27年考研数学一真题及答案

1、2007年考研数学一真题一、选择题(1,10小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)(1)当XT十时，与、回等价的无穷小量是(A)】(B)”II(C)Jt(D)：【答案】BoI【解析】s，产、工/I*irfIXI，;1(当x0+)时FUI.I%/=口n(1+x)-in(1-、力e/-Jl+.戊一12尤1一。口气*/几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。综上所述，本题正确答案是B。j【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线=：+e)渐近线的条数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】Do【

2、解析】由于limy=lim-+ln(l+e=工 T。工 T。,则汇=O是曲线的垂直渐近线；所以y二。是曲线的水平渐近线;斜渐近线：由于-8 一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在十 8 一侧j.1,(1+=lim+lim大 T+co 凡，+00.ex=04-lim=1i+exXT十 8,丁*1b-lim(y-x-lim-+/n(1+-x*T+8XT+8lim+in(1+-lnexT+8+小。则曲线有斜渐近线y=故该曲线有三条渐近线。|:综上所述，本题正确答案是Do【考点】高等数学一一元函数微分学一函数图形的凹凸性、拐点及渐近线一一,*I、产II(3)如图，连续函数y=fQ)在区间-3,-22

3、,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间一2,00,2上的图形分别是直径为：。一)?,则下列形分正确的是(A)i：)-2(B)/；(C)：一口三)(D)|“-，)limy=UmXT+8XT+8二 f+8|+/nCl+ex)=+8V二+I兑(1+a=lim-=limxx2的下、上半圆周，设【答案】C。【解析】【方法一】四个选项中出现的FQO在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定F=/派)出=IIF(_2)=J2f(t)dt-J=1尸(一3)二就二-f3f(t)dt=-J=|TT：I3.-则”一D八/;l!It【方法二】r-.I|步、由定积分几何意义知12-VM),。,排除(B)又由

4、/的图形可知/的奇函数，则F(W=J(t)dt为偶函数，从而F(-3)=F(3)0,F(-2)=F(2)0显然排除(A)和(D),故选(C)。I|综上所述，本题正确答案是Co【考点】高等数学一一元函数积分学一定积分的概念和基本性质，定积分的应用0设函数外尤)在x=处连续，下列命题错误的是(A)若!”丁存在，则f()二(B)若然三一存在，则汽。)二厂rw(C)若:”丁存在，则/()存在穴外一代 7)(D)若:货一工一存在，则八)存在【答案】Do【解析】i.Kx)limx=0Umf(x)-0(A):若;”丁存在，因为尤 z 则.，又已知函数f在尤二处连续,limf(x)=/(O)所以 a。，故f(

5、S=O,(A)正确；)UmfM+f(-x)=/(O)+/(0)=0(B):若 A。尤存在，则 a。，则f()二,故(B)正确。则r(o)存在，故(C)正确rfW-f(o)不能说明然一工一存在例如f(x)=I力在光=0处连续，r汽灯一吗S7存在，但是r()不存在，故命题(D)不正确。综上所述，本题正确答案是Do【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念设函数FO)在(0.+8)内具有二阶导数，且尸(工)0,令=/5)5=12?),则下列形分正确的是(A)若%为则口力必收敛(B)若出血,则口力必发散(C)若也四,则口”必收敛0)若出,知曲线y=fa)是凹的，显然，图1排除选项(A),其中取

6、=f8尸一 8;图2排除选项(B);图3排除选取=；在(，十)上，f8,且f(D=1f(2)=；,但山=f(m=；T。,排除B;取f二巴在(0,+8)上，/)。，且f(l)=eVf(2)=,但%=/=T+8,排除(C),故应选(D)【方法三】由拉格朗日中值定理知u2-u1=/(2)-/(I)=/(c)0,(1c2时，f5)=/(n)-f(2)+7(2)=f/)3一2)+/(2)(2f,且空匚，则f/从而有f(X)/(c)(n-2)+f(2)T+8则有一)一综上所述，本题正确答案是Do【考点】高等数学一一元函数微分学一函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(6)设曲线L：fQ，y)=1(/()具有一阶连

