(A) P(B) -P(AUb)-P(A) P(B)-1二选

3、B.4 .设 P(A)=a, P(B)=b, P(AUB)=c,那么 P(Ab)等于().(A) a-b；(B) c-b；(C) a(1-b)；(D) b-a.解：P(AB) =P(AB) =P(A)P(AB) =aP(A)P(B) P(AUB)=cb二选B.5 .设A, B是两个事件,假设PAB=0,那么.A A, B互不相容；B AB是不可能事件;(C) P(A) =0或P(B) =0 ;(D) AB未必是不可能事件解：； P(AB) =0= AB =0 . 二 选 D.6 .设事件A,B满足AB=0 ,那么以下结论中肯定正确的选项是(A)A, B互不相容；(C) P(AB) =P(A)P

4、(B);解：I ® ® I A,B相容1 A _BA =B, B = A,(B)A, B 相容；(D) P(A-B)=P(A).A不对.AB=9二 b错.AB=6= P AB=0 而 P(A)P(B)不一定为 0 二 C 错.P( A B)= R A) R A%P, A二选 D.7 .设 0 <P(B) Ml, P(A| B) + P(A| B) =1 ,那么()(A) A, B互不相容；(B) A, B互为对立；(C) A,B不独立；(D) A, B相互独立.P(AB) P(AB) P(AB) P(AUb) P(AB) 1 -P(aUb)角军：1 二二二P(B) P

5、(B) P(B) 1 -P(B) P(B) 1 -P(B)P(AB)(1 - P(B) P(B)(1 - P(A)-P(B) P(AB)一P(B)(1 -P(B)一_ _ 2 _ _ _ _ 2 _P(B) -P (B) =P(AB) P(B) -P(A)P(B) - P (B)P( AB)= P( A) R B) .选 D.8.以下命题中,正确的选项是().(A)假设P(A) =0 ,那么A是不可能事件；(B)假设 P(AUB)=P(A)+P(B),那么 A,B 互不相容；(C)假设 P(AUB)-P(AB) =1 ,那么 P(A) + P(B)=1 ；(D) P(A-B) =P(A) -P

6、(B).解：P(AUB)=P(A) P(B) -P(AB) = P(AUB)-P(AB) P(A) P(B) =1 由 P(A) =0nA=, A a、B 错.选C.只有当 A BHf P(A-B) =P(A) -P(B),否那么不对9 .设A, B为两个事件,且 Be A ,那么以下各式中正确的选项是().(A) P(AUB) = P(A);(B) P(AB) = P(A);(C) P(B|A)=P(B);(D) P(B-A)= P(B)-P(A).解：Bu An AUB =A= P(AUB) =P(A) ,二选 A.10 .设A,B是两个事件,且 P(A)EP(A|B);(A) P(A)=

7、P(A|B)；(B) P(B)a0,那么有()(C) P(A) >P(A|B) ;(D)前三者都不一定成立.解：P(A|B)= P(AB)要与P(A)比较,需加条件. ,选D.P(B)11 .设0<P(B) <1, P(A)P(A2)>0且P(AUA|B) = P(A |B) + P(A2|B), 那么以下等式成立的是().(A) P(A UA2|B)=P(A |B)+P(A2|B)；(B) P(A bU A2B) =P(A B)+P(A2B);(C) P(A UA2) = P(A |B)+P(4|B)；(D) P(B) =P(A )P(B|A1) P(A2)P(B|A

8、2).解 1： P(aUA2|B)=P(A |B)+P(A2|B)P(AA|B)=P(A |B) + P(A2|B)二 P(AA2|B)二0= P(AA2B)=0p(A bUa>b)=p(ab) p(a2b) -p(a a2b)=p(ab) p(a2b) 二选B.解 2：由 P A U A2 | B = P(A1 | B) + P(A2 | B)得P(A bU A2B) P(A B) P(A2B)P(B) 一 P(B)可见 P(A BJ A B= P 1A )B (P2 A)B二选B.12 .假设事件 A, B满足P( B | A) =1 ,那么().(A) B是必然事件；(B) P(B

