汕头2018一模理数试题含答案

1、汕头市 2018 一模理数试题（含答绳密启用前试卷类型：A2018年汕头市普通高考第一次模拟考试理科数学本试题卷共 5 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2 选择题的作答：每小题选岀答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均

2、无效。4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知集合A =.x x -1 ：0：，B =：x x2-5x O，贝UAPIQB=2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 2 页 共 6 页B 1,5D.5,j2 若实数a满足 弓卜血（i为虚数单位），则a =A.iB iC -2D.-23.甲、乙两人

3、参加“社会主义核心价值观”知识竞赛， 甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为|和鲁，且两 人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人 获得一等奖的概率是A.10,1A.3B2C5437D.色124. 若弘（6八）=3，则cos(2- 2 )的值为3A.1B.-7C1393D.792018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 3 页 共 6 页5.上海浦东新区 2008 年生产总值约 3151 亿元人民 币，如果从此浦东新区生产总值的年增长率为 10.5%，求浦东新区最早哪一年的生产总值超过 8000 亿元人民币？某同学为解答这个问题设计了 一个程序框图，如图 1,但不慎将此框图的一个处 理框

4、中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污 染而看不到的内容的数学运算式应是(图1)(图 2)6.汽车的燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 4 页 共 6 页A.a = a bD a = a bnaflrSOOO/输出否7=5151, t?=l 1052005里程，如图 2,描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是A. 消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消 耗汽油最多C. 甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D. 某城市机动车最高限速

5、 80 千米/小时，相同条件 下，在该市用丙车比用乙车更省油7 .平行四边形ABCD中，AB=2，AD =1， 边CD上，则MA MB的最大值为D.2i8 函数f(x)=si n( x )( 0,)在区间(-,-)内是增函数，则24 2A.fl )B.f(x)的周AB A = -1，点M在A. 2B,3-1C. 04期为-2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 5 页 共 6 页C 的最大值为 49 已知三棱锥DABC的所有顶点都在球O的球面上，AB二BC=2，AC =2.2，若三棱锥A.8 n2 210 已知双曲线 笃*=1 0,b 0)的右焦点为F(c,0)，右顶a b7点为A，

6、过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线, 两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a c,则双曲线的渐近线斜率的取值范围 是A.：,一1 1,二B .-1,0 0,1C i，一.2 I 12,二D 11如图 3,画出的是某四棱锥的三视图，D.f()=0D ABC体积的最大值为2, 则球O的表面积为121二D 925 n32018 年汕头市普通高考第一次模拟考 理科数学 第 6 页 共正方形的边长为 1，则该几何体的体积为A. 15B. 16C.50312 已知f(x)、g(x)都是定义域为R的连续函数已知:g(x)满足：当X 0时，g(x) 0恒成立；-X R都

7、有g(x) =g(-x).f(x)满足： -x R都有f(x、3) = f(x_; 当x一3.3时，f(x)=x33x 若关于x的不等式gf(x) X(a2a 2)对x一号一2、3号一2 .3恒成立，则a的取值范围是A.RB.CD.(：,0U1,5330,12018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 7 页 共 6 页本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2223 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13 (x a)(2xI)5的展开式中各项系数的和为 2,则该展开X式中常数项为_.2 214 .已知椭圆

8、务*=1(a b .O)的左右焦点是Fi、F2，设P是a b7椭圆上一点，在7P上的投影的大小恰好为FP,且它们的夹角为二，则椭圆的离心率e为6x + y - 3 H 015 .若平面区域2x y3汕夹在两条平行直线之间，则当x-2y 3一0这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是16 在ABC中，A二一且亠nB=cos2C，BC边上的中线长为、7，6 2 2则MBC的面积是 _ .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 8 页 共 6 页仃（本小题满分 12 分）已知数列的前n项和为Sn,十2,且-n N,nSn.1-(n 1)Sn

9、二n(n 1).（1）求证：数列 岂为等差数列，并求数列的I. n J通项公式;（2）设0寸（-1）nan，求数列 g 的前n项和Tn.18 （本小题满分 12 分）如图 4,多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，AB = 2,DE5，二面角E-AD-C的余弦值为55，且EF/BD（1）证明：平面ABCD丄平面EDC；（2）求平面AEF与平面EDC所成锐二面角的余弦值19 （本小题满分 12 分）AE =3（图2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 9 页 共 6 页某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其 合格产品的质量y g与尺寸 x (mm)之间近似满足关系 式y=c

