2020-2021学年高一数学人教A版必修1学案：2.2.2 第2课时　对数函数的性质应用 Word版含解析

1、第2课时对数函数的性质应用目标 1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式；2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域；3.能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题重点 对数函数的图象和性质的应用难点 对数函数的图象和性质的综合应用.知识点一对数函数的单调性填一填1对数函数的单调性：当a>1时，ylogax为增函数，当0<a<1时，ylogax为减函数2对于ylogax，若a>1，当x>1时，y>0，当0<x<1时，y<0；若0<a<1，当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<

2、;0.答一答1若a>1，且m>n，则logam与logan的大小关系是logam>logan.若0<a<1，且m>n，则logam与logan的大小关系是logam<logan.2若a>1，且logam>logan，则m与n的大小关系是m>n；若0<a<1，且logam>logan，则m与n的大小关系是m<n.知识点二复合函数的单调性填一填复合函数yloga f(x)，xd的单调性：设集合md，若a>1，且uf(x)在xm上单调递增(减)，则集合m对应的区间是函数yloga f(x)的增(减)区间；若0&

3、lt;a<1，且uf(x)在xm上单调递增(减)，则集合m对应的区间是函数yloga f(x)的减(增)区间答一答3f(x)log3(x5)的单调区间是否只有一个？是否就是yx5的单调区间？提示：是只有1个，但不是yx5的单调增区间(，)，而是(5，)知识点三反函数填一填函数ylogax(a>0，且a1)与yax(a>0，且a1)互为反函数，其图象关于直线yx对称答一答4指数函数与对数函数有哪些主要的相同点？两种函数之间有哪些关系？提示：(1)底数及其范围相同；(2)a>1时同为增函数，0<a<1时同为减函数；(3)互为反函数，图象关于直线yx对称；(4)指

4、数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域类型一比较大小例1比较下列各组值的大小(1)log5与log5；(2)log2与log2；(3)log23与log54.解(1)法一：对数函数ylog5x在(0，)上是增函数，而<，log5<log5.法二：log5<0，log5>0，log5<log5.对数式比较大小的三种类型和求解方法(1)底数相同时，利用单调性比较大小.(2)底数与真数均不相同时，借助于0或1比较大小.(3)真数相同时，可利用换底公式换成同底，再比较大小，但要注意对数值的正负.变式训练1设alog36，blog510，clog7

5、14，则(d)ac>b>abb>c>aca>c>b da>b>c解析：由对数运算法则得alog361log32，b1log52，c1log72，由对数函数图象得log32>log52>log72，所以a>b>c，故选d.类型二解对数不等式例2(1)若loga<1(a>0，且a1)，求实数a的取值范围(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x1)，求x的取值范围分析对于(1)“1”变为logaa讨论单调性；对于(2)直接根据单调性列不等式组求解解(1)loga<1，即loga<logaa.

6、当a>1时，函数ylogax在定义域内是增函数，所以loga<logaa总成立；当0<a<1时，函数ylogax在定义域内是减函数，由loga<logaa，得a<，即0<a<.所以实数a的取值范围为(1，)(2)函数ylog0.7x在(0，)上为减函数，由log0.7(2x)<log0.7(x1)，得解得x>1.x的取值范围为(1，)解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形.若非同解变形，最后一定要检验.变式训练2若1<loga<1(a>0，且a1)，求实数a的取

7、值范围解：1<loga<1，loga<loga<logaa.当a>1时，<<a，则a>；当0<a<1时，>>a，则0<a<.故实数a的取值范围是.类型三对数复合型函数的值域例3求下列函数的值域：(1)ylog(x22x3)；(2)ylog3，x3，1分析先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域解(1)设ux22x3(x1)244，ylogu在(0，)上是减函数，log (x22x3)log42.函数的值域为2，)(2)设ux2，x3，13x27，即1u25.函数ylog3u在(0，)上是增函数，0