9、)=1;(C) P(A-B) =0 ;(D) Au B .解：P(B| A)二.黑 二1 二 P(AB) =P(A)= P(A) - P(AB) =0二 P(A-B) =0选 C.13.设A, B是两个事件,且 AU B, P(B) >0 ,那么以下选项必然成立的是 ().(A) P(A)<P(A|B);(B) P(A)WP(A|B);(C) P(A)aP(A|B)；(D) P(A) >P(A|B).解：P(A|B)=*la.P(A) P(B) P(B)A = Bn P(A) EP(B) 0<P(B)<1: 选 B(或者：Ac B, P(A) =P(AB) =P(

10、B)P(A| B) E P(A|B)14 .设P(B) >0, A , A2互不相容,那么以下各式中不一定正确的选项是()(A) P(AAz|B)=0;(B) P(A UA2 |B)=P(Ai |B)+P(A2 |B);(C) P(AiAz|B)=1;(D) P(A U A2 |B)=1.P(A1A2 |B)=P(AAzB)P(B)A又大B.C错.D XL解：P(A1 A2) -0 - ：A1A2 =中P(A1 U A2 | B) =P(A | B) - P(A2 |B) -P(AA2 |B)= P(A |B) P(A2 |B)P(A A | B) = P(A UA | B) =1 -P

11、(A UA2|B)=1 -P(A1 |B) -P(A2 | B) =1P(A IJ A2 |B) =P(A A | B) =1-P(AA2 |B) =1-0=1选 C.15 .设A, B,C是三个相互独立的事件,且 0 < P(C) <1 ,那么在以下给定的 四对事件中不相互独立的是().(A) AU B与 C ;(B) AC 与C ;(C) A B与 C ;(D) AB 与 C.解：P(AUB)C =P(ABC) =P(A)P(B)P(C) =(1P(A)(1 -P(B) P(C) =1 -(P(A) +P(B) -P(A)P(B)P(C) =P(AUb)P(C)A .p(Acc

12、) =p(AUC)C =p(AcUcc) =p(AC) p(C)-p(Ac) = P(c)=P(AC)P(C), AC 与 C 不独立 二 选 B.16 .设A,B,C三个事件两两独立,那么A, B,C相互独立的充分必要条件是(A) A与BC独立；(B) AB与AUC独立；(C) AB与AC独立；(D) AUB与AUC独立.解：； A,B,C两两独立,二 假设A, B,C相互独立那么必有P(ABC= P A P B P=C P A P BC A 与 BC 独立.反之,如 A与 BC 独立那么 P(ABC) = P(A)P(BC) = P(A)P(B)P(C) , 选A.17 .设A, B,C为

13、三个事件且 A,B相互独立,那么以下结论中不正确的选项是() (A)假设P(C)=1,那么AC与BC也独立；(B)假设P(C) =1 ,那么AljC与B也独立；(C)假设P(C) =1 ,那么A-C与A也独立；(D)假设CuB,那么A与C也独立.解：P(AB) = P(A)P(B), P(C)=1概率为1的事件与任何事件独立, AC与BC也独立.A.P(A UC) riB=P( aUC)B二 P(ABlJ BC)= P(AE)+ R BC P ABC 曲 A )C (P B B X.P(A -C)A = P(ACA) = P(AC) = P(A)P(C) = P(A)P(AC)C对选D (也可

