概率论与数理统计习题及答案第三章

1、概率论与数理统计习题及答案第三章1.掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p(0p1),若以X表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X的分布列。解(Xk)表示事件：前k1次出现正面，第k次出现反面，或前k1次出现反面，第k次出现正面，所以k1k1P(Xk)p(1p)(1p)p,k2,3,L.2.袋中有b个黑球a个白球，从袋中任意取出r个球，求r个球中黑球个数X的分布列。rk r kP(X k) CbC,Ca b解从ab个球中任取r个球共有Cab种取法，r个球中有k个黑球的取法有C：C；k,所以X的分布列为max(0,ra),max(0,ra)1,L,min(b,r),此乃因为，如果ra

2、,则r个球中可以全是白球，没有黑球，即k0；如果ra则r个球中至少有ra个黑球，此时k应从r a开始。3 . 一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i个零件是不合格品，一一 1.,一* ，一，1的概率pi (i 1,2,3),以X表本三个零件中合格品的个数, i 1求X的分布列。解设AiP(XP(XP(X'第i个零件是合格品i 1,2,3。则0)111P(AA2A3)214124'1) P(AA2 A3 A A2A3 A A2 A3) P(AA2 A3) P(A1A2 A3) P(AA2 A3) 1 1 1 1 2 1 1 1 362 3 4 _2 3 4 2 3_ 4

3、 242) P(AA2A3 A A2A3 A1 A2A3) P(AA2A3) P(AA2A3) P(AiA2A3) 1 2 1 1 1 31 2 3 112 3 4 2 3 42 3 4 24,1236P(X3)P(AA2A3)23424.即X的分布列为X0123P±A11A-.242424244.一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概1率均为1,以X表不该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率2分布。11解P(X0)P(第一个路口即为红灯)1,2111P(X1)P(第一个路口为绿

4、灯，第二个路口为红灯),，224依此类推，得X的分布列为X0123-_11_1r.p24885 .将一枚硬币连掷n次，以X表示这n次中出现正面白次数，求X的分布列。1解X为n重贝努里试验中成功出现的次数，故XB(n,1),X的分布2列为nP(Xk)Cnk1k0,1,L,n26 .一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求(1)每分钟恰有8次呼叫的概率；(2)每分钟的呼叫次数大于10的概率。解设X为每分钟接到的呼叫次数，则XP(4)少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为以上。(1) P(X(2) P(X88) e48!4kkk4444e e k 8 k! k q k!0.

5、297710) ek 11 k!44 0.00284.7 .某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初至解设X为该商品的销售量，N为库存量，由题意0.99977P(X N) 1 P(X N)5k51P(XK)1eKN1KN1k!5K e k n 1 k!50.00023查泊松分布表知N 1 15 ,故月初要库存14件以上，才能保证当月不脱销的概率在以上。已知离散型随机变量 X的分布列为:P(X 1) 0.2, P(X2) 0.3,P(X解3) 0.5，试写出X的分布函数。X的分布列为P0.20.30.5所以X的分布函数为F(x)0,0.2,0.5,1,1,3.2,3,9.设随

6、机变量f(x)X的概率密度为csinx,0x0,其他.求:(D常数C(2)使P(Xa)P(Xa)成立的a.可见(1)1(2)P(XP(Xcosa0,10设随机变量f(x)dxcsinxdx0ccos2ca)a)1.sina2xdx1sinxdx21cosx21一cosx21cosa21cosa,2a2X的分布函数为1); (3) X的概率密度。F(x)ABarctanx求：(1)系数A与B;(2)P(1X11解(1)由分布函数的性质Ai(2)(3)P(1F(F(F(x)1)X的概率密度为f(x)已知随机变量求X的分布函数.F(x)12.设随机变量所以X的分布函数为LrctanxF(1)F(1)

7、X的概率密度为f(x)1e因2f(u)du一e,211e20,0.X的概率密度为eudu,-exdx2eudu,f(x)x,1x,其他.1,2,4)0,0,求X的分布函数.解f(x)的图形为X的分布函数为F(x)f(u)dux0,xudu,01xdx0x1(22x1,0x1,u)du,x2,2.0,2.1,2,13.设电子管寿命X的概率密度为100,100.100f（x）x20若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150小时内,至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用白最初150小时内烧坏的电子管数Y的分布列；（3） Y的分布函数。解 Y为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数,

8、Y B(3, p),其中p P(X 150)150 100100 x2dx(1)所求概率为 P(Y 2) P(Y2) P(Y 3)C32727'1k23k(2) Y的分布列为P(Yk)C3k-,k0,1,2,3,33即Y0123p_8_12旦27272727(3) Y的分布函数为F(x)82720272627x 0, 0x 11x2,2x3, x 3.14 .设随机变量f(x)X的概率密度为2x,0x1,0,其他.现对X进彳Tn次独立重复观测，以Vn表示观测值不大于的观测次数，试求随机变量Vn的概率分布。解VnB(n,p),其中0.1pP(X0.1)o2xdx0.01,所以Vn的概率分

