圆锥曲线题型总结

1、直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识：1、中点坐标公式：x = x=(1 k2)(x x2)2 -4x1x2,、一 _ _ I1o 1' 11 o111o或者AB|= J(%x2)+(y1_y2)=收为_泮)+(y1y?)= J(1+记)(y1 y?)=j(1 +音)(% + y2' 4y1 y23、两条直线 11 : y =k,x + b|,l2: y = k2x +b2垂直：那么 k1k2 = -1两条直线垂直,那么直线所在的向量v1v2 =0 +xbc4、韦达定理：假设一元二次万程 ax +bx + c = 0(a 00)有两个不同的根x1,x2,那么x1+x2 =一,x1

2、x2 = 一 a a常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系22 x V例题1、直线l : y =kx +1与椭圆C :+ =1始终有交点,求 m的取值范围解：根据直线l : y =kx+1的方程可知,直线恒过定点(0, 1),椭圆C : + =1过动点(0,土布),且m# 4,如果直线 l : y = kx +1和椭圆C : + =1始终有交点,那么 Vm之1,且m#4,即1E m且m丰4 m规律提示：通过直线的代数形式,可以看出直线的特点：l: y = kx +1 =过定点(0,1)l: y =k(x+1)=过定点(一1, 0)l:y 2=k(x+1)=过定点(1, 2

3、)题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N : y2 =x交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E( x0 ,0),使得 MBE是等边三角形,假设存在,求出小 ；假设不存在,请说明理由.解：依题意知,直线的斜率存在,且不等于0.设直线 l:y=k(x+1), k#0, A(x1,y1), B(x2,y2). ,y = y1 +y2 ,其中x, y是点A(x,y1), B(x2,y2)的中点坐标. 222、弦长公式：假设点 A(x1, y1), B(x2, y2)在直线 y = kx+b(k = 0)上,那么y1 =kx1 +b, y2 =kx2 +b,这是同点纵横坐标

4、变换,是两大坐标变换技巧之一,AB =优为-x2)2 +(y 一y2)? = (为-x2)2 +(kx1 一 kx2)2 = (1+卜2)(为-x2)2y =k(x 1)由,2消y整理,y =xk2x2 +(2k2 -1)x+k2 =0由直线和抛物线交于两点,得-： =(2k2 -1)2 -4k4 = -4k2 10rr21即0 <k2 <4_ 2,一2k2 -1.由韦达je理,得： 为+x2 =2, x1x2 =1 .k 2k2 -1 1那么线段AB的中点为(_/1 )o2k 2k线段的垂直平分线方程为:11,1-2k 、y - - 二 -(x -)2kk2k2人一1111 .令

5、 y-0,付 x0 =2 ,贝1J E(2 _,0)2k 2 2k 2*；AABE为正三角形,11八、 “一 ,3,二E一7 一一,0到直线AB的距离d为一 2k2 22A AB|J(Xi -xz)2 - (y1 yy2)2_、1 k2二 2k2k2,1 k22k39斛得k = 土满足式135o3题型三:动弦过定点的问题例题3、椭圆C:工.匕a2 b2= 1ab>0的离心率为 立,且在x轴上的顶点分别为A1-2,0,A22,0.2I求椭圆的方程;II假设直线l : x=tt >2与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于 M、N点,试问直线MN

6、 是否通过椭圆的焦点并证实你的结论解：I由椭圆C的离心率e =£ =乂3 , a = 2,那么得c = J3,b = 1.a 22从而椭圆的方程为 y2 =14y = k1x 2口II设M xi,yi, NX2,y2,直线AM的斜率为ki,那么直线AM的方程为y = kx+2,由厂22 消y整理得x 4y = 4222(1 4kl2)x2 16k2x 16kl2 -4 -02和x1是方程的两个根,216k1 -4 1 4k；口" 2 -8124K贝 u x1 =2 y121 4k11 4k1即点M的坐标为立8k处, 1 4kl2'1 4kl22同理,设直线 A2n的

7、斜率为k2,那么得点N的坐标为(8" -2 "2 )1 4k； ,1 4k；,'；yp =k<2)4 =k2(t-2)k1 -k2 _ 2 ,k1k2t7直线MN的方程为：y -y1 ="-',x 一 为x2 一 Xi,令y=0,得x =x2yi -x1y2 ,将点M、N的坐标代入,化简后得： x=, yi - y2tP C4又,t2,-0一2 t.椭圆的焦点为J3,04-4.3一 =,3 ,即 t =t3MN过椭圆的焦点4.3=时,3题型四：过曲线上定点的弦的问题22例题4、点A、B、C是椭圆E:=十%=1 (a Ab >0)上的三点