14、举反例).18 . 一种零件的加工由两道工序组成.第一道工序的废品率为R ,第二道工序的废品率为 p2 ,那么该零件加工的成品率为().(A)1 - R- P2；(B)1 - R P2 ；(C)1 -P1-P2+ P1P2 ；(D)(1-p1)+(1-p2).解：设人=成品零件,A =第1道工序为成品i=1,2.P(A ) =1-5P(AJ =1-P2P(A)= P(1A 2AAR1A) P(2 AO1-P1 )(1-P2)=1 - P1 - P2 P1 P2 选 C.19 .设每次试验成功的概率为 P(0 < P <1),现进行独立重复试验,那么直到 第10次试验才取得第4次成功

15、的概率为().(A) C*P4(1-P)6；(B) C93P4(1-P)6;_445_ 3 36(C) C9 P (1-p) ;(D) C9P (1-p).解：说明前9次取彳导了 3次成功 第10次才取得第4次成功的概率为心 3363 46C9 P (1-p) P =C9 P (1 - P)选 B.20 .设随机变量 X的概率分布为 P(X=k) = bM, k = 1,2川,b>0,那么(A)(C)h为任意正实数;1(B) 70=b+1；1(D) =b-1解:oOzk 4P(X =K)O0=、bJk 4oO= b、kk1 b设连续型随机变量选C.X的概率密度和分布函数分别为f (x)和

16、 F (x),贝U卜列各式正确的选项是(A)(C) 解：0 < f (x) <1 ；P(X =x) = F(x)；(B)(D)F(x) =P(X _x) _P(X =x)P(X =x) = f (x)；P(X =x) _ F(x).选 D.22.(A)卜列函数可作为概率密度的是fx=e*xWR；(B)(C)2 x2x -0,x : 0;(D)解:1, | x |< 1, f(x) = | | 0, |x| 1.4x |-xA：e41dx =21e dx=21,-二- 0- 09-Xe dx = 2错.23.(A)(C)B: * dx 1 2- = arctan x (1+x

17、) n且 f(x) =JT JT选 B.卜列函数中,可作为某个随机变量的分布函数的是F(x)=(B) F(x)+Lrctanx；2 二F(x)= 2(1-e ),0x - 0;x(D) F(x) = I_fdt,其中 Jf(t)dt=1.解：对A： 0 <F(x) E1 ,但F(x)不具有单调非减性且 F(F=0 .-.A不是.0 M F(x) < 1.对 b ： - <arctanx < 22F(x)是单调非减的由arctanx是单调非减的F (x)具有右连续性F(二)11 二,=1 .2 二 2选B.24 .设X1,X2是随机变量,其分布函数分别为F1 (x), F

18、2(x),为使F(x) =aF1 (x)-bF2 (x)是某一随机变量的分布函数,在以下给定的各组数值中应取().,“、3 2(A) a = , b =；55.3(C) a =,b =一；222(B) a =31(D) a=2b =-3b=32解：F(g) =aF1 (3)bF2 (-°°) = 0 , F(") = a b =1 ,只有 A 满足选 A25 .设随机变量X的概率密度为f (x),且f (-x) = f (x), F (x)是X的分布函数,那么对任意实数 2有()a(A) F(-a) =1-f 0 f (x)dx;_ , 、1 a .、.(B) F

19、(a) =2 - f 0 f(x)dx ;(C) F(-a)=F(a)；(D) F(-a) =2F(a)-1.-aa二二解：F(-a) = f(x)dx - - f(-)du= f(u)du-二.二., aa0a= f(x)dx- f(x)dx = 1-( f(x)dx f(x)dx)-01 a1 a01.-f (x)dx =-2-1, 0 f (x)dx -2 - 0 f(x)dx.f(x)dx=2 f(x)dx=1 = f(x)dx = - -00选 B.26.设随机变量XN(1,22),其分布函数和概率密度分别为F(x)和fx,那么对任意实数x ,以下结论中成立的是(A) F(x)=1-