8、log3log325.原函数的值域为0，log3251.与对数函数有关的复合函数的值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法).2.对于形如yloga f(x)(a>0，且a1)的复合函数的值域的求解的步骤：分解成ylogau，uf(x)两个函数；求f(x)的定义域；求u的取值范围；利用ylogau的单调性求解.变式训练3设函数f(x)log2(4x)·log2(2x)，x4.若tlog2x.(1)求t的取值范围(2)求f(x)的值域解：(1)因为tlog2x，x4，所以

9、log2tlog24，即2t2.(2)函数f(x)log2(4x)·log2(2x)，即f(x)(log2x)23log2x2，又tlog2x，则yt23t22(2t2)当t时，即log2x，x2时，f(x)min；当t2时，即log2x2，x4时，f(x)max12.综上可得，函数f(x)的值域为.类型四对数复合型函数的单调性例4已知f(x)log (x2axa)在上是增函数，求a的取值范围解令u(x)x2axa，f(x)logu(x)在上是增函数，u(x)在上是减函数，且u(x)>0在上恒成立即1a.满足条件的a的取值范围是a|1a与对数函数有关的复合函数ylogag(x)

10、的单调性的求解步骤：(1)确定定义域，研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.(很多同学忽略了定义域，即要满足g(x)>0导致错误)(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数：外层函数ylogau，内层函数ug(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增或同减，则ylogag(x)为增函数；若一增一减，则ylogag(x)为减函数，即“同增异减”.变式训练4已知f(x)loga(83ax)在1,2上是减函数，则实数a的取值范围是(b)a(0,1) b.c. d(1，)解析：由题意，知83ax>0，x1,2，83a>0

11、,86a>0，<a<.又易知a>0，且a1，0<a<1或1<a<，此时可知函数g(x)83ax是减函数若f(x)在1,2上是减函数，则必有a>1.所以实数a的取值范围为.故选b.1若0<x<y<1，则下列关系式正确的一组是(d)alog3x>log3yblogx<logyclogx3<logy3 dlog4x<log4y解析：ylog3x是增函数，当x<y时，log3x<log3y.ylogx是减函数，当x<y时，logx>logy.log3x<log3y<0，&

12、lt;<0.logy3<logx3.ylog4x是增函数，且0<x<y<1知log4x<log4y.2函数y2x的反函数是(c)aylog2x bylogxcylog2x(x>0) dylogx(x>0)解析：函数y2x的值域是(0，)又其反函数为ylog2x.故选c.3函数ylog(x26x17)的值域是(，3解析：由x26x17(x3)28>0恒成立，知xr.设ux26x17.0<<1，函数ylogu是减函数又x26x17(x3)288，log (x26x17)log8log23log33.故函数ylog (x26x17)的

13、值域为(，34函数f(x)ln(32xx2)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1,3)解析：32xx2>0，x22x3<0.1<x<3.令u32xx2(x22x3)(x1)24，当x(1,1)时，u是x的增函数，y是lnu的增函数，故函数f(x)ln(32xx2)的单调递增区间是(1,1)同理，函数f(x)ln(32xx2)的单调递减区间是(1,3)5已知f(x)loga(ax1)(a>0，且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性解：(1)使f(x)loga(ax1)有意义，则ax1>0，即ax>1.当a>1时，

14、x>0；当0<a<1时，x<0，当a>1时，函数的定义域为x|x>0；当0<a<1时，函数的定义域为x|x<0(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，0<ax11<ax21，loga(ax11)<loga(ax21)，f(x1)<f(x2)，当a>1时，函数f(x)在(0，)上为增函数；当0<a<1时，设x1<x2<0，则ax1>ax2>1，ax11>ax21>0，loga(ax11)<loga(ax21)，f(x1)<f(x2)，当0<a<1时，函数f(x)在(，0)上为增函数综上可知：函数f(x)loga(ax1)在其定义域上为增函数本课须掌握的三大问题1利用对数的单调性可解简单的对数不等式解对数