8、,其中点 A(2j3,0)是椭圆的右顶点,直线 BC过椭圆的中 a b心 O,且 AClBC=0, Bc| =21AC'求点C的坐标及椭圆E的方程;(II)假设椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线X = J3对称,求直线PQ的斜率.解：(i); bc|2 Ac ,且BC过椭圆的中央O,OC = ACAC_BC. ACO 二- 2又：A (2 3,0),点C的坐标为 (后的.A (25/3,0)是椭圆的右顶点, ,a =28,那么椭圆方程为:22y12 b2将点C (J3,问代入方程,得b2 =4 ,22.二椭圆E的方程为 +L =1 124(II) 丫直线PC与直线Q

9、C关于直线X=J3对称,设直线pc的斜率为k ,那么直线qc的斜率为一k ,从而直线pc的方程为:y -73 = k(x-6),即y =kx +J3(1 -k),由1y =kx +石(1 -刈消丫,整理得：x2 3y2 -12 =0(1 +3k2)x2 +6辰(1 k)x +9k2 -18k-3 = 0 7 x = 73是方程的一个根,一 2 一 一9k -18k -31 3k22日0 9k2 -18k -3* 13(1 3k2T同理可得：xQ 二9k2 18k-33(1 3k2)7Yp - Yq =kxp +依1 k) +k% -J3(1 +k) = k(xp +%) 2阴k-12k.3(1

10、 3k2)2_29k2 -18k -3 9k2 +18k-3* " 一 .3(1 3k2), 3(1 3k2)-36 k.3(1 3k2)Yp -YqXp -xq一八一1那么直线PQ的斜率为定值一3题型五：共线向量问题22x yuuu uuu例题5、设过点D0,3的直线父曲线 M: +匚=1于P、Q两点,且DP = l DQ,求实数l的取值范围. 94解：设 Px1,Y1,Qx2,Y2, uuu uuuQ DP = l DQ(x1 ,Y1-3)= l (x2,Y2-3)如=l x2即一,3)初1 = 3 + l依-方法一：方程组消元法22又QP、Q是椭圆 + y-=1上的点9422抖

11、+ J1?9422如 x2) + (l Y2 + 3- 3l ).+= 1? 94可得(l Y2 + 3- 3l )2- l 2y2d=1 -即 y2=£L6l又 Q - 2 £ y2 £ 2,r 13l - 5 . 02 ££ 2,r1解N得：_ _,_55那么实数l的取值范围是1,5 L5方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线pq的方程为：y =kx +3,k #0 ,y = kx 32 24x2 9y2消y整理后,=36(4 9k2)x2 54kx 45 = 0,J P、Q是曲线M上的两点 22、2_ _二 =(54k) 4父45(4

12、+9k ) = 144k -80>01_ . 2即 9k2 .5由韦达定理得:x1x2 =54 k4 9k452,xi x2 = "-24 9k>>(xix2)2'xx2=x x2 2x2xi542k2(1)245(4 9k2) 一目口 36-即25(1 ' )29k2 4 /42 = 1 '29k29k2,一11由得0 <一2 <-,代入,整理得9k 51 :二36'5(1 J2a,51解之得一：二 ： 55 . 一, _ .1当直线PQ的斜率不存在,即x = 0时,易知 九=5或九=.5总之实数l的取值范围是.1,5

13、L_5题型六：面积问题2 X 例题6、椭圆C:2 a26+ 4=1 (a>b>0)的离心率为 出,短轴一个端点到右焦点的距离为屈.b3(I )求椭圆C的方程; 3(n )设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点 O到直线l的距离为二,求 AOB面积的最大值.c _76解：(I)设椭圆的半焦距为c,依题意aa 3a = 3,2X 2b =1,二所求椭圆方程为 +y =13(口)设 A(Xi,W),B(X2, 丫2).(1)当 AB± x轴时,AB| = J3.(2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y =kx + m.由如_,得m21k222= -(k +1).把y

14、=kx +m代入椭圆方程,整理得(3k2 +1)x2 +6kmx+3m2 3 = 0,-6km3(m2 -1)xx22,洛=23k2 12 3k2 12223"E"导12(m2 -1)3k2 112(k2 1)(3k2 1 -m2) _ 3(k2 1)(9k2 1)(3k2 1)2-(3k2 1)2二312k2=39k4 6k2 112-12(k #0) < 3 +=4.212 3 3 69k2 T 62 3 6k2当且仅当9k2 =4,即k =k3时等号成立.当k=0时,AB=J3,综上所述ABmax=2.,当AB最大时, AOB面积取最大值S1=X AB2max题