20、F(-x)；(B) f(x) = f(x);(C)(D)解：F(1-x) =1 -F(1+x)；L 1-x1 xF =1 F.,2. 2X XN(1,22),f (x)以x=1为对称轴对称P(X 1 x) =P(X <1 -x)即 F(1 -x) 1 - P(X <1 x) 1 -F(1 x)选 C.27 . 设 XN(N,42), YN(N,52), 设 P(海 N -4 )千 p, P(Y 之 R+5)=P2,那么().(A)对任意实数卜有P1= P2；(B)P1<P2；(C) P1 A P2 ;( D)只对N的个别值才有 P1 = P2.,.一4一解：P1 = P(X

21、& 二-4) =；：, =；.：,(一1) 二1 一：,(1)4-5 - J .P2 = P( Y；: + 5)= 1 P(Y：+ 5)-：1 = 一 ：1(1)P1 = P2选A or利用对称性28 .设X N尸92 ,那么随着.的增大,概率P|X 凹.的值.A单调增大；B单调减少；C保持不变；D增减不定.解：P| X -/卜二：-PJ ：二 X :二.：=中1 一中一1 =2中1 -1不随仃变选C.29.设随机变量X的分布函数为FX x,那么Y = 5X -3的分布函数Fy(A) FX(5y-3);(B) 5FxH)-3；(C) Fx/j(D) 1Fx(y) 3.,55._1解：F

22、y ( y)= P(YS y) = P(5X一3三 y) = P(X-(y3)5'y+3)/FX.选 C.< 5 J130 .设X的概率密度为f(x)=r,那么Y = 2X的概率密度为().二(1 x )(A)1.-Z 2T,二(1 4 y )(C)解：2/2、,二(4 y)22-二(1 y )FY(y)=Py)=P(2XMy)=P(xq=Fx一.、1y112fY ( y) 一不 fX !-2_ _ _22<2,'2 "十匕、兀(4十丫)(1 ,)4选C.31 .设随机变量 X与Y相互独立,其概率分布分别为X-11P1122那么以下式子正确的选项是()(A

23、) X =丫 ；1(C) P(X=Y)=；Y -11P 1122(B) P(X =Y) =0 ;(D) P(X =Y) =1 .解：A 显然不对.P(X = Y) = P(X = 1, Y = -1) + P(X = 1,Y = 1)11111二P(X - -1)P(Y - -1) P(X =1)P(Y =1)=2 2 2 2 2选C.32.设XN(0,1), YN(1,1),且X与Y相互独立,那么()11(A) P(X+YE0)= ;(B) P(X+YE1) = 一;2211(C) P(X-YM0)=1；(D) P(X-YM1) = j.解：X N(0, 1) Y N(1,1)且独立 X+Y

24、 N(1,2) ,1P(X +Y <1) = P(X +Y >1) =6(0) =- 选 B.33.设随机变量-10 1、Xi 111i =1,2<424)且满足 P(X1X2=0)=1,那么 P(X1 X 2) ()(D) 1.P(X1 =X2)=P(X1选 A.34.设随机变量a的值为(A)(C)23-5；2/ c、3-5(B)(D)1/5.解:001 二 EX -n 1naQOx - n 1=ax nan 1=a" (Xn) X田=aX n -1) X与 x ax an=0X =a1二 a 2(1 一 a)a =(1 -a)2,23-5,a 3a +1 = 0

25、, a =,但 a < 1.3-5a 二2选B.35 .设连续型随机变量 X的分布函数为F(x)=14xx -1,那么X的数学期望为-X2 - -1) P(X1 -X2 u0) P(X1 =X2 -1)=0 00=0X取非负整数值,PX =n=ann1,且EX =1,那么(A) 2;(B) 0;(C) 4/3;554x x 之 1解：f(x) = J0 x <1(D) 8/3.4EX = x dx = 4 1 x二dx , , 1、 j 4 (-3)x选 C.36 . X B(n, p), EX =2.4, DX = 1.44,那么二项分布的参数为().(A) n=4, p=0.6

