2017-2018学年人教A版数学选修2-1课时提升作业 十一 2.2.1 椭圆及其标准方程 精讲优练课型 Word版含答案

1、温馨提示： 此套题为word版，请按住ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭word文档返回原板块。课时提升作业 十一椭圆及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·青岛高二检测)已知椭圆x225+y216=1上一点p到其中一个焦点的距离为3,则点p到另一个焦点的距离为()a.2b.3c.5d.7【解析】选d.设该椭圆的两个焦点分别为f1,f2,利用椭圆的定义可知|pf1|+|pf2|=10.不妨令|pf1|=3,则|pf2|=7.2.(2016·日照高二检测)已知椭圆x225+y29=1上的点m到该椭圆一个焦点f的距离为2,n是m

2、f的中点,o为坐标原点,那么线段on的长是()a.2b.4c.8d.32【解析】选b.设椭圆的另一个焦点为e,如图,则|mf|+|me|=10,所以|me|=8.又on为mef的中位线,所以|on|=12|me|=4.3.椭圆x2m+y24=1的焦距是2,则m的值是()a.5b.3或8c.3或5d.20【解析】选c.由题意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1,所以m=5或m=3.4.(2016·淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为3,则这个椭圆的方程为()a.x212+y29=1b.x29+y212=1

3、c.x212+y29=1或x29+y212=1d.以上都不对【解析】选c.设短轴的一个端点为p,焦点分别为f1,f2,因为pf1f2为正三角形,所以|op|=32|f1f2|,可得b=3c,即a2-c2=3c.又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为3,所以a-c=3,联立,可得a=23,c=3,b=a2-c2=3.因此a2=12且b2=9,可得椭圆的标准方程为x212+y29=1或x29+y212=1.5.已知椭圆x24+y2=1的焦点为f1,f2,点m在该椭圆上,且mf1·mf2=0,则点m到x轴的距离为()a.233b.263c.33d.3【解题指南】由mf1·mf2=

4、0知mf1f2为直角三角形,可根据面积求m到x轴的距离.【解析】选c.由mf1·mf2=0,得mf1mf2,可设|mf1|=m,|mf2|=n,在f1mf2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,所以sf1mf2=12·mn=1,设点m到x轴的距离为h,则12×|f1f2|×h=1,又|f1f2|=23,故h=33.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程

5、为.【解析】由题意可得a+c=3,a-c=1.所以a=2,c=1.故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为x24+y23=1.答案:x24+y23=17.设p是椭圆x216+y29=1上的点,f1,f2分别为椭圆的左、右焦点,则|pf1|·|pf2|的最大值是.【解析】由题意知:|pf1|+|pf2|=2a=8,所以|pf1|·|pf2|pf1|+|pf2|22=822=16,当且仅当|pf1|=|pf2|时取“=”,故|pf1|·|pf2|的最大值是16.答案:168.如图所示,f1,f2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点p在椭圆上,pof2是面积为

6、3的正三角形,则b2=.【解析】由题意spof2=34c2=3,所以c=2,所以a2=b2+4.由题意得点p坐标为(1,3),把x=1,y=3代入椭圆方程x2b2+4+y2b2=1中得1b2+4+3b2=1,解得b2=23.答案:23三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点p(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.【解析】当焦点在x轴上时,设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).由椭圆过点p(3,0),知9a2+0b2=1,又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为x29+y2=1.当焦点在y轴上时,设其方程为y2a2+x2b2=1(a

7、>b>0).由椭圆过点p(3,0),知0a2+9b2=1,又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为y281+x29=1.故椭圆的标准方程为y281+x29=1或x29+y2=1.10.(2016·郑州高二检测)如图,设p是圆x2+y2=25上的动点,点d是p在x轴上的投影,m为pd上一点,且|md|=45|pd|.当p在圆上运动时,求点m的轨迹c的方程.【解题指南】设m(x,y),由等式|md|=45|pd|坐标化,即得轨迹方程.【解析】设点m的坐标是(x,y),p的坐标是(xp,yp),因为点d是p在x轴上的投影,m为pd上一点,且|md|=45|pd|