7、续偏导数)，过第U象限内的点M和第IV象限的点N,为人上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是(A)/)%)项(C),其中+8；故应选(D)诙二二八几)二(n-2)二一千 8,琲除A；(C)I；：、(D)JJ仁门小1一小【答案】Bo【解析】设MN的坐标分别为MgyRN(电，则由题设可得不?2因为II,rf(xty)dx-,rdx=0,Jfy)dy=Jrdy=y2-%0.Jrf8y)ds=Jrds=T的弧长0.Jf；(Xy)d+FyO,y)dy=jr0dx+Ody=0_:综上所述，本题正确答案是B。/I.的线性无关，则下列向量组线性相关的是(A)“2%-(B严=5(C)(D)2a2,a2-2a3

8、fa3-2al2a2,a2+2aa，。？+2ctl【答案】A【解析】(A):因为(一见)十(9一色)十 g 厂aj=所以向量组%_%-a第%线性相关；(B)：(d1+a2fa2+a3fa3+aj=(alta23)101110Lo11J因为al，Q2/3线性无关,所以判断为十2，畋+3-2aL)=(a1Ta2,a3)2100-217看,同理由一2g,g-2%心-2%线性无关;综上所述，本题正确答案是A。【考点】线性代数一向量一向量组的线性相关与线性无关yl二(8)设矩阵(A)合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似【答案】B。【解析】根据相似的必要条件形=工如

9、,易得A和B肯定不相似,10-2-2100-21201201012012120120二同理由十十2a3履十皿线性无关与A则同的充分必要条件是具有相同的正惯性指数、负惯性指数。知矩阵A的特征值3,3，0.故二次型Ax的正惯性指数p=2,负惯性指数q=0,而二次型E*也是正惯性指数p=2，负惯性指数9=0,所以4和月合同LI综上所述，本题正确答案是B。【考点】线性代数一二次型一二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为P(。Pv1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)i13句；。刃(C)i：

10、(D)P3P；【答案】Co【解析】，i-,Il根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功和2次失败，其概率为。如(1-P)：第4次试验成功，其概率为P,所以此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为P(1-P)2?P=3PZ(1-P)2综上所述，本题正确答案是Co【考点】概率分与数理统计一随机事件和概率一概率的基本公式，事件的独立性，独立重复试验(10)设随机变量(X/)服从二维正态分布，且大与丫不相关，&a(37)分别表示x，y的概率密度，则在Y二y的条件下，的条件概率密度瓢屋*为(A)；(B)(C),厂)，【答案】A。XE-A=A-2111A-2111A-2A1A-2=A(A-

11、3)2【解析】随机变量(x，y)服从二维正态分布，且x与y不相关，说明x与y相互独立，且f(xry)=fxWfyQy)在卜=y的条件下，根据题目显然分)芋)的条件概率密度/用y5为A|rCx|y)=77(yJ=A(x)综上所述，本题正确答案是A。【考点】概率分与数理统计一多维随机变量及其分布一二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，随机变量的独立性和不相关性，常用二维随机变量的分布二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分)(11)尤=。一乖1|【答案】1-0【方法一】=-J(丽)=-+,X、/XI111-产+e+ex【方法二】令：,则】,J5于dx=-JteK-JieLd

12、tu1I2Z=e-e|i=*综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学一一元函数积分学一不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(12)设是二元可微函数，胃=加%力，则得二。.1一【答案】d，口【解析】;1丁冉.JiI-ii利用复合函数的求导方式，可直接得出=fi?yxy-f2?yxlny综上所述，本题正确答案是人?*一+，2?产吗【考点】高等数学一多元函数微分学一多元函数的偏导数和全微分(13)二阶常系数非齐次微分方程y-4y+3y=2工B的通解为y=。ftIl|答案y=ce+cx25其中Ci,g为任意常数【解析】、m号/iiF、对应齐次方程的特征方程为M-44+3=。?4=1,4=3则对应齐