26、；(B) n=6, p=0.4；(C) n=8, p=0.3；(D) n = 24, p = 0.1.EX = np = 2.4q =1.44 “ 2.4 =0.6= p =0.4 n =6DX -npq -1.44选 B.37 .离散型随机变量X的可能值为为=1, x2 =0, x3 =1 ,且EX =0.1, DX =0.89,那么对应于为,x2,x3 的概率 Pi , p2, P3为().(A)Pi =0.4,P2=0.1,P3=0.5； (B)Pi =0.1,P2 =0.1,P3=0.5；(C)Pi =0.5,p2=0.1,p3=0.4； (D)Pi =0.4,6=0.5,p3 = 0

27、.5.解：EX =0.1 = -Pi + p3:DX -EX2 -(EX )2= EX2 =0.89 (0.1)2 =0.9 = p1P3Pi =0.4=P2 = 0.1选 A.P3 =0.538 .设 X N(2,1), Y N(1, 1),且 X,Y 独立,记 Z = 3X -2Y-6,那么Z.(A) N(2, 1)；(B) N(1, 1)；(C) N(2, 13)；(D) N(1, 5).解：X N(2,1) Y- N(-1, 1)且独立Z N(2, 13)EZ =E(3X -2Y -6) -2 . DZ =9DX 4DY =9 4=13.又独立正态变量的线性组合仍为正态变量,选 C.3

28、9.设 X N(2,9), YN(2,1), E(XY)=6,那么 D(XY)之值为(A) 14;(B) 6;(C) 12;(D) 4.解：D(X Y) =DX +DY -2cov(X,Y), cov(X,Y) =EXY -EXEY =6-4=2 D(X -Y) =9 1-2 2 =6.选 B.40.设随机变量 X的方差存在,那么().2222(A) (EX)2=EX2；(B) (EX)2 2 EX2；2222(C) (EX)2 >EX2；(D) (EX)2 <EX2.22_22解：DX =EX2 (EX)2 “ 二 EX2 >(EX)2.选 D.41 .设Xi ,X2,X3

29、相互独立,且均服从参数为九的泊松分布,令 12 ,Y = (X1 +X2 +X3),那么Y的数学期望为().3,一、12121 2(A),入；(B)儿；(C) &九+九； (D) &九十九.解：: X1X2X3独立P(九)二(X1 +X2 +X3)P(3九)E(X1 X2 X3) =D(X1 X2 X3) =31 1D-(X1 X2 X3) =-D(X1 X2 X3) =3二 EY2 _(EY)2 : EY2 - 2EY2=X+±.选 c.342 .设X,Y的方差存在,且 EXY = EXEY,那么().(A) D(XY)=DXDY;(B) D(X +Y) = DX

30、+ DY ;(C) X与Y独立；(D) X与Y不独立.解：D(X Y)=DX DY 2cov(X,Y)=DX +DY +2(EXY -EXEY) = DX + DY . .选 B.43 .假设随机变量X,Y满足D(X +Y)=D(X -Y),且DXDY >0,那么必有().(A) X,Y独立；(B) X,Y不相关；(C) DY=0；(D) D(XY) = 0.解：D(X +Y)=D(X Y)= cov(X,Y)=0= P=0=X,Y 不相关.选 B.44 .设X,Y的方差存在,且不等于0,那么D(X +Y) = DX +DY是X,Y(A)不相关的充分条件,但不是必要条件；(B)独立的必要

31、条件,但不是充分条件；(C)不相关的必要条件,但不是充分条件；(D)独立的充分必要条件.解：由 D(X+Y) = DX+DYu cov(X,Y) =0u P = 0u X 与Y不相关 D(X+Y)=DX+DY是不相关的充要条件.A、C不对.由独立=D(X +Y) = DX + DY ,反之不成立选 B.45 .设X,Y的相关系数Pxy =1 ,那么()(A) X与Y相互独立； (B) X与Y必不相关;(C)存在常数 a,b使 P(Y =aX +b)=1 ；2(D)存在常数 a,b使 P(Y=aX +b)=1.解：1PxY |=1u 存在 a,b使 P(Y =aX +b) =1选 C.46 .如

