完整版一元二次方程的解法大全

1、一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c= 0(a丰0),化成/ =-乳当次c异号时,两边同时开平方得笈=±e这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.例：用直接开平方法解方程：1. 9x2-25=0;2. (3x+2) 2-4=0;3. 73) 2 =4. (2x+3) 2= 3(4x+3).解：1 . 9x2-25=09x2= 25K =± 3._5_ 52. (3x+2) 2-4=0(3x+2) 2 = 43x+2 = ± 23x=-2±2-2 + 23. (x+ V3)2 =x2 + 273+ 3= 475sJ 一 2&

2、quot;3= 0(x- 73)2 = 0k- 73= 0- Xi = X2= 3.4. (2x+3) 2= 3(4x+3)4x2+12x+9= 12x+95. 2= 0 . xi = x = 0.【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式,如ax2+bx+c = 0(a W0);把常数项移到方程的右边,如ax2+bx=-c;方程的两边都除-x=-;方程的两边都加上一次项系数一半的平方,+-x以二次项系数,使二次项系数为1,如x2+a*血+ (上)J=-+ (上)-把方程的左边变形为一次二项式的完2aa 2ah卜,一金平方,右边合并或一个常数,如G + 二丁方程的两边同 上我 4ah口

3、一 4勺二时开平方,得到两个一元一次方程,如耳十七一",分别解这2a22两个一元一次方程,求出两个根,即x=二"工匕I"工.2a例：用配方法解以下方程：1. x2-4x-3=0; 2. 6x2+x=35;3. 4x2+4x+1 = 7; 4 . 2x2-3x-3=0.解：1 . x2-4x-3=0x2-4x= 3x2-4x+4 = 3+4(x-2)2=7:J- 2= 士#x=2± W,修=2+ ",町=2-2. 6x2+x=35,1.2 S41K+7 ='127144129x +1 = + 112 121 29x = - - + 12-

4、12.75- X1 3* x23. 4x2+4x+1 = 7,_ 1 77_ 11 221224. 2x2-3x-3=0? 33K X= 220 3"39X - - X + -H 2, 4,2 16,3、_333733x - - = ±443病x 二一 十4- 4【公式法解一元二次方程】一元二次方程 ax,bx+c= 0(a卢Q),用配方法所求出的两个根的=【 和二=2ab4肌).),有2a广泛的代换意义,只要是有实数根的一元二次方程,均可将a, b, c的值代入两根公式中直接解出,所以把这种方法称为公式法,而心二i士?- (b3-4ac>0)叫做+bx+c 山2a=

5、 0(a w0)的求根公式.例：用公式法解一元二次方程：1. + 2= 2柩玄2. 2x2+7x-4 = 0;4. x2-a(3x -2a+b)-b2 = 0(a -2b> 0,求 x).解: L / + 2 =/ - 2-/2k+ 2 = 0: 员=1, b 2'回,c= 2.b2-4ac= (- 2>/2)2-4X 1X2 = 0y?ay 土0x - ； 2x1, * X j - X2. 2x2+7x-4 = 0a= 2, b= 7, c= -4.b2-4ac=72-4X2X (-4) =49+32=817 土国-7 + 92x24, ,= 2 9 笈口 = "

6、;-4.3. F + 2 (也 + i) x+ 2志=0'a=L b=2 (6+1) , c=2Vlba-4ac= (2 (75+1) ),-4X1X2J5.=4(4+2.-873= 16 + 8-873 = 16-2(73 + 1)±V16x= 2_-2V3-2+4二 ,2=-3、后+1,-2-J3 - 2 + 4疑二 2-2 忑> -2-44. x2-a(3x-2a+b)-b2 = 0(a-2bA0) x2-3ax+2a2-ab-b2= 0- a = 1, b=-3a, c= 2a2-ab-b2 b2-4ac=( -3a) 2-4X 1 x (2a 2+ab-b2)

7、 =9a2-8a2-4ab+4b2=a2-4ab+4b2=(a -2b)2当(a-2b>0)时,得1(Ta) 士 J(a - b尸 _ 3a ± (a - 2b)2 xi23a + (a - 2b)3a -(a -2b)町=i=【不完全的一元二次方程的解法】这类项方程从形式与解法上比一一是因式分解,二是直接开平方法:在不完全的一元二次方程中,一次项与常数至少缺一项.即b与c至少一个等于零,般一元二次方程要简单,因此要研究这类方程最简捷的解法,从规律上看有两种方法：例：解以下一元二次方法：7141. /3x 6x = 0 ?2.工意'+ x = 0 ；3. (m2+1)x2=0; 4 . 16x2-25= 0.解1 1.- 6x=