初一因式分解的方法和能力提高训练

1、因式分解水平提升因式分解的十二种方法：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式 乘积的形式.例1、 分解因式x -2x -x(2003 淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a +4ab+4b (2003 南通市中考题)解：a +4ab+4b = (a+2b )3、分组分解法要把多项式am+an

2、+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式 b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式 m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m解： m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n=(m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式,如果axb=m,cx d=q且ac+bd=p,那么多项式可因式分解为 (ax+d)(bx+c) 例4、分解因式 7x-19x-6分析：1-37 22-21=-19解：7x -19x

3、-6= (7x+2 ) (x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.例5、分解因式x +3x-40解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ )-()=(x+ + )(x+ -)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成假设干局部,再用进行因式分解.例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b

4、) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的局部换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.例7、分解因式 2x -x -6x -x+2解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x 2(x + )-(x+ )-6令 y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6=x 2(y -2)-y-6=x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)=(x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、求根

5、法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,测多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (x-x )例 8、分解因式 2x +7x -2x -13x+6解：令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3, -2, 1那么 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,x那么多项式可因式分解为 f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) (x-x )例9、因式分解 x +2

6、x -5x-6解：令 y= x +2x -5x-6作出其图象,见右图,与 x轴交点为-3 , -1, 2那么 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例 10、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) a -a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因

7、数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将 2或10复原成x,即得因式分解式.例11、分解因式x +9x +23x+15解：令 x=2,那么 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3X 5X7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1 , x+3 , x+5,在x=2时的值那么 x +9x +23x+15=(x+1) (x+3) (x+5)12、待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.例12、分解因式 x -x -5x -6x-4

8、分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.解：设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)=x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以解得那么 x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)提公因式法 形如 ma+ mb+mc= m(a+b+c)运用公式法 平方差公式：a2 _b2 = (a+b)(a _b),完全平方公式：a2 _2ab b2 =(a _b)22.222a b c 2ab 2bc 2ca = a b c、填空题:1, 4a3+ 8a3 +24a=4a()；2. (a 3)(3 2a)

9、=(3 a)(3 2a);x a3b_ ab3 = ab(a_b)f );4(1 a)mn+厂 1= ()(mn_ l)s5. Q,0009/二()56. ()+£=(*)> lo 7. ( )a3-6a+l = ( )2;8* 8妒 一()= (2x )(+6x+9)；9.妒一矿一/+ 2兑=/一()=()()；10. 2ax - Way + 5by - bx= 2a( )b()=()()；11. 妒+ 3x-10二仅)(x)；12. 假设 m> 3"2=(m+ a)(m + b),贝U a=, b=;s1 3113. x -y =(恐一-y)(o614. a

10、2 _be + ab _ ac=(a2 + ab) _ ( )=( )(15. 当 m= , x2+ 2(m 3)x + 25 是完全平方式.二、选择题：1.以下各式的因式分解结果中,正确的选项是A. a2b+ 7ab b= b(a2 + 7a)B. 3x2y 3xy 6y=3y(x 2)(x + 1)C. 8xyz 6x2y2 = 2xyz(4 3xy)D. -2a2 + 4ab-6ac= 2a(a + 2b 3c)2 .多项式m(n 2) m>(2 n)分解因式等丁A. (n 2)(m + m2)B . (n 2)(m m2)C. m(n 2)(m + 1)D. m(n 2)(m 1

11、)3. 在以下等式中,届丁因式分解的是A. a(x y) + b(m+ n) = ax+ bm- ay + bnB. a2-2ab+ b2 + 1=(a b)2+ 1C. -4a2 + 9b2= ( 2a+ 3b)(2a + 3b)D. x2 7x 8=x(x 7) 84. 以下各式中,能用平方差公式分解因式的是A. a2 + b2B. a2 + b2C. a2 b2D. - ( a2) + b25 .假设9x2 + mx叶16y2是一个完全平方式,那么 m的值是A. 12B. ± 24B . an-1 (a 3 1)D. an+1(a 1)(a 2+ a+ 1)B. 7D. 12B

12、 . x=1, y= 3D . x=1, y= 3A. (m+ 1)4(m+ 2)2C. (m+ 4)2(m 1)210. 把X2 7x- 60分解因式,得A. (x - 10)(x + 6)C. (x + 3)(x -20)11. 把3x2 2xy 8y2分解因式,得A. (3x + 4)(x 2)C. (3x + 4y)(x 2y)12. 把a2 + 8ab- 33b2分解因式,得A. (a + 11)(a 3)C. (a + 11b)(a 3b)13. 把x4 3x2 + 2分解因式,得A. (x2-2)(x 2- 1)-1)B. (m 1)2(m 2) 2(m2 + 3m2)D. (m

13、+ 1)2(m+ 2) 2(m2 + 3m2)2B . (x + 5)(x - 12)D . (x - 5)(x + 12)B . (3x 4)(x + 2)D . (3x 4y)(x + 2y)B . (a 11b)(a 3b)D. (a 11b)(a + 3b)B . (x2 2)(x + 1)(x6.把多项式an+4 an+1分解得A. an(a4 a)C. an+i(a 1)(a 2 a+ 1)7.假设 a2 + a= 1,贝U a4 + 2a3 3a2 4a+ 3 的值为A. 8C. 108 .x2+ y2 + 2x 6y+ 10=0,那么x, y的值分别为A. x=1, y=3C.