32、果存在常数 a,b(a=0),使 P(Y=aX +b)=1 ,且 0 < DX <+如, 那么X,Y的相关系数为().(A) 1 ;(B) T ;(C) | P|=1 ;(D) | P |<1.以概率1解：cov( X,Y) = cov( X , aX b) = acov(X, X) = aDX以概率12DY = a DXco vX,Y) raDX|a|DX DY |a| DX二| P| = 1,以概率1成立.选C.47.设二维离散型随机变量 (X,Y)的分布律为那么().(A) X,Y不独立;(C) X,Y不相关;(B) X,Y 独立；(D) X,Y独立且相关解：P(X =

33、0, Y =0) =0.1P(X =0)P(Y =0) K0.1 0.05 0.25)(0.1 0.2)= 0.4 0.3 = 0.12P(X =0, Y =0)= P(X =0)P(Y =0). X与Y不独立.选A.48 .设X为连续型随机变量,方差存在,那么对任意常数C和8> 0 ,必有().(A) P(|X-C |之 8) =E | X -C |/w；(B) P(| X-C 户动之E | X C |/名；(C) P(| X-C 户 名) ME | X C |/名；(D) P(| X-C |_ "DX / 心.解：P(|XC|_；)= f (x)dx < |X 

34、9;C |f (x)dx |X _C|X _C|_二| X C |1< .J1f (x)dx =-E|X -C |-0° zz'''选 C.49 .设随机变量X的方差为25,那么根据切比雪夫不等式,有P(| X - EX |<10) ().(A) <0.25；(B) <0.75；(C) >0.75；(D) >0.25.DX 253解：P(|X - EX 卜二 10) _1 - =1 一=0.75100 4选 C.50.设X1 ,X2,为独立随机变量序列,且 Xi服从参数为人的泊松分布, i =1,2,那么().£

35、Xi -n九(A) lim P-iMx> = G(x); nIJn(B)当n充分大时,X Xi近似服从标准正态分布； i 1 n(C)当n充分大时,X Xi近似服从N(n" n,u)； i 1D当n充分大时,P£ Xi解：由独立同分布中央极限定理=£ Xi近似服从Nn?一51 .设Xi ,X2, 为独立随机变量序列,且均服从参数为的指数分布,% Xi -(A)lim Pq2n/ 2= G(x);(B)lim Pn .二、n<x >=G(x);Xi -(C)lim Pn_):：Ex=G(x);(D)lim Pni； Ix x = ：'(x)

36、.解:EXi由中央极限定理nim：P1= lim Pn 二dGXi-x = (x).选B.52.设Xi,X2,X3,X4是总体NN,仃2的样本,N,2 .仃未知,那么不是统计量的是(A) X1 +5X4 ;(C) X1 o；(B) Z Xi -k ； i 44(D) '、Xi2.i 1统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数选 C.Xi ,X2,Xn为来自X的样本,那么P53 .设总体 X B(1, p),(A) p ；(B) 1 - p ；k kn _kkk n _k(C) Cn p (1- p) ；(D) Cn(1- p) pn解：X1X2Xn相互独立且均服从 B(1,p) 故£ XiB(n,p) i=1即 nX - B(n, p) 那么 P(X =与=P(nX =k) =C；pk(1p)nn选 C.54.设X1 ,X2,Xn是总体N(0, 1)的样本,X和S分别为样本的均值和样本标准差,那么(A) X/St(n -1) ；(B) X N(0, 1)；(C) (n1)S2 ,那么服从自由度为n -1的t分布的随机变量是 ?2(n 1) ；(D) J%Xt(n1).解:-11-1EX=0, DX= = n= .XN(0, 一)