10、xb(b、C 为大于 0 的常数)按照某项指标测定， 当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随19 7丿机抽取 6 件合格产品，测得数据如下：尺寸 X(mm)384858687888质量 y (g)16.8 18.820.7 22.42425.5质量与尺寸的比丫x0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290(1)现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件， 记 为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期(2)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量 的值如下表：6Z(In XiIn yi )i土6送(In x )i壬6送(In yi )62E (In人)75.32

11、4.618.3101.4(i)根据所给统计量，求y关于x的回归方程；(ii)已知优等品的收益z(单位：千元)与x,y的关 系为z=2y-0.32x，则当优等品的尺寸 X 为何值时，收益z的 预报值最大？(精确到 0.1 )2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学 第 10 页 共 6 页附：对于样本(v ,uj(i=1,2,川,n),其回归直线u=bv + a的斜 率和截距的最小二乘估计公式分别为：nn送(Viv)(Uiu)送VjUinvub=，LUbV，x 2.7182.2 2 _ 2、(Vi-v)、Vi_nvi 4i 420.(本小题满分 12 分)已知抛物线C:x2=2py(p 0

12、)的焦点为F,直线l交C于A、B两点.(1) 若直线l过焦点F，过点B作x轴的垂线，交直 线OA于点M，求证：点M的轨迹为C的准线；(2) 若直线l的斜率为1,是否存在抛物线C,使得 匕匕=-2且OAB的面积为16，若存在，求C的方程；若不 存在，说明理由.21.(本小题满分 12 分)已知函数f( x= - 2x l +nx2- 2ax+ a2，其中a 0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2) 证明：存在a (0,1)，使得f(x)_0恒成立，且f(x)=0在区间(1,；)内有唯一解.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.作答时一定 要用2B 铅笔在答题卡上把

13、所选题目对应的题号涂黑2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 11 页 共 6 页(都没涂黑的视为选做第 22 题)22.(本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方在平面直角坐标系中，曲线 G 的参数方程为轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=4cosr.(1) 求曲线G的极坐标方程；(2) 射线 r =|-0与曲线C1,C2分别交于A,B两点 (异于原点。),定点M(2,0打求AMAB的面积.23.(本小题满分10分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数f(x) =x-a -2.(1)若a=1，求不等式f(x) + 2x-30的解集；(2)关于x的不等式f(x)x-

14、3有解，求实数a的取值范 围.2018年汕头市普通高考第一次模拟考试理科数学参考答案及评分标准第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分x = 2cos vy =2 2sin二(为参数)以坐标原点。为极点，x轴的正半2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 12 页 共 6 页60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题 号12345678910 1112答 案ABDBBDACDBCD第 u 卷本卷包括必考题和选考题两部分。 第 1321 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第 2223 题为选考 题，考生根据要求作答。1、填空题：本题共 4

15、小题，每小题 5 分题 号答 案13141516-40V3-12或扌说明：15 题只答一个数不给分（即得 0 分）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学 第 13 页 共 6 页仃（本小题满分 12 分）(1)法一：-n N,n&i-(n 1)&二n2n- 2又Siai21 1数列是首项为 2,公差为 1 的等差数列Ln J- 3分- 4分当n一2时，an= Sn-Sn 4= 2n当n=1时，印=2 - 6 法一:QnSn1(n 1)Sn=n(n 1)n(Sn 1- Sn) -Sn二n(n 1)，即卩nan 1- Sn=n

16、(n 1)故(n 1)an 2- Sn 1=(n 1)(n 2)-得：(n 1)an 2- nan 1- a. 1二2(n 1)Sn 1Sn_ 1n 1n色=2 (n -1)= n 1，即卩Sn= n2n_n N分2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 14 页 共 6 页an -2 -an 1=2- 2分又由可知a2-S,=2,即卩a a = 23 是首项为 2,公差为2 的等差数列，- 3分二 an=aj +(n -1) 2 = 2n- 4分Sn=n(2：2叽n(n+1)2Sn= n + 1 n- 5分仏=(n i)_(n-1) 1=1 n n -1卜是首项为 2 ,公差为 1

17、的等差数列.n- 6分(2)法一：解：由(I)得:bn=3n(-1)2n设数列3n4的前n项和分别为An，则人=兰=写7 分记Cn=(7)n2n，数列Cn的前n项和为B”当n=2k(kwN)时，C2z+c2k=-2(2k-1)+4k=2，贝Bj2k当n=2k_1(k=N*)日；,B2k4 = B2k-c2k= 2k -4k = -2 k2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学 第 15 页 共 6 页=(-1)n(2n1) -1A (-1)n(2n 1)-12- 10分又Bn=3313-3，=4 贅=(3n-1)1-32- 11分-n -1,n=n, n = 2k2k -1(k N )-