14、 x= 1, y=39. 把(m2+ 3m)4 - 8(m2+ 3m)2 + 16 分解因式得C.(X2 + 2)(x 2 + 1)D.(X2 + 2)(x + 1)(x-1)14. 多项式X2 ax bx + ab可分解因式为A. (x + a)(x + b)B . (x a)(x + b)C. (x a)(x b)D. (x + a)(x + b)15. 一个关丁 x的二次三项式,其x2项的系数是1,常数项是一12,且能分解 因式,这样的二次三项式是A. x2- 11x- 12 或 x2+ 11x- 12B. x2 x 12 或 x2 + x 12C. x2-4x- 12 或 x2 + 4

15、x- 12D. 以上都可以16. 以下各式 x3 x2-x+ 1, x2 + y xy x, x2 2x-y2 + 1, (x2+ 3x)2 (2x + 1)2中,不含有(x -1)因式的有A. 1个B . 2个C. 3个D . 4个17 .把9-x2 + 12xy 36y2分解因式为A. (x - 6y+ 3)(x - 6x - 3)B. (x -6y+ 3)(x -6y-3)C. (x 6y + 3)(x + 6y 3)D. (x -6y+ 3)(x -6y+ 3)18.下歹0因式分解错误的选项是A. a2 bc+ ac ab=(a b)(a + c)B. ab 5a+ 3b 15=(b

16、5)(a + 3)C. x2+ 3xy 2x 6y=(x + 3y)(x 2)D. x2 6xy 1 + 9y2=(x + 3y+ 1)(x + 3y 1)19. a2X2土 2x + b2是完全平方式,且a, b都不为零,贝U a与b的关系为A.互为倒数或互为负倒数B.互为相反数C.相等的数D.任意有理数20. 对X4 + 4进行因式分解,所得的正确结论是A.不能分解因式B.有因式X2+ 2x+ 2C. (xy + 2)(xy 8)D . (xy 2)(xy 8)21 .把 a4 + 2a2b2 + b4 a2b2 分解因式为A. (a2 + b2 + ab)2B. (a2+ b2 + ab

17、)(a 2+ b2 ab)C. (a2 b2 + ab)(a 2 b2 ab)D . (a2 + b2 ab)222. (3x 1)(x + 2y)是以下哪个多项式的分解结果A. 3x2 + 6xy x 2yB . 3x2 6xy + x 2yC. x + 2y+ 3x2 + 6xyD. x + 2y 3x2 6xy23. 64a8 b2因式分解为A. (64a4 b)(a 4 + b)B . (16a2 b)(4a 2 + b)C. (8a4-b)(8a 4 + b)D . (8a2-b)(8a 4 + b)24. 9(x y) 2+ 12(x 2 y2) + 4(x + y) 2 因式分解

18、为A. (5x y) 2B. (5x + y) 2C. (3x 2y)(3x + 2y)D . (5x 2y) 225. (2y 3x)2 - 2(3x - 2y) + 1 因式分解为A. (3x 2y 1)2B. (3x + 2y+ 1)2C. (3x 2y + 1)2D. (2y 3x- 1)2B. (3b + a) 226. 把(a + b)2 4(a2 b2) + 4(a b) 2 分解因式为A. (3a b)2f (xq AexAq + xe)cxl+ z (xq Ae) + z (Aq + xe) 0 f Nq 寸q058+X05寸NX00 hz9co+z(x>)CXIL+Z

19、(AX) l 二 + (CXIXXCXI+z (XCXIz X)CD 二 q I05)8 + (eoMq + (.q)磁 9 hoBeCXI+oqcoe (8+zq+za5)oqa5寸fcoAX + AcoxCXI寸 ACXI寸 xco oqe(oe+oq +q05)a5Cxi fb+d(b d)栏二 6cxlq+a5)6cxl+q+05)cxlQ (孚q+05CXI)(孚+q+05CXI) 0 q+ e)6+q + e)cxlco6cxlq + e)cxl<Tco寸Q-b)(a + b)(3x + 4y)(a - b)(a + b)(3xQo<T16分解因式3a2x 4b2y 3

20、b2x + 4a2y,正确的选项是A. 02 + b2)(3x + 4y)C. (a2+b2)(3x 4y)<M«Wc88 Bcxl+q 孕+zecxl«区<氽 00(A寸叔埋M工fl ( (A+XCXIL) 叔«区<-*工项殳寸 Ax寸屯OOCXI (q05MOQ以 q+e可o z (q eomCM(q + eo< 叔«区<氽 0 6 3)8+6+ q)6 e)qecxlz6+q)zeffip10. (1 a2)(1 b2) (a2 1)2(b2-1)2；11. (x + 1)2-9(x 1)2;12. 4a2b2 (a

21、2 + b2 c2) 2 ；13. ab2 ac2 + 4ac 4a；14. X3n+ y3n；15. (x + y) 3+ 125;16. (3m 2n)3+ (3m+ 2n)3；17. X6(x2 y2) + y6(y 2X2);18. 8(x + y)3+ 1;19. (a + b + c) 3 a3 b3 c3 ；20. x2 + 4xy + 3y2；21. x2 + 18x- 144;22. x4+2x28;23. - 04+ 18m 17;24. x5-2x3 8x;25. x8 + 19x5 216x2；26. (x2- 7x)2 + 10(x2-7x) -24;27. 5+ 7(a + 1) 6(a + 1)2；28. (x2+ x)(x 2 + x 1) 2;29. x2 + y2 x2y2 4xy 1;30. (x - 1)(x -2)(x - 3)(x -4) - 48;31. x2 y2 x y;32. ax2 bx2 bx+ ax 3a+ 3b;34. a2 b2 + 2ac+ C2；35. a3 ab2 + a b;36. 625b4- (a b)4；37. x6 y6+ 3x2y4 3x4y2；38. x2 + 4xy + 4y2 2x 4y 35;39. n2 a2 + 4ab 4b2；40. 5nv 5n n2 + 2m卜 n2 .四、证实(求