13、次方程的通解为丁设原方程特解为1:，代入原方程可得471e-84/1+34/，=2e2x7A=-2所以原方程的特解为,故原方程的通解为=C，e*+-2巴2,其中2为任意常数，综上所述，本题正确答案是了=叱+0-2/其中CLQ为任意常数。【考点】高等数学一常微分方程一简单的二阶常系数非齐次线性微分方程(14)设曲面团+|y|+团=1,则典Q-由积分区域和被积函数的对称性有,益汇dS=O,#.|x|dS=毋|y|dS=力团dS乙乙七所以，“：心?rMes?.故JJ,iT)S综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学一多元函数积分学一两类曲面积分的概念、性质及计算0100L0010:：(15)设矩阵0

14、001则屈的秩为。Lu00OJ【答案】1。.!11【解析】一:因为.1000所以“，一1。综上所述，本题正确答案是1【考点】线性代数一矩阵一矩阵的乘法，矩阵的秩(16)在区间(J)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于；的概率为【答案】:oooOoooOoooOoooOoooOoooO- -43o o1 1OOOOJ J1 1ooooOoooOoooOoooOoooO O- -2 2【解【解析】假定在区间（OJ）中随机地取两个数为X*,则0XL0y1,把（火）看做直角坐标系内一个点的坐标，则如下图所示，（*）为正方形区域内的点，而满足1lx-如之的点的区域就是下图阴影区域。根据几何型概率

15、，考点概率分与数理统才二鬲祈量件触庭一几何型概率|1|1|IIII三、解答题（本题共8小题，满分86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（17）（本题满分11分）求函数fy）=+2/-在区域D=（X）|x2+/0上的最大值和最小值。【解析】J=2x-2xyz=0（x=口x=x=0因为fy=4y-2x2y=0.1y=lIy=1=0所以函数在区域D=Qy）Ix-4之）内的驻点为（0。（-0。（0,0）f（*21）=2/（0,0）=0再求函数在边界线上的极值，构造拉格朗日函数为:综上所述，本题正确答案:111，J十七.一一一；4:,则-2x-2xy2+2Ax0_=4y-2x2y+2Ay=0，

16、解得1q=#&+y-4=0.,2fx=0 x=2于是条件驻点为(目(0,2次2,0)而I、.、18.I，。)比较以上函数值，可得函数在区域口=。沙)1十V三4沙20上的最大值为.?f(0,2)=8最小值为/(。,0)=0【考点】高等数学一多元函数微分学一多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用(18)(本题满分10分),一二，：.计算曲面积分，/=/Zdydz+2yzdzdx+3xydxdy，其中E为曲面z-1-x1-彳(0zl)的上侧。【解析】为曲面z=1-x2-(0z1)的上侧，z=0添加一个平面】：/+1工1,取下侧，则和工1构成闭合曲面，其所围区域记为,于

17、是/=#_JJ而#丁1,xzdydz+2yzdzdx+3xydxdy=川口(等+亭+管)=3川口出dydz=3J:zdzJJ.2dxdy=67d:z(l-z)dz=TT“x2+1-zUJJxzdydz+2yzdzdx+3xydxdy=JJ3xydxdy=JJ；3xydxdy=02 21 12 21 1X X2 2 0-=f（P）-g（/?）=/-M,设g（x）在eQb）取到最大值，则F（xJ=八XoJ-g&J,。,即虱，从而可知f（x）在E（Q点）上的最大值比欧戈）在XE（Q点）上的最大值要大，与题设矛盾，所以假设命题不成立。存在力)，使得尸5)=0所以由罗尔定理知，存在台(口同),心

18、5,叱使得尸(肉=0/)=0；再由罗尔定理知，存在.&，&),使得F”(D=O,即尸(D=g”(90【考点】高等数学一一元函数微分学一微分中值定理(20)(本题满分10分)f8.I.设帚级数、门=o%在(i00,+8)内收敛，其和函数丫(琦满足y-2xy-4y=0,y(0)=0fy(0)=12(I)证明：%+2百彳j_Q，建一1J23?；二；(ii)求近功的表达式。【解析】(i)由题设可得y=JJI=(JYn=1y=：=/-V)anxn-2=：=0(n+l)(n+Z)an+2xn代入；HI】；。/i；。)：可得E：=o(n+1)5+2)Q瞠+-22：=1ii%严-4X：=OQ=