18、 11分3_2n_3,门=2k _i2Tn= ”1 ”(k N )- 12分法二：由（1）知bn =3心（1）n2n23n代=(-1)2 (-1) 4 (-1) 6(-1) 2n-代=(-1)22 (-1)34 (-1)46 九 九(_1)n 12n-得- 8 分2 舛=(-1) 2 (-1)22(-1)n2-(-1)n 12n1 -(-1 门1-(-1)(-1)n2n2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学 第 16 页 共 6 页1nn& 二 Bn人(-J 1) 3 1- 12分法三：由(1)知：由(1) 知bn=3n(-1)n2n1Q(-1)n2n(_1)n(2n -1)

19、(2n 1)2- 8分23nAn=(-1) 2 (-1) 2 2 (-1) 2 3 L (-1) 2n1-(1 3) (3 5) -(5 7)(-1)n(2n -1) (2n 1)1n(-1)(2n1)-12- 10分又Bn 731323nL J(3n-1),1-32- 11分1nnSn二 BnAn二(-1) (2n1) 3 12- 12分18.(本小题满分 12 分)(1)证明:/AD =2,AE=3,DE=、5，由勾股定理得:AD_DE-1 分又正方形ABCD中AD_DC, . 2 分且DEDC=D,DE、DC面EDC/. AD_ 面EDC -32018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数

20、学 第 17 页 共 6 页. AD面ABCD,平面ABCD_平面EDC4 分（注：第（1）只有一种证明方法，必须前面两个线线 垂直AD_DE和AD_DC都出现，下面的 3、4 分才能给分，只写一个，本题只给 1 分。上面一个垂直各占 1分。）（2 ）解：由（I）知EDC是二面角E AD C的平面 角 5 分作0E _ CD于O，贝卩0D = DE cos EDC =1,OE = 2由平面ABCD_平面EDC，平面ABCD平面EDC = CD，OE面EDC得：0E_面ABCD -6 分 （第 6 分给在 0E=2上，如果后面 E 的坐标写对，也可给这 1 分）如图，建立空间直角坐标系，之类，也

21、是正确的）2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 18 页 共 6 页设面AEF与面EDC所成二面角为 .由二为锐角得:（注：最后需要根据条件作答案为“正值”的说明，只算法向量答案，不做文字说明，扣 1 分。（第（2）问解法 2）/ EF/DB .I EF DB =(2,2 ,0)(，0) 设面AEF的一个法向量j（x,y,z）,卩y n AE二-2x y 2z = 0n，AF = 2x + 2ky = 0令x=2，得n = （2,2,3）,.9 分（后面步骤相同）（第（2）问解法 3）以 D 点建系的解法，求出来的法向量与以上建系的坐 标一样。（第（2）问解法 4:几何法）连结 B

22、D，延长 CB 至 G 使得 GB=BC=Z 连结 GA 并延长交 CD的延长线于 H,连结 EH过 C 作CK_HE的延长线于点 K,连结 BK5 分 B 为 CG 中点，AB/CD A 为 GH 中点， 二又面EDC个法向量为:诂二(1,0,0)-10 分11 分cosO = cos( n,-12 分cos：, n,2.17172018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学 第 19 页 共 6 页HD=CD=4 BD/GH GH/EF,/.H、A、G E、F 共面 6 分由(1 )知BC_ 面CDE.IBC _ HK又VCK _ HK.IHK_ 面GKC.GKC为所求二面角的一个平面角

23、8 分/ EH二HO2E02= .13而Rt HOE Rt HKC10 分NGKC为锐角 面AEF与面EDC乍所成二面角的锐角余弦值为.2 11719(本小题满分12分)G(1)解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即乂乏(0.302,0.388)x则随机抽取的 6 件合格产品中，有 3 件为优等品,3 件为非优等品-1 分现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，则取到优等品的件数=0,1, 2,3-2 分2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学 第 20 页 共 6 页EO HC 83 .139 分 .IKG二KC2CG24历.13 GKC =KCKG2.171711 分的分

24、布列为0123P1991.20202020-4.E( ) =0 1 2 3 - =32020 20 20 2-5(2)解：对y=c xb(b,c 0)两边取自然对数得lny = lnc blnx,- 6分(i)根据所给统计量及最小二乘估计公式有，n_二VU -nvuy75.3 -24.6 18.3“ 60.271b n寸2一2101.424.6 *60.54 2j vi- nvi W：- 7分P(=0)=等i20，P( =1)=也c6_ 920（算对两个给 1P( =2)=C3C3c6920P( =3) =C3C3c620A - /V a二u -bv=18.3-丄24.6 6=1I 2丿彳寻自

