高等数学(下)同步练习-练习册排版 答案

1、 高等数学 B（下） 练习册 （3） x(1 + y 2 dx + (1 + x 2 ydy = 0 (1 + e x yy / = e x （4） . y (0 = 1 ex 解：分离变量得， x dx = ydy, 1+ e ex 积分得， 1 + e x dx = ydy, 1 ln(1 + e x + C = y 2 , 2 1 1 （ y 0） = 1 = ln 2 + C C = - ln 2, 2 2 1 1 ln(1 + e x + - ln 2 = y 2 . 2 2 xdx ydy 解：分离变量得， 2 + =0 1+ x 1+ y2 xdx xdy 积分得， 1 + x

2、2 dx + 1 + y 2 dy = 0 ln(1 + x 2 + ln(1 + y 2 = ln C , 即 (1 + x 2 (1 + y 2 = C. （5） (e x + y - e x dx + (e x + y - e y dy = 0 . 解：原方程可化为e x (e y - 1dx = -e y (e x - 1dy, ex ey 分离变量得， x dx = - y dy (e - 1 (e - 1 积分得， ex ey dx = - (e y - 1 dy (e x - 1 （6） dy + 2 y = 4x dx 解：p( x = 2, q ( x = 4 x, - p

3、( x dx p ( x dx y=e (C + q( xe dx - 2 dx 2 dx = e (C + 4 xe dx ln(e x - 1 = - ln(e y - 1 + ln C , 即(e x - 1(e y - 1 = C. = e -2 x (C + 4 xe 2 x dx = e -2 x (C + 2 xe 2 x - e 2 x . dy x2 -1 x + 2 y = （7） dx x . y (1 = 0 dy 2 x2 - 1 2 x2 - 1 解： + y = 2 , p( x = , q ( x = 2 , dx x x x x - p ( x dx p (

4、x dx y=e dx (C + q( xe =e = 2 - dx x 1 x2 1 = 2 x dx x2 - 1 2 e x dx 2 x x2 - 1 2 (C + 2 x dx x x3 x 2 C x 1 (C + - = 2 + - . 3 2 3 2 x (C + （8） (1 + x 2 y - 2 xy = (1 + x 2 2 （9）求 y + 2 xy = 2 xe - x 满足x = 1时y = 2的特解. 2 高等数学 B（下） 练习册 解：y + -2 x y = 1 + x2 , 1 + x2 -2 x p( x = , q( x = 1 + x 2 , 1 +

5、 x2 - p ( x dx p ( x dx y=e (C + q ( xe dx 解：p( x = 2 x, q ( x = 2 xe - x , - p ( x dx p ( x dx y=e (C + q( xe dx 2 2 xdx - 2 xdx = e (C + 2 xe - x e dx 2 =e - 1+ x2 dx -2 x (C + (1 + x 2 e 1+ x2 dx -2 x = e - x (C + 2 xe - x e x dx 2 2 2 dx = e - x (C + x 2 . 由x = 1时y = 2 2 = e -1 (C + 1 C = 2e - 1

6、, y = e - x (2e - 1 + x 2 . 2 2 = (1 + x 2 (C + (1 + x 2 = (1 + x (C + x. 2 1 dx 1 + x2 （10）求 y + 解：p( x = y = sin x适合x = p 时y = 0 的特解. *（11） ( x + y 2 y = y . x 解：原方程可变形为 dx x + y 2 dx 1 = , 即 + (- x = y, dy y dy y 1 , q ( x = sin x, x - p ( x dx p ( x dx y=e dx (C + q( xe 它是以y为自变量的一阶线性微分方程， 1 p( y

7、 = - , q ( y = y, y - p ( y dy p ( y dy x=e dy (C + q ( y e =e = - x dx 1 (C + sin xe x dx 1 dx 1 (C + x sin xdx x 1 = (C + sin x - x cos x, x 1 x = p 时y = 0 0 = (C + 0 + p C = -p , =e 1 - - dy y (C + ye - y dy 1 dy p 1 y = (-p + sin x - x cos x. x 1 = y (C + y dy y = y (C + y . *（12）求微分方程 ( y - xdy

8、 = ydx满足y (1 = 1 的特解 * （13） ( x + y dy = -( x - y . dx y dy y = -(1 - . 解：原方程可变形为(1 + x dx x y dy du = u + x , 代入上方程得 令u = , y = xu , dx y - x dx 1 x dx dx , 即 + x = 1, 解：原方程可变形为 = du dy y dy y （ 1 + u (u + x = -(1 - u , dx 1 它是以y为自变量的一阶线性微分方程，p( y = , q ( y = 1, du u - 1 1+ u2 y x = -u = - . dx 1 +

9、 u 1+ u - p ( y dy p ( y dy x=e (C + q ( y e dy 1+ u 1 - du = dx, 分离变量得， 1 1 2 - dy dy x + u 1 = e y (C + e y dy 1+ u 1 du = dx, 积分得 - 1 x 1+ u2 = (C + ydy y 1 1 d (1 + u 2 - = ln | x | + ln | C | du - 1 1 1+ u2 2 1+ u2 = (C + y 2 . y 2 - arctan u = ln Cx 1 + u 2 , e - arctan u = Cx 1 + u 2 , e - ar

10、ctan y x = Cx 1 + y = C x2 + y 2 . x2 2 高等数学 B（下） 练习册 （14） dy y = dx xy - x 2 2 y dy = y + x tan x dx x . （15） y (1 = p 6 dy y y = + tan dx x x y dy du 令u = , y = xu , = u + x , 代入上方程得 x dx dx du 1 u+x = u + tan u, tan udu = dx. dx x d sin u cos u 1 du = 积分得 = dx, x sin u sin u ln | sin u |= ln | x | + ln C sin u = Cx, y 从而 sin = Cx. x y p p 1 由y (1 = C = sin = . 所以2 sin = x. x 6 6 2 解：第一个方程可变形为 y ( 2 dy x 解：原方程可变形为 = dx ( y - 1 x y dy du = u + x , 代入上方程得 令u = , y = xu , x dx dx 2 du u du u2 u = = -u = . u+x , x dx u - 1 dx u - 1 u -1 u -1 1 分离变量得， du = dx, u x u -1 1 du = d