2017-2018学年人教A版数学选修2-1课时提升作业（十九） 2.4.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 探究导学课型 Word版含答案

1、温馨提示： 此套题为word版，请按住ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭word文档返回原板块。课时提升作业(十九)抛物线方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.过抛物线y2=4x的焦点，作一条直线与抛物线交于a，b两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()a.有且仅有一条b.有且仅有两条c.有无穷多条d.不存在【解析】选b.由定义|ab|=5+2=7，因为|ab|min=4，所以这样的直线有两条.【补偿训练】过点m(3，2)作直线l与抛物线y2=8x只有一个交点，这样的直线共有()a.0条b.1条c.2条d.3条【解析】选b.因

2、为点m(3，2)在抛物线y2=8x的内部，所以过点m平行x轴的直线y=2适合题意，因此只有一条.2.(2015·全国卷)已知椭圆e的中心为坐标原点，离心率为12，e的右焦点与抛物线c：y2=8x的焦点重合，点a，b是c的准线与e的两个交点，则ab=()a.3b.6c.9d.12【解析】选b.设椭圆e的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右焦点为(c，0)，依题意得c=2,ca=12,解得a=4，由b2=a2-c2=16-4=12，所以椭圆e的方程为x216+y212=1，因为抛物线c：y2=8x的准线为x=-2，将x=-2代入到x216+y212=1，解得a(-2

3、，3)，b(-2，-3)，故ab=6.3.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线c：y2=8x相交于a，b两点，f为c的焦点.若|fa|=2|fb|，则k=()a.13b.23c.23d.223【解析】选d.设a，b两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由y=k(x+2),y2=8x,消去y得，k2x2+4x(k2-2)+4k2=0，所以x1+x2=4(2-k2)k2，x1x2=4.由抛物线定义得|af|=x1+2，|bf|=x2+2，又因为|af|=2|bf|，所以x1+2=2x2+4，所以x1=2x2+2代入x1x2=4，得x22+x2-2=0，所以x2=1或-2(舍去)

4、，所以x1=4，所以4(2-k2)k2=5，所以k2=89，因为k>0，所以k=223.4.(2015·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦ab，则ab的中点到x轴的最短距离为()a.34b.32c.1d.2【解析】选d.由题意知，抛物线的准线l：y=-1，过a作aa1l于a1，过b作bb1l于b1，设弦ab的中点为m，过m作mm1l于m1，则|mm1|=|aa1|+|bb1|2.|ab|af|+|bf|(f为抛物线的焦点)，即|af|+|bf|6，|aa1|+|bb1|6，2|mm1|6，|mm1|3，故m到x轴的距离d2.【拓展延伸】“两看两想”的应用与抛

5、物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点p是抛物线y2=2x上的一个动点，则点p到点(0，2)的距离与点p到该抛物线准线的距离之和的最小值为()a.172b.3c.5d.92【解析】选a.抛物线y2=2x的焦点为f12,0，准线是l，由抛物线的定义知点p到焦点f的距离等于它到准线l的距离，因此要求点p到点(0，2)的距离与点p到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点p到点(0，2)的距离与点p到焦点f的距离之和的最小值，不难得出相应的最小值就等于焦点f到点 (0，2)的距离.因此所

6、求的最小值等于122+(-2)2=172.5.(2015·青岛高二检测)在平面直角坐标系内，点p到点a(1，0)，b(a，4)及到直线x=-1的距离都相等，如果这样的点p恰好只有一个，那么a=()a.1b.2c.2或-2d.1或-1【解题指南】满足条件的点p恰好只有一个，可以从点p满足的方程有唯一解入手.【解析】选d.依题意得，一方面，点p应位于以点a(1，0)为焦点、直线x=-1为准线的抛物线y2=4x上；另一方面，点p应位于线段ab的中垂线y-2=-a-14(x-a+12)上.由于要使这样的点p是唯一的，因此要求方程组y2=4x,y-2=-a-14(x-a+12)有唯一的实数解.

7、结合选项进行检验即可.当a=1时，抛物线y2=4x与线段ab的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a=-1时，线段ab的中垂线方程是y=12x+2，易知方程组y2=4x,y=12x+2有唯一实数解.综上所述，a=1或a=-1.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知点f为抛物线y2=-8x的焦点，o为原点，点p是抛物线准线上一动点，a在抛物线上，且|af|=4，则|pa|+|po|的最小值是_.【解析】由|af|=4及抛物线定义得a到准线的距离为4.所以a点横坐标为-2，所以a(-2，4)或a(-2，-4).又原点关于准线的对称点的坐标为b(4，0)，所以|pa|+|po|的最小值为|ab|=

