2017-2018学年人教A版数学选修2-1课时提升作业 二十二 3.1.3 空间向量的数量积运算 精讲优练课型 Word版含答案

1、温馨提示： 此套题为word版，请按住ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭word文档返回原板块。课时提升作业 二十二空间向量的数量积运算一、选择题(每小题4分，共12分)1.已知a，b是两个非零向量，则a·b=|a|·|b|是a与b共线的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选a.由两个向量的数量积的定义知向量a与b夹角为0°，故a与b共线；反之，若a与b共线，a·b=|a|b|或a·b=-|a|·|b|.2.已知长方体abcd-a1b1c1d1，下列向量的

2、数量积一定不为0的是()a.ad1·b1cb.bd1·acc.ab·ad1d.bd1·bc【解题指南】解答本题的关键是判断有关直线是否有可能互相垂直.【解析】选d.当四边形aa1d1d是正方形时，ad1b1c，ad1·b1c=0；当四边形abcd是正方形时，bd1ac，bd1·ac=0；因为ab平面aa1d1d，所以abad1，ab·ad1=0；bd1与bc所成的角是cbd1，而bcd1=90°，所以cbd1是锐角，故bd1·bc0.3.(2016·鞍山高二检测)在正方体abcd-a1b1c1d

3、1中，e是上底面的中心，则ac1与ce的关系是()a.重合b.垂直c.平行d.无法确定【解析】选b.ac1=ab+ad+aa1，ce=cc1+c1e=aa1-12(ab+ad)，于是ac1·ce=(ab+ad+aa1)·aa1-12ab-12ad=0，所以ac1ce，即ac1ce.【补偿训练】(2016·临沂高二检测)设a，b，c，d是空间不共面的四点，且满足ab·ac=0，ac·ad=0，ab·ad=0，则bcd是()a.钝角三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.不确定【解析】选b.如图，设ab=a，ac=b，ad=c，所以cb&#

4、183;cd=(a-b)·(c-b)=a·c-b·c-a·b+b2=b2>0，故bcd是锐角，同理cbd，bdc都是锐角，所以bcd为锐角三角形.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2016·晋城高二检测)已知向量a与b的夹角为135°，且|a|=|b|=4，则a·(2a-b)=.【解析】a·(2a-b)=2a2-a·b=2×42-4×4·cos135°=32+82.答案：32+82【补偿训练】如图所示，在空间四边形abcd中，每条边的长度和两条对角线的长度

5、都等于1，m，n分别是ab，ad的中点，则mn·dc=.【解析】mn·dc=12bd·dc=12|bd|dc|cos<bd，dc>=12×1×1·cos 120°=-14.答案：-14【误区警示】解答本题易出现误认为<bd，dc>=60°的错误.5.已知空间向量a，b满足|a|=|b|=|a-b|=2，则|3a-2b|=.【解析】因为|a|=|b|=|a-b|=2，所以a2-2a·b+b2=4即4-2a·b+4=4.解得a·b=2，所以|3a-2b|2=9a2-

6、12a·b+4b2=36-12×2+16=28，所以|3a-2b|=27.答案：27三、解答题6.(10分)(2016·聊城高二检测)如图，在平行四边形abcd中，ad=4，cd=3，bad=120°，pa平面abcd，且pa=6.求pc的长.【解析】因为pc=pa+ad+dc，所以|pc|2=pc·pc=(pa+ad+dc)2=|pa|2+|ad|2+|dc|2+2pa·ad+2pa·dc+2ad·dc=62+42+32+2·|ad|·|dc|·cos120°=49.所以|

7、pc|=7，故pc的长为7.【补偿训练】如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，点e，f分别是c1d1，d1d的中点，若正方体的棱长为1.求直线ce与af所成角的余弦值.【解析】af=ad+df=ad+12aa1，ce=cc1+c1e=aa1+12cd=aa1-12ab，因为ab·ad=0，ab·aa1=0，ad·aa1=0，所以ce·af=aa1-12ab·ad+12aa1=aa1·ad+12aa12-12ab·ad-14ab·aa1=12aa12=12，又|af|=|ce|=52，所以cos<ce，a