19、0、XI1Q口=0=1必2=0,即上353二也.一.。比较同次项系数可得，2Qm+2=1,23?fIL-IL-l|l|JILJIL(II)由Qo=SQi=0,即+2=不3即解=123,?可得，八22rl2.11Qzn=0,a2n+1=而敢i=丽？*口)Q加-3二=定Qi=记【考点】高等数学一无穷级数一简单属级数的和函数的求法，初等函数的属级数展开式(21)(本题满分11分)+x2+x3=0%)+2X2+ax0+4xz+azx3=()Q与方程打十2短十町=1有公共解，求。的值及所有公共解。【解析】【方法一】方程组有公共解，即为将两个方程联立的解打+*z+=0(x1+2xj+ax3=0.巧+4X2

20、+Q%=0(3)+2X2+冷=Q-1对联立方程组的增广矩阵进行初等行变换，有已知方程组有解，所以应有2)=0,a=l,a=2n=xe设线性方程组1 11311311 1ooOooOT T1 17-7-10-010-0ao o1 1oooo1ooo1ooo? ?1242124211111111事- -AooO-ooO-? ?1此时，公共解为：化?，其中人为任意常数LJLd【方法二】当QK1抱,2时，方程组只有零解，但此时元=（0,0,0）不是方程的解，所以公共解发生在a=1或口=2时，|当a=1时，对方程组的系数矩阵进行初等行变换-1方程组的通解为，叫:其中为任意常数1此解也满足方程组，所以此时

21、方程组和的公共解为工=：,其中女为任意常数。当Q=2时同样求方程组的通解oooooooo?1oooo1oo1oooo1oo1ooo1oooa az z时1 1- -1 11 1-1-0-1-0? ?1 1o1ooo1oo1ooo1oooT胃a az z时2 2- -T=L?J此时，有唯一的公共解为先求方程组的解，其系数行列式为J111二（Q1）（Q2）looolooo1 1o o1OLO1OLO1111111241241111110方程组的通解为其中我为任意常数将其代入方程组中得：n2；:一;；10得k二-1,因此此时方程组和的公共解为工=Jj.；-【考点】线性代数一线性方程组一齐次线性方程组

22、的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵斗的特征值为=1，也=2力=_2,且叼=(1,-U)T是A的属/I于乐的一个特征向量，记、=屋4价+E淇中E为3阶单位矩阵。(I)验证的是矩阵B的特征向量，并求B的所有特征值和特征向量；(II)求矩阵氏I|【解析】(I)由知&除=m,那么Bay=(今-44?+E)%=Acti-4月工01+以1=(4J一+l)a=一2al所以 G 是矩阵属于B特征值的二一2的特征向量同理=石。2,4的=色。3,有Bcc2=(莅口奴/+1Ja2=,=(A35-4G+1)3-%因此，矩阵的特征值为出二一2=的=1。由矩阵总是对

23、称矩阵知矩阵B也是对称矩阵， 设矩阵B关于特征值的=的=1的特征向量是A二(孙冷启)，那么因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，O O1 1O OO O1 1O O1 1oOoO1111311331131 1oOoOT T- -1212电124124有aj0-%2+,3=0所以矩阵B关于特征值%=的=1的特征向量是瓦二(L1,。)，角二(-1，0)丁因此，矩阵片属于特征值由二一2的特征向量是比(1,-1,1),其中心是不为o的任意常数。矩阵8属于特征值口=1的特征向量是七+七(-1。1)丁，其中3七是不全II为0的任意常数。(II)由B即二-2%日色=危上色=有81al,坛角)=1-2%,02,03)；!1I|所以B=(-2alffl2tfl3)(alffl2ffl3)1【考点】线性代数一矩阵的特征值与特征向量一矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵(23)(本题满分11分)设二维随机变量(X)的概率密度为2-x-y,0 xy2q(II)求2=*+丫的概率密度勿(幻。【解析】(I):)如,1X工二- - -112112- -O O1 11 1o o1 1M M1 1nVnV1 11- -1 1O O1111O O1111O O1XO1O1- -O1O1=J/Jf(2-x