8、36+16=213.答案：2137.(2015·延安高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点f且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于a，b两点，则|af|bf|的值是_.【解析】设a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1>x2，易知直线ab的方程为y=3x-32p，代入抛物线方程y2=2px，可得3x2-5px+34p2=0，所以x1+x2=53p，x1x2=p24，可得x1=32p，x2=p6，可得|af|bf|=x1+p2x2+p2=3p2+p2p6+p2=3.答案： 38.(2015·黄石高二检测)已知抛物线c的顶点在坐标原点，焦点为f

9、(1，0)，直线l与抛物线c相交于a，b两点.若ab的中点为(2，2)，则直线l的方程为_.【解析】容易求得抛物线方程为y2=4x.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y12=4x1，y22=4x2，两式相减得y22-y12=4(x2-x1).整理得y2-y1x2-x1=4y2+y1，由于kab=y2-y1x2-x1，而ab中点为(2，2)，所以y2+y1=4，于是kab=44=1，因此直线方程为y-2=x-2，即y=x.答案：y=x三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知抛物线c的顶点在坐标原点o，对称轴为x轴，焦点为f，抛物线上一点a的横坐标为2，且fa·oa=10.(1

10、)求此抛物线c的方程.(2)过点(4，0)作直线l交抛物线c于m，n两点，求证：omon.【解析】(1)设y2=2px(p>0)，点a(2，y0)，则有y02=4p.因为fp2,0，所以fa=2-p2,y0，fa·oa=4-p+y02=4+3p=10，所以p=2，所以抛物线c的方程为y2=4x.(2)当直线l斜率不存在时，此时l：x=4，将x=4代入y2=4x，得y=±4，不妨令m(4，4)，n(4，-4)，满足om·on=0，所以omon.当直线l斜率存在时，设l：y=k(x-4)，联立方程y2=4x,y=k(x-4)k2x2-(8k2+4)x+16k2=

11、0.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1+x2=8k2+4k2，x1x2=16，所以om·on=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2=16(1+k2)-32k2-16+16k2=0，所以omon.综上，omon成立.10.(2015·大连高二检测)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点p(1，2)，a(x1，y1)，b(x2，y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.(2)当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线ab的斜率.【解题指南】(1)利用点p(1，2)在抛物线上可求方程.(

12、2)倾斜角互补意味着斜率互为相反数，然后利用点差法求解.【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px(p>0).因为点p(1，2)在抛物线上，所以22=2p×1，解得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1.(2)设直线pa的斜率为kpa，直线pb的斜率为kpb，则kpa=y1-2x1-1(x11)，kpb=y2-2x2-1(x21)，因为pa与pb的斜率存在且倾斜角互补，所以kpa=-kpb.由a(x1，y1)，b(x2，y2)均在抛物线上，得y12=4x1,y22=4x2,所以y1-214y12-1=-y2-214y22-1，所以212y1-1

13、12y1-112y1+1=-212y2-112y2-112y2+1，所以y1+2=-(y2+2).所以y1+y2=-4.由-得，y12-y22=4(x1-x2)，所以kab=y1-y2x1-x2=4y1+y2=-1(x1x2).(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·银川高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)，过点e(m，0)(m0)的直线交抛物线于点m，n，交y轴于点p，若pm=me，pn=ne，则+=()a.1b.-12c.-1d.-2【解析】选c.由题意设过点e的直线方程为y=k(x-m).代入抛物线方程，整理可得k2x2+(-2mk2-2

14、p)x+m2k2=0.设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1+x2=2p+2mk2k2，x1x2=m2.由pm=me,pn=ne可得x1=(m-x1),x2=(m-x2),则+=x1m-x1+x2m-x2=x1(m-x2)+x2(m-x1)(m-x1)(m-x2)=m(x1+x2)-2x1x2m2+x1x2-m(x1+x2)=m(x1+x2)-2m22m2-m(x1+x2)=-1.【补偿训练】设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()a.3b.2c.5d.6【解析】选c.双曲线的渐近线方程为y=±ba

15、x.因为渐近线与y=x2+1相切，所以x2+bax+1=0有两相等根，所以=b2a2-4=0，所以b2=4a2，所以e=ca=c2a2=a2+b2a2=5.2.(2014·四川高考)已知f为抛物线y2=x的焦点，点a，b在该抛物线上且位于x轴的两侧，oa·ob=2(其中o为坐标原点)，则abo与afo面积之和的最小值是()a.2b.3c.1728d.10【解析】选b.可设直线ab的方程为：x=ty+m，点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则直线ab与x轴的交点m(m，0)，由x=ty+my2=xy2-ty-m=0，所以y1y2=-m，又oa·ob=2x1x2+y