15、型七：弦或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系xOy中,过定点C (0, p)作直线与抛物线 x2=2py ( p>0)相交于A、B两点.(I )假设点N是点C关于坐标原点O的对称点,求 ANB面积的最小值;(口)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值假设存在,求出l的方程；假设不存在,说明理由.(I)依题意,点N的坐标为N (0,-p),可设 A (x1,y.,B (x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+p,与 x2=2py 联立得 <2 2 八x 冷消去 、y = kx + p.y 得 x2-2pkx-2 P 2=0.由韦达定理得 x1

16、+x2=2pk,x 1x2=-2p2.1于712 S&BN S作CN +SCN 2 2 p x1 x2pxi -x2二 p (x1 x2)2 -4x1x2p , 4p2k2 8p2 = 2p2 . k2 2.二当 k = 0时,(Sbn) min = 2近 p2.(口)假设满足条件的直线l存在,其方程为 y=a,AC的中点为O：t与AC为直径的圆相交于点 P、Q, PQ的中点为 H,那么OH _LPQ,O点的坐标为(&,2±R)22 OP = "|ac| =工Jx； +(y1 - p)222OH22=OP -OH1 , 22、12=(y1P )(2a - y

17、1 - p)44, P、=(a)y1 a(p -a),2PQ2 =(2PH )2/ P/=4 (a ；)y2 a(p -a)令a P=0,得a=P此时PQ = p为定值,故满足条件的直线存在,其方程为y22,即抛物线的通径所在的直线.解法2:(I )前同解法1,再由弦长公式得AB| = 41 +k2 |x1 -x2| = V1 +k2 5(x1 +x2)2 -4x1x2 = V1 + k2,4 p2k2 +8 p2=2p .1 k2 . k2 2.又由点到直线的距离公式得d = 2p_ .1k2从而,S&BN = 1 d AB = 1 12pY'1 +k2 7k2 +2 1 ,

18、 2 P = 2 p2 Vk2 十2, 22.1k2二当k =0时,S&bnmax = 2?2p2.口假设满足条件的直线 t存在,其方程为y=a,那么以AC为直径的圆的方程为(x -0)(x -x1) - (y - p)(y - y1) =0,将直线方程 y=a代入得2x -x1x-(a - p)(a - y1) = 0, 那么人=乂； -4(a p)(a y1) =4.(a a( p - a).设直线l与以AC为直径的圆的交点为 P X2,y2,Q X4,y4,那么有PQ =x3 -x4 =、：4 (a十a(p-a=2. (a 一 p)y a(p -a). ,2令2=0,得 a=p止

19、匕时PQ = p为定值,故满足条件的直线 l存在,其方程为y = p,2即抛物线的通径所在的直线.题型八：角度问题例题8、如图21图,M-2 ,0和N 2, 0是平面上的两点,动点 P满足：PM + PN =6.t)S(21)图口假设 PM PN,求点p的坐标.i求点P的轨迹方程;1-cosNMPN解：I由椭圆的定义,点 P的轨迹是以M N为焦点,长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴22所以椭圆的方程为 +-y-=1.(口)由 PM Lpn| =1 -cosMPN4,由余弦定理有MN2=PM十|PN 2 -2 PM LPNcosMPN .PM _PN cosMPN

20、 = PM|PN| 2.由于cosMPN 01,P不为椭圆长轴顶点,故 P、M N构成三角形.在PMNh MN将代入,42 = PMPN 2 -2( PM LPN -2).故点P在以M N为焦点,实轴长为_22J3的双曲线-y2 =1上.32 x 由I 知,点P的坐标又满足一92十1一=1,所以52=22工s 5x1 2 9y2 =45, 由万程组(22x 3y =3.解得x3.3一)或223,3问题九：四点共线问题22例题9、设椭圆c : +% =1(a >b>0)过点M (72,1),且着焦点为Fi (-72,0) a b(I)求椭圆C的方程;,证实：点Q(口)当过点P(4,1

21、)的动直线l与椭圆C相交与两不同点 A, B时,在线段AB上取点Q ,满足总在某定直线上解(1)由题意：2 2 人c =22221.22x y .-2r =1,解得a =4,b =2,所求椭圆方程为+ =1a b4222. 2c = a -b(2)方法一设点 q、a、b 的坐标分别为(x, y),(x1, y1),(x2, y2).由题设知 Ap,Pb, AQ,Qb 均不为零,记=r TAP AQ,那么九a 0且九二1又A,P,B,Q四点共线,从而APjB,aQ-qBQB于是x1 -1'-x24 二1 -1Xix2x 二1 11=与一1 -'y11 y2从而x1 - 1 x2=