8、,所以xp=x,且yp=54y.因为p在圆x2+y2=25上,所以x2+54y2=25,整理得x225+y216=1,即点m的轨迹c的方程是x225+y216=1.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·郑州高二检测)已知方程x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是()a.m<2b.1<m<2c.m<-1或1<m<2d.m<-1或1<m<32【解析】选d.由题意得|m|-1>0,2-m>0,2-m>|m|-1.即m>1或m<-1,m<2,0m<32或

9、m<0.所以1<m<32或m<-1.2.(2016·临沂高二检测)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为f1,f2,点p(a,b)满足|f1f2|=|pf2|,设直线pf2与椭圆交于m,n两点,若|mn|=16,则椭圆的方程为()a.x2144+y2108=1b.x2100+y275=1c.x236+y227=1d.x216+y212=1【解析】选b.因为点p(a,b)满足|f1f2|=|pf2|,所以(a-c)2+b2=2c,整理得2ca2+ca-1=0,所以ca=12.所以a=2c,b=3c,可得椭圆方程为3x2+4y2=1

10、2c2,直线pf2的方程为y=3(x-c),代入椭圆方程,消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x=0或85c,得m(0,-3c),n85c,335c,所以|mn|=165c=16,所以c=5,所以椭圆方程为x2100+y275=1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·温州高二检测)已知椭圆x24+y22=1的两个焦点是f1,f2,点p在该椭圆上,若|pf1|-|pf2|=2,则pf1f2的面积是.【解析】由已知得|f1f2|=2c=22,|pf1|+|pf2|=4,又|pf1|-|pf2|=2,所以得|pf1|=3,|pf2|=1,因此|pf2|2+|f1f2|2=

11、|pf1|2,所以pf1f2是直角三角形,所以spf1f2=12·|f1f2|·|pf2|=2.答案:24.(2016·唐山高二检测)已知椭圆c:x22+y2=1的焦点f(1,0),直线l:x=2,点al,线段af交c于点b,若fa=3fb,则|af|= 【解题指南】设出a点的坐标,利用fa=3fb求出a点坐标,即可求出|af|的大小.【解析】设a(2,y0),b(x1,y1),fa=(1,y0),fb=(x1-1,y1),由fa=3fb,得(1,y0)=3(x1-1,y1),所以x1=43,y1=y03,又点b在椭圆c上,所以4322+y032=1,解

12、得y0=±1,所以a点坐标为(2,±1),所以|af|=(2-1)2+(±1-0)2=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·烟台高二检测)已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦点分别为f1(0,-1),f2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程.(2)设点p在这个椭圆上,且|pf1|-|pf2|=1,求f1pf2的余弦值.【解析】(1)由题意得椭圆焦点在y轴上,且c=1.又因为3a2=4b2,所以a2-b2=14a2=c2=1,所以a2=4,b2=3,所以椭圆标准方程为y24+x23=1.(2)如

13、图所示,|pf1|-|pf2|=1.又由椭圆定义知,|pf1|+|pf2|=4,所以|pf1|=52,|pf2|=32,|f1f2|=2,cosf1pf2=522+322-222×52×32=35.6.(2016·连云港高二检测)设f1,f2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点,b为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若p是该椭圆上的一个动点,求|pf1|·|pf2|的最大值.(2)若c为椭圆上异于b的一点,且bf1=cf1,求的值.(3)设p是该椭圆上的一个动点,求pbf1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为x24+y2=1,所以a=2,b=1,c=3,即|f1f2|=23,又因为|pf1|+|pf2|=2a=4,所以|pf1|·|pf2|pf1|+|pf2|22=422=4,当且仅当|pf1|=|pf2|=2时取“=”,所以|pf1|·|pf2|的最大值为4.(2)