16、1y2=2(y1y2)2+y1y2-2=0，因为点a，b在该抛物线上且位于x轴的两侧，所以y1y2=-2，故m=2，又f14,0，于是sabo+safo=12×2×|y1-y2|+12×14×|y1|=|y1+2y1|+18|y1|=98|y1|+2|y1|298|y1|·2|y1|=3，当且仅当98|y1|=2|y1|，即|y1|=43时取“=”，所以abo与afo面积之和的最小值是3.【补偿训练】(2015·龙岩模拟)已知p是抛物线y2=4x上的一个动点，q是圆(x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点，n(1，0)是一个定点，则

17、|pq|+|pn|的最小值为()a.3b.4c.5d.2+1【解析】选a.n恰好为抛物线的焦点，|pn|等于p到准线的距离，要想|pq|+|pn|最小，过圆心(3，1)作抛物线y2=4x的准线x=-1的垂线交抛物线于点p，交圆于q，最小值等于圆心(3，1)到准线x=-1的距离减去半径，即4-1=3.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·南通高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点f的直线l与抛物线在第一象限的交点为a，直线l与抛物线的准线的交点为b，点a在抛物线的准线上的射影为c，若af=fb，ba·bc=36，则抛物线的方程为_.【解题指南】利用向

18、量的数量积构造关于常数p的方程求解.【解析】由af=fb知f为ab的中点，设准线与x轴的交点为d，则|df|=12|ac|=p，所以|ac|=2p=|af|=|fb|，|ab|=4p，所以abc=30°，|bc|=23p，ba·bc=|ba|bc|·cos 30°=4p×23p×32=36，解得p=3，所以y2=23x.答案：y2=23x4.定长为3的线段ab的端点a，b在抛物线y2=x上移动，则ab中点到y轴距离的最小值为_，此时ab中点m的坐标为_.【解题指南】线段ab中点到y轴距离取最小值时，其横坐标取最小值，因此，只要a、b两

19、点的横坐标之和取最小即可.【解析】如图，设f是抛物线y2=x的焦点，a、b两点到准线的垂线分别是ac，bd，m点到准线的垂线为mn，n为垂足，则|mn|=12(|ac|+|bd|)，根据抛物线定义得|ac|=|af|，|bd|=|bf|，所以|mn|=12(|af|+|bf|)|ab|2=32.设m点的横坐标为x，则|mn|=x+14，所以x=|mn|-1432-14=54，等号成立的条件是弦ab过点f，由于|ab|>2p=1，所以ab过焦点是可能的，此时m点到y轴的最短距离是54，即ab的中点横坐标为54.当f在ab上时，设a，b的纵坐标分别为y1，y2，则y1y2=-p2=-14，从

20、而(y1+y2)2=y12+y22+2y1y2=2×54-12=2，所以y1+y22=±22，所以m点的坐标为54,±22时，m到y轴距离的最小值为54.答案：5454,±22【补偿训练】设圆c位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆c的半径能取到的最大值为_.【解析】依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上且与x=3相切时才有可能，可设圆心坐标是(a，0)(0<a<3)，则由条件知圆的方程是(x-a)2+y2=(3-a)2.由x-a2+y2=(3-a)2,y2=2x,消去y

21、得x2+2(1-a)x+6a-9=0，结合图形分析可知，当=2-4(6a-9)=0且0<a<3，即a=4-6时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3-a=6-1.答案：6-1三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·邢台高二检测)已知抛物线y2=6x的弦ab经过点p(4，2)，且oaob(o为坐标原点)，求弦ab的长.【解析】由a，b两点在抛物线y2=6x上，可设a(y126，y1)，b(y226，y2).因为oaob，所以oa·ob=0.由oa=(y126，y1)，ob=(y226，y2)，得y12y2236+y1y2=0.因为y1y2

22、0，所以y1y2=-36，因为点a，b与点p(4，2)在一条直线上，所以y1-2y126-4=y1-y2y126-y226，化简得y1-2y12-24=1y1+y2，即y1y2-2(y1+y2)=-24.将式代入，得y1+y2=-6.由和，得y1=-3-35，y2=-3+35，从而点a的坐标为(9+35，-3-35)，点b的坐标为(9-35，-3+35)，所以|ab|=610.6.(2014·湖北高考)在平面直角坐标系xoy中，点m到点f(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点m的轨迹为c.(1)求轨迹c的方程.(2)设斜率为k的直线l过定点p(-2，1).求直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.【解题指南】(1)设出m点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到点m的轨迹c的方程.(2)设出直线l的方程为y-1=k(x+2)，和(1)中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y-1=k(x+2)中取y=0得到x0=-2k+1k，然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0求解使直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.【解析】(1)设点m(x，y)，依