25、=ln（? = 1, 故（?= e- 8分1所求 y 关于 X 的回归方程为y = e x22018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 21 页 共 6 页- 9分(ii)由(i)可知，y =，则 = 2e,X0.32x由优等品质量与尺寸的比1f=竺=e e,e= X. 7,9，即x 49,81-10分令t if 7,9,Z(t)二-0.32t22et二-0.32(t )2e0.320.32当032 8.5 7,9时，？取最大值- 12即优等品的尺寸20. (1)证明：依题意得，直线分x ”72.3(mm),收益？的预报值最大.l的斜率k存在，过焦点F(0,2),故设其方程为：y二kx扌

26、,设点A(Xn yj, B(X2,y2), M (x , y),2X2py由p得：一x2- 2pkx - p2= 0,|y=kx +匕?则X1X2二-p2直线OA:yxXLX，直线X12p7OB : x = x2X1由27x得:X =X2X1p厂2PX2？，分又由直线l的斜率k存在，可得XI,2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 22 页 共 6 页故点M的轨迹在C的准线y-舟上(x = 0).- 5分证法二：依题意得，直线l的斜率k存在，过焦点F(0,号), 故设其方程为：y =k 2，设点A(心yj, Bgy),M (x , y)，x2=2py由p得：一x2-2pkx-p2=0

27、，贝V xX2二一p2|y=kx +匕?I 2过点B作X轴的垂线，与C的准线的交点为M(X2，诗)，而直线OA: y，将xy 代入直线OA方程得yX2寸X2夕,即直线OAXi2p27也过点M, -4 分又由直线l的斜率k存在，可得X = 0,故点M的轨迹在C的准线y = -上(x = 0).- 5分(注：因为题目是证明，故没有说明x = 0不扣分)2(2)解：由已知，设I:厂xb，设人区/)、B(X2y)，则今，厶P2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学 第 23 页 共 6 页2X25x1x2kOAkOB-x1x24 p2-一2， 得NX?二-8 p2由；2寫得:2x _2px_2p

28、b=0,则X1X2=2p，X1x? = 2pb，2_2pb _ _8p由p 0得：b =4pAB =42X1- X2= J2 J( X1 +X22-4x-6.2p又点0至U直为b-4P为才2102SOAB=12 p-1611故存在抛物线C:x12解法二：由已知，设l：“x b设A(x1, yj、Bg , y2)22p，2X2讨2-2p2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学第 24 页 共 6 页yiy2X1X2_2x1x24 pXrX2- -8p26分- 7 分22pb = 8p由p 0得：b =4p- 8分丁直线丨:八X b在y轴上的纵截距为b, 由SOAB=12lb| |x -X2

29、|=2p、.、x2)2-4x2=2p. 4p232p2=12p2=16,-10分解得2二-11分故存在抛物线C:x2=y满足条件-12分21.（本小题满分12 分）(1) 解：由已知，函数f（x）的定义域为（0,：）,g(x) =fx) = 2(x- 1- ln x- a)-1分由；2爲得:X22px 2pb =0，贝V X1X2=2P,%x2= -2pb,2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学 第 25 页 共 6 页所以g致)二2- -=x x-2分当X (0,1)时，gfx)0,g(x)单调递增-4分(2)证明：由f(x) =2(x-仁Inx- a) =0，解得ax- 5分令(X

30、)二2xln x X22x(x -1 In x) (x一1 In x)2二(11 nx)22x1 nx- 6 分则(1) =1 0, (e) =2(2 -e) :： 0于是，存在x。(1,e)，使得(x)=0-7分令a=X0-1-|nx=u(x0)-8分由(I)知：0=U(1)va=u(x) u(e) ue-2，即a (0,1)- 9分当a时，有f认)=0, f(x) =(x)=0由(I)知，f致)在区间(1/:)上单调递增2018 年汕头市普通高考第一次模拟考理科数学 第26页 共6页故： 当X. (1 ,Xo)时寸，fx) f(Xo )=0当X .(Xo,：)时,f仪)0,f (x) . f (Xo) =0- 10分又当x (0,1时，f(x) =(x -a。)2-2xlnX. 0.所以，当x (0,：)时，f(x)_0.- 11分综上述，存在a (0,1),使得f(x)_0恒成立，且f(x)=0在区间(1：)内有唯一解-12 分22.(本小题满分 10 分)选修 4-