8、f>=ce·af|ce|af|=1252×52=25.【延伸探究】在本题条件下，试求a1c1与de所成角的余弦值.【解析】设ab=a，ad=b，aa1=c，则|a|=|b|=|c|=1，a·b=b·c=c·a=0.因为a1c1=ac=ab+ad=a+b，de=dd1+d1e=dd1+12d1c1=c+12a，所以a1c1·de=(a+b)·=a·c+b·c+12a2+12a·b=12a2=12.又因为|a1c1|=2，|de|=12+122=52，所以cos<a1c1，de>=

9、a1c1·de|a1c1|de|=122×52=1010，所以a1c1与de所成角的余弦值为1010.一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2016·天津高二检测)如图，正四面体abcd中，e是bc的中点，那么()a.ae·bc<ae·cdb.ae·bc=ae·cdc.ae·bc>ae·cdd.ae·bc与ae·cd不能比较大小【解析】选c.因为ae·bc=12(ab+ac)·(ac-ab)=12(|ac|2-|ab|2)=0，ae·cd=(

10、ab+be)·cd=ab·(bd-bc)+12bc·cd=|ab|·|bd|·cos120°-|ab|·|bc|cos120°+12|bc|·|cd|cos120°<0.所以ae·bc>ae·cd.2.(2016·大庆高二检测)已知空间向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则a与b的夹角为()a.30°b.45°c.60°d.以上都不对【解题指南】应用已知条件求出a·b，再应用向量夹

11、角余弦公式求解.【解析】选d.由a+b+c=0得-c=a+b.又|c|=4.所以|c|2=c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b，即得a·b=32，所以cos<a，b>=322×3=14.【补偿训练】(2016·德州高二检测)在空间四边形pabc中，pb=pc=a，apb=apc=3，则cos<pa，bc>=()a.12b.22c.- 12d.0【解析】选d.设pa=b，pa·bc=pa·(pc-pb)=pa·pc-pa·pb=b·a·cos3-b·a

12、3;cos3=0，所以cos<pa，bc>=pa·bc|pa|bc|=0.二、填空题(每小题5分，共10分)3.如图所示，在几何体a-bcd中，ab平面bcd，bccd，且ab=bc=1，cd=2，点e为cd的中点，则ae的长为.【解析】ae 2=(ab+bc+ce)2，=|ab|2+|bc|2+|ce|2+2(ab·bc+ab·ce+bc·ce)，由题意知，|ab|=|bc|=1=|ce|，且ab·bc=ab·ce=bc·ce=0.所以ae 2=3，所以ae的长为3.答案：34.(2016&

13、#183;泰安高二检测)在正方体abcd-a1b1c1d1中，下列给出的结论：|a1a+a1d1+a1b1|2=3|a1b1|2；a1c·(a1b1-a1a)=0；ad1与a1b的夹角为60°；此正方体的体积为|ab·aa1·ad|.其中错误结论的序号是.(填出所有错误结论的序号)【解析】因为|a1a+a1d1+a1b1|=|a1c|=3|a1b1|，故正确；因为a1c·(a1b1-a1a)=(a1b1+a1d1+a1a)·(a1b1-a1a)=a1b12+a1b1·a1d1+a1b1·a1a-a1b1·a1a-a1a·a1d1-a1a2=0，故正确；ad1与a1b夹角为120°，而非60°，故错误；由于ab·aa1=0，故|ab·aa1·ad|=0，故错误.答案：三、解答题5.(10分)(2016·济南高二检测)如图，bb1平面abc，且abc是以b为直角的等腰直角三角形，abb1a1，bb1c1c的对角线都分别互相垂直且相等，若ab=a，求异面直线ba1与ac所成的角.【解析】由已知可知四边形abb1a1和bb1c1c均为正方形，又ba1·a