22、4x ,(1)1 _生2=y , 一 (2)又点A、B在椭圆C上,即x即点Q(x, y)总在定直线2x + y2=0上方法二设点 Q(x,y), A(Xi,Yi),B(X2,Y2),由题设, PA, PB, AQ ,QB均不为零. 2y12 =4川|川(3)x2 2y2 =4,IWI(4)又P, A,Q,B四点共线,可设PA =一儿Aq,Pb = Bq( =0, .i),于是4 -3 xxi = , yi =1 -4 十；,x1 - -y(1)(2)由于 A(x1, y1), B(x2, y2)在椭圆22c上,将I,2分别代入C的万程x +2y =4,整理得(x2 +2y2 -4)Z2 _4(

23、2x + y 2)九+14 = 0(3)(x2 2y2 -4) 2 4(2x y 2), 14 = 0(4)(4) - (3) 得8(2x + y2),u=0. :0,： 2x y -2 =0即点Q(x,y)总在定直线2x + y2=0上问题十：范围问题(本质是函数问题)2_x 2设F1、F2分别是椭圆 + y =1的左、右焦点4I假设P是该椭圆上的一个动点,求 PF1 - PF2的最大值和最小值;口设过定点 M 0,2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且/ AOB为锐角其中O为坐标原点,求直线l的斜率k的取值范围解：I解法一：易知 a=2,b=1,c = J3所以 F1 (-3,0 )下2

24、(石0 ),设 P(x,y ),那么PF1 PF2 =-.3 -x, -y , . 3 -x, -y = x2 y2 -3=x2 1由于xw 1-2,2 ,故当x =0,即点P为椭圆短轴端点时,PF1 PF2有最小值一2当x =%,即点P为椭圆长轴端点时, PF1 PF2有最大值1解法二：易知 a =2,b=1,c = J3,所以 F1 (-3,0 ),F2(J3,0 ),设 P(x,y),那么PF14 PF| Pf1 IPF21 cosZF1PF2 = PF；. PF2i 2PF1|；'PF22pfM2PF?2F1F2+ y2_3 以下同解法一1 -222 x 3y2xy设椭圆 E:

25、 2"+f=1 (a,b>0) abI求椭圆E的方程;II是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA_lOB?假设存在,写出该圆的方程, |的取值范围,假设不存在说明理由.x - x3y2 -12口显然直线X =0不满足题设条件,可设直线 l : y= kx-2,A(Xi,y2 ),B(X2,y2 ),y =kx-24kx 3 = 0XiX2 =,2由= 4k二14)4kk2,X1+4X2 =3k2 141 )-41k +- k3 =I 4j4k2 一3 >0 得:k<逅或k2.3> -2又 0° 二 A0B 二

26、90° = cos A0B 0 = OA OB 0OA OB = X1X2 y1y2 02又 y1y2=kX12kX22 = kX1X22kx1X243k2k2-8k21 4k2 一4-k2 1k2 123-k2 1k2 14k2 142>0 ,即 k2 <4 .- -2 <k <2故由、得-2 二 k问题H一、存在性问题:形,圆存在点,存在直线 y=kX+m ,存在实数,存在图形：三角形等比、等腰、直角 ,四边形矩形、正方过M 2, 衣,NJ6,1两点,O为坐标原点,并求| AB22解：(1)由于椭圆 E: =1 (a,b>0)过 M (2, J2),

27、 N( J6 ,1)两点,a b42112=14了 b1/=8a 6_. 2、62、6 一m2或m芸一,而当切线的斜率不存在时切线为x = ±与椭圆 33 =8x2所以?a b 解得Ja 8所以<8椭圆e的方程为一6.1.11/八48,设该圆的切线方程为E恒有两个交点A,B,且,a2 b2b24(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆24kmx 2m -8 = 0,w.w.wks.5.u.c.o.my t kx m 222、 2y=kx+m解方程组 (x2y2得x +2(kx+m) =8,即(1 + 2k)x1 =184那么 = 16k2m2 -4(1+2k2)(2m2 -8)=8(8k2 -m2 +4) >0 ,即8k2-m24 kmx221 2k2m2 -822 k2(2m2 -8)y1y2 二(kx1 m)(kx2 m) = k x1x2 km(x1 x2) m 二21 2k2一24k