高中数学证明不等式的基本方法（课堂PPT）

1、1证明不等式的基本方法比较法比较法2方法综述比较法是最原始，也是最常用的证明不等式的方法比较法是最原始，也是最常用的证明不等式的方法.作差比较作差比较 直接作差直接作差 平方作差平方作差 取对数作差取对数作差 作商比较作商比较(同号的时候才能用同号的时候才能用)作差后常见的处理方法：作差后常见的处理方法：配完全平方配完全平方因式分解因式分解有理化有理化分类讨论分类讨论3比较法证明不等式.,.).(.)()(.bnamnbmanmnmbabaabbbaababdacdcbabcad，证证明明且且都都是是正正数数若若，求求证证已已知知，求求证证已已知知题题组组134621122422422222.

2、,.sinsinsinsin,.mnnmnmnmbababanmbayxyxRyxbaaccbabcabccba求求证证已已知知，求求证证已已知知，求求证证若若题题组组000061542222222.,33442233222abbabaabbabaabababbanm常见的不等式：常见的不等式：取特殊值，可得到以下取特殊值，可得到以下对对4. )(log)(log.,.log)(log,.,.)()( ;)(,.)(xxxaaaaacbacbacbaabbabababaaaaabaaccbcbababaabba111010101298217312222求求证证：设设求求证证：已已知知是是正正数

3、数，求求证证已已知知是是正正实实数数，求求证证已已知知题题组组5证明不等式的基本方法综合法、分析法综合法、分析法6方法综述常利用分析法找思路，综合法表述，或分析综合结合常利用分析法找思路，综合法表述，或分析综合结合运用运用“添添”、“拆拆”、“并并”等代数变形技巧，灵活等代数变形技巧，灵活使用一些常用不等式使用一些常用不等式关注关注“1”这个常见条件这个常见条件1、运用拆、并项等技巧，凑成能运用基本不等式的形式。2、熟悉一些已证过的常用不等式形式：cabcabcbaabbaababbaabbaabbaabbababaababbaabbaaa222222222222502020024421223

4、0201)()(),(),(,)( ,)(,2)( ;)(;)(及及其其变变式式：）的的变变式式：7).(,.).(,.,.,.).()()()(,.,.)()(,.)(zxyzxyzcbaybacxacbRcbaRzyxcbaabccbacbannnaccbbacbabaccabcbacbaRcbaabccbaaccbbacbaaaaaaaRaaannnn2171634015011114213012211111142224442222333222222212121求证：求证：已知已知求证求证为互不相等的实数为互不相等的实数已知已知求证求证已知已知求证求证已知已知求证求证已知已知求证求证已知已

5、知求证求证且且已知已知课本习题课本习题题组题组8.:,.).()( ;)(:,.)( ;)( ;)(:,.34111203231119313323111185222222bacbacbaabccbacbaabcacbbcacbacabcabRcbacabcabcbacbacbaRcba求求证证满满足足已已知知实实数数求求证证且且已已知知求求证证且且已已知知题题组组*与“1”有关的证明9证明不等式的常用技巧放缩放缩10方法综述常见类型常见类型 1、添项或减项的、添项或减项的“添舍添舍”放缩放缩 2、函数的单调性放缩、函数的单调性放缩 3、重要不等式放缩（包括基本不等式、真分数性质）、重要不等式放

6、缩（包括基本不等式、真分数性质） 4、利用二项式定理进行放缩、利用二项式定理进行放缩 5、拆项对比的分项放缩，如：、拆项对比的分项放缩，如：122211111121121111111nnnnnkkkkkkkkkkkk!,)(!,)(,)(1、放缩成等比数列或可裂项求和的数列2、适当调整从第几项开始放缩3、注意放缩的幅度11*).()()()().(.)()(, )(.,.,.NnnnnSnnnnScbacacababaRcbacaddbdccacbbdbaaRdcbann12121151131111185421211322132211122222求证：求证：上海上海求证：求证：设设求证：求证：

7、若若求证求证已知已知题组题组添、减项放缩12.,)()(*).(,)(,),(),(),(.)(.)(.),(.2321110821312111127411212519164321131211121522111122221112222 nnnnnnnnnnnnnnnTSSSTSPxNnxxxPPxPxxyPnyxPyxPyxPxoynnnnnnnnn求求证证：的的面面积积为为设设圆圆是是等等差差数数列列；求求证证：数数列列且且若若又又彼彼此此外外切切与与圆圆且且圆圆轴轴都都相相切切为为圆圆心心的的圆圆与与以以点点的的图图象象上上位位于于函函数数点点对对每每个个非非零零自自然然数数平平面面上上有

8、有一一系系列列点点在在求求证证求求证证求求证证题题组组放缩成裂项求和13放缩成等比数列 ).(,)(.)().(,)(.)(,)(;)();(_,)(.,.,.124124524511816251115545553212142102112931111111111113221nnnnnnnnnnnnkknnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSnnbSabbaafaaaxxxfxxxxxxxxnbaxbabbbabaxbanaaaaaaa时时求证：当求证：当项和项和的前的前为为记记满足满足设数列设数列的大小，并说明理由的大小，并说明理由与与比较比较满足满足设正项数列设正项数列已知函数已知函

9、数求证：求证：；个更接近于个更接近于中哪一中哪一与与并说明并说明小小另一个比另一个比大大中一个比中一个比与与求证：求证：表示表示试用试用，不必证明，不必证明、填填时时填空当填空当满足满足、已知数列已知数列证明证明已知已知题组题组14二项式定理放缩 .:)()(.,*:.*.24225216166114121331121241122122nnanaanananNnananaanNnnnnnnnnnnnnn时时，在在证证明明的的通通项项公公式式；求求数数列列时时，有有且且在在满满足足列列已已知知各各项项均均为为正正数数的的数数，求求证证：的的通通项项数数列列，都都有有求求证证：对对一一切切题题组组

10、15证明不等式的常用技巧换元换元16方法综述的常见类型的常见类型).(tan,tan,tan)(;cottan)(;sincos)(;sin,cos)()( ;sin,cos)(;sin,cos)( CBACzByAxxyzzyxxxxxxxrbyraxrbyaxkrryrxkyxryrxryx，可可设设若若或或，可可设设对对于于或或，可可设设对对于于，可可设设若若，可可设设若若，可可设设若若6151430212222222222222：在对称式：在对称式(任意互换两个字母任意互换两个字母,代数式不变代数式不变)和给定字母顺序和给定字母顺序(如如abc)的不等式的不等式,可以增量进行代可以增量

11、进行代换换,代换的目的是减少变量的个数代换的目的是减少变量的个数, 使问题化难为易使问题化难为易,化繁化繁为简。为简。 17三角换元.|,.|),(,.:),(.20383417200161314915522222222222222bababaRbaRrbdacRrRdcrbadcbayxyxyxM求求证证：已已知知求求证证：，都都是是实实数数，且且已已知知上上，求求证证在在椭椭圆圆已已知知点点题题组组增量代换.:,.:,.11naaaaaacbacbaRcbacacbbacbann11203111941118622222222 求证求证已知已知求证求证且且已知已知，求证：，求证：已知已知题组题组18证明不等式的常用技巧构造构造19方法综述构造函数证明不等式构造函数证明不等式构造函数构造函数探讨函数的单调性或最值探讨函数的单调性或最值转化转化为不等式证明为不等式证明能化成同一代数结构的，抽象为一个函数的不同能化成同一代数结构的，抽象为一个函数的不同函数值函数值两个变量的，考虑主元思想两个变量的，考虑主元思想构造向量构造向量yxyxyxyxyx20构造函数mc