2020-2021学年高中人教A版数学必修5测评：第一章　解三角形 单元质量评估 Word版含解析

1、第一章单元质量评估一、选择题(每小题5分，共60分)1在abc中，已知a4，b6，b60，则sin a的值为(a)a. b. c. d.解析：因，所以，解得sin a.2在abc中，若b120，则a2acc2b2的值(c)a大于0 b小于0 c等于0 d不确定解析：根据余弦定理得cos 120，即a2c2b2ac.故a2acc2b20.3若abc的内角a，b，c所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且c60，则ab的值为(a)a. b84 c1 d.解析：由(ab)2c24得(a2b2c2)2ab4.a2b2c22abcos c，方程可化为2ab(1cos c)4.因此，ab.又c60，ab

2、.4若abc的三边分别为a，b，c，且满足b2ac,2bac，则此三角形是(d)a等腰三角形 b直角三角形 c等腰直角三角形 d等边三角形解析：2bac，4b2(ac)2.又b2ac，(ac)20.ac.2bac2a.ba，即abc.故此三角形为等边三角形5在abc中，已知a17，b24，a45，则此三角形解的情况为(b)a无解 b两解c一解 d解的个数不确定解析：如图所示，bsin a1217，bsin aac，新的三角形的三边长分别为ax，bx，cx，显然cx为最大边，其对应的角最大，而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值大于0，则这个

3、角为锐角，那么新的三角形为锐角三角形7在abc中，若sinasinb，则a与b的大小关系为(c)aab da，b的大小关系不能确定解析：由正弦定理及sinasinbabab.故选c.8已知两座灯塔a，b与c地的距离都是10 km，灯塔a在c的北偏西20方向，灯塔b在c的南偏西25方向，则灯塔a与灯塔b之间的距离为(d)a10 km b10 km c15 km d10 km解析：因为灯塔a在c的北偏西20方向，灯塔b在c的南偏西25方向，所以acb135，由余弦定理得ab210210221010cos135100(2)，解得ab10.9一船自西向东匀速航行，上午7时到达灯塔a的南偏西75方向且距

4、灯塔80 n mile的m处，若这只船的航行速度为10 n mile/h，则到达这座灯塔东南方向的n处时是上午(d)a8时 b9时 c10时 d11时解析：如图，画出灯塔a与船航行的位置，则man7545120，ma80，amn907515，anm45.由正弦定理，得，则mn40，船从m处到n处需要的时间是4(h)，即到达这座灯塔东南方向的n处时是上午11时，故选d.10在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，其面积sa2(bc)2，则tan(c)a. b. c. d.解析：b2c2a22bccosa，sbcsina，且sa2(bc)2(b2c2a2)2bc，bcsina2bc(1

5、cosa)，即有，则tan.11在abc中，a，b，c分别是内角a，b，c的对边，a2，b2，且12cos(bc)0，则bc边上的高等于(c)a2(1) b2(1) c.1 d.1解析：因为12cos(bc)0，所以cosa，即a60，所以由余弦定理可求得c.设bc边上的高为h，则abc的面积sbcsinaah，所以h1.12在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且asinacosccsinacosac，d为ac边上一点若c2b4，sbcd，则dc的长为(b)a. b. c. d.解析：asinacosccsinacosac，sinasinacoscsincsinacosasin

6、c，即sinasinbsinc.c2b，sinc2sinb，sina，sabcbcsina.ac2，sbcd，cd.二、填空题(每小题5分，共20分)13在abc中，已知b50，c150，b30，则边长a100或50.解析：由余弦定理得a2c22accos30b2，a2150a15 0000，解得a100或50.14已知在abc中，则c的度数为120.解析：由及，得abc7813.设a7k，b8k，c13k(k0)，则有cos c.又0c180，c120.15如下图所示，在abc中，b45，d是bc边上一点，ad5，ac7，dc3，则ab的长为.解析：在adc中，由余弦定理得cosadc，ad

7、c120，adb60.在abd中，ad5，b45，adb60，由正弦定理得，ab.16在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且bc边上的高为a，则当取得最大值时，角a的值为.解析：由三角形的面积saabcsina，得a22bcsina，所以由余弦定理得a2b2c22bccosa2bcsina，所以b2c22bcsina2bccosa2bc(sinacosa)，于是2(sinacosa)4sin，当且仅当a时，取得最大值4.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(本小题10分)解答下列各题：(1)在abc中，已知c45，a60，b2，求此三角形最小边的长

8、及a与b的值；(2)在abc中，已知a30，b120，b5，求c及a与c的值解：(1)a60，c45，b180(ac)75.cab.cac)(1)求cos a的值；(2)判断abc的形状解：(1)由正弦定理得(bca)(bca)bc，即b2c2a2bc，由余弦定理得cos a.(2)由(1)知cos a，则方程x29x25cos a0可化为x29x200，解得x5或x4.bc，b5，c4，由余弦定理得a2b2c22bccos a9，a3.b2a2c2，abc为直角三角形22(本小题12分)某小区设计的四边形花圃如右图所示，由于a，c之间有水池，花圃边缘点p设计在abc内，已知abcp2 m，bc3 m，p与b互补，记b.(1)试写出ap关于的解析式；(2)求花圃面积的最大值，并写出此时的值解：(1)abc与apc中，abcp2，bc3，b，p，由余弦定理得，ac22232223cos，ac2ap2222ap2