《四边形》考点例析

1、四边形考点例析本章的重点是掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形的性质和判定. 其考点主要有：考点1：特殊四边形的性质的应用例1（2005年重庆市）如图1，平行四边形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分别为E、F. 求证：BAE =DCF.（图1）CABDEF证明：四边形ABCD是平行四边形，ABE =CDF，AB= CD.又AEBD，CFBD，AEB =CFD = 90°，ABECDF. BAE =DCF.OABCDEF（图2）例2（2005年北京海淀）如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BEAC于E，CFBD于F.求证：BE = CF. 证明：四边形ABCD是矩形

2、，OB = OC.又BEAC，CFBD，BEO =CFO = 90º.BOE =COF.BOECOF. BE = CF.评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.例3ABCD图3EF（2005年北京市）已知：如图3，在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求证：BEC =CFB.证明：在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，梯形ABCD是等腰梯形. ABC =DCB.又AB = DC，BE = 2EA，CF = 2FD，BE = CF. BC = CB，BECCBF. BEC =CFB.【跟踪

3、练习】ABCDEF（图4）：1、（2005年广州市实验区）如图4，点E、F分别是菱形ABCD的边CD与CB延长线上的点，且DE = BF，求证：E =F.2、（2005年岳阳市实验区）如图5，已知正方形ABCD，把一个直角与正方形重合，使直角顶点与A重合，两边分别与AB、AD重合. 将直角绕点A按顺时针方向旋转，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时，作EAF的平分线相交于G，连结EG. 求证：（1）BEDF；（2）BEDG = EG. 考点2：特殊四边形的判别问题例ADBCEF(图6)MN4（2005年四川省实验区）如图6，E、F分别是 ABCD的AD、BC边上的点，

4、且AE = CF.（1）求证：ABECDF；（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论. （1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB = CD，A =C.AE = CF，ABECDF.（2）解析： 四边形MFNE是平行四边形.ABECDF，AEB =CFD，BE = DF.又M、N分别是BE、DF的中点，ME = FN.四边形ABCD是平行四边形，AEB =FBE.CFD =FBE. EBDF，即MEFN.四边形MFNE是平行四边形.评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论.图7ABCDEFO例5（2005年徐州市）

5、如图7， ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC. EAC =FCA.EF是AC的垂直平分线，OA = OC，EOA =FOC，EA = EC.EOAFOC . AE = CE.图8BCDAEF四边形AFCE是平行四边形.又EA = EC，四边形AFCE是菱形.【跟踪练习】：3、（2005年南京市）如图8，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF = CE，DF = BE，DFBE.求证：（1）AFDCEB；（2）四边形ABCD是平行四边形.考点3：开放型问题图9ABCDEF·O

6、例6（2005年梅州市）如图9，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.（1）如果 ，则DECBFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论.解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一.（1）AE=CF；OE = OF；DEAC，BFAC；DEBF等.（2）证明：四边形ABCD是矩形，AB = CD，AB CD. DCE =BAF.AE=CF，ACAE = ACCF，即AF = CE.DECBFA.ABCD图10EGOF例7（2005年沈阳市实验区）如图10，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点

7、（点E不与B、C两点重合），EFBD交AC于点F，EGAC交BD于点C.（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，ADBC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.解析：（1）证明：在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，梯形ABCD是等腰梯形. ABC =DCB.又BC = CB，AB = DC，ABCDCB. ACB =DBC.又EGAC，ACB =GEB.DBC=GEB. EG = BG.EGOC，EFOG，四边形EGOF是平行

8、四边形.OE = OF，EF = OG.四边形EGOF的周长 = 2（OGGE）= 2（OGGB）= 2OB.图11BADCOFEG（2）如图11，已知在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EFBD交AC于点F，EGAC交BD于点C.求证：四边形EFOG的周长等于2OB图12ABCDEF注意：若将矩形改为正方形，原结论成立吗？【跟踪练习】：4、（2005年山东济南）如图12，已知 ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F.（1）求证：CD = FA；（2）若使F =BCF， ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？请

9、你补上这个条件，并进行证明（不要再添辅助线）.考点4：图形的分割与拼接问题备用图（1）备用图（2）图13例8（2005年河南省实验区）有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释.解析：本题是一道方案设计题，现提供三种方案供参考：方案一：如图14（1），连结梯形上、下底的中点E、F，则S四边形ABFE = S四边形EFCD =.方案二：如图14（2），分别量出梯形的上、下底a、b的长，在下底BC上截取BE =（ab），连结AE. 则SABE = S四边形AECD =.方案三：如图14（3），连

10、结AC，取AC的中点E，连结BE、ED，则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的一半.分析此方案可知，AE = EC，SAEB= SEBC，SAED= SECD.SAEBSAED= SEBCSECD = S四边形ABCD.（3）ABCDE（1）ABCDEF（2）ABCDE图14图15例9（2005年浙江省）请将四个全等直角梯形（如图15），拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）解析：拼法有多种，现列举四例：【跟踪练习】：图165、（2005年山西省）请用与如图16全等的四个等腰直角三角形拼成一个等腰梯形.要求：（1）按1：1的比例画出所拼的图

11、形；（2）简要写出拼图过程.跟踪练习答案：1、证明：如图2，四边形ABCD是菱形，CB = CD，DCA =BCA.DE = BF，CE= CF.又CA = CA,CEACFA.E =F.2、（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABAD，BADB=ADF=EAF90°.BADEADEAFEAD，即BAE =DAF.ABEADF. BEDF.（2）ABEADF，AE = AF.AG是EAF的平分线，EAG =FAG.AG = AG，AEGAFG.EG = GF.GF = DFDG，BEDF，BEDG = EG.3、（1）DFBE，AFD =CEB.AF = CE，DF = BE，AFDCEB；（2）由（1）AFDC