9、布列为P(Vnk)Ck(0.01)k(0.99)nk,k0,1,L,n.15.设随机变量XU1,6,求方程x2Xx10有实根的概率.解设A'方程有实根，则A发生X240即|X|2,因XU1,6,所以A发生X2,所以624P(A)P(X2)6-240.8.61516.设随机变量XU2,5,现对X进彳T3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.Y B(3, p),其中3220327解设Y为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则53pP(X3)52所求概率为2_221P(Y2)P(Y2)P(Y3)C；233、.、.一117.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(单位：分)，服从参数为-的

10、5指数分布。若等待时间超过10分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行5次,以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布列及P(Y1)。解由题意YB(5,p),其中1:pP(X10)-e5dx105于是Y的分布为P(Yk)C；(e2)k(1e2)5kP(Y1)1P(Y0)1(1e510k0,1,2,3,4,5,25_一e)0.5167.18.一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为t的泊松分布。(1)求相继两次故障之间时间间隔经无故障工作了8小时的情况下，再无故障运行解(1)设T的分布函数为Ft(t),则FT(t)P(Tt)1P(Tt)事件(Tt)表示两次故障

11、的间隔时间超过T的概率分布；(2)求在设备已8小时的概率。t,也就是说在时间t内没有发生故障，故N(t)0,于F"t)1P(Tt)1P(N(t)0)1可见，T的分布函数为_,、1eFt。)0,0.即T服从参数为的指数分布。(2)所求概率为P(T16|T16,T8P(T8)P(T16)P(8)16e8"e19(1)(3)设随机变量P(101.1XN(108,32)。求117.6)；(2)常数a,使P(Xa)0.90；常数a,使P(|Xa|a)0.01o(1)P(101.1X117.6)(3(117.6108)32)(23)(101.1108)3(32)(23)10.99930

12、.989310.9886;所以(2)(3)0.90P(Xa)(a108a-081.28,所以a30.01P(|Xa|a)1111.84；P(|Xa|a)1P(0X2a)2a108),2a108)0.99,3a 57.495。20 .设随机变量N(2,解 0.3 P(24), 4且P(2-)X 4) 0.3 ,求 P(X 0) o查正态分布表知2a108co。2.33,所以（2）0.8P(X0)(022-)(-)10.2 。21.某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的%试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。9

13、67224解0.023P(X96)1()1(),24八24c12彳()0.977,2,1.所求概率为84P(60 X 84)(一72)(60 22)(-)(-)2(止)120.841310.6826.22.假设测量的随机误差XN（0,102），试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于的概率，并利用泊松分布求出的近似值。解设Y为误差的绝对值大于的测量次数，则YB(100,p),其中pP(|X|19.6)1P(19.6X19.6)1(1.96)(1.96)22(1.96)220.9750.05,所求概率为100kk100kP(Y3)C100(0.05)(0.95),k3利用泊松定理

14、100k55一e124 .假设随机变量 X的绝对值不大于1; P(X 1) -, P(X 1),84在事件 1 X 1出现的条件下，X在(1, 1)内任意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求：(1) X的分布函数；(2) X取负值的概率 P.解1设X的分布函数为F(x),则1当 x 1 时，F(x) 0,且 F( 1) 1 ,当 x 1 时，F(x) 1,0.875.k3k!23.在电源电压不超过200V,在200240V和超过240V三种情况下，某种电子元件，损坏的概率分别为，和，假设电源电压X服从正态分布N(220,252),试求：(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏

15、时,电源电压在200240V的概率。解设A '电子元件损坏，Bi'电源电压在第i档，i 1,2,3,则(1)P(A)P(Bi)P(A|Bi)P(B2)P(A|B2)收尸6旧)P(X200)0.1P(200X240)0.001P(X240)0.2(200-20)0.1 (240-20)(200_20) 0.001252525»,240 220、i1(-) 0.22520202020(一)0.1 ()(一)0.001 (1(一)0.225252525(1 0.7881) 0.1 (2 0.7881 1) 0.001 (1 0.7881) 0.20.0641(2)P(B2

16、| A)P(B2)P(A| 民)0.0057560.06410.06410.0898 .所以此时P(1X1)11P1时，由题意x|1k(x1),PP1F(x)1|12kx|1PxF(1)P(x,X1P1P(x|1X15x16故X的分布函数为F(x)1,5x7161x1,1.(2)P(X0)F(0)P(X0).16解2设X的分布函数为F(x),则1当x1时，F(x)0且F(1)18当x1时，F(x)1,当1x1时，设x,xx(1,1),且x0,由题意P(xXxx|1X1)kx,P(x X x x, 1 X 1)P( 1 X 1)k x,由此得P(xXxx)5kx两边同除以x得F(xx)F(x)x

17、令x0取极限得8k,F(x)5k8工两边积分得F(x)5kxC,85k c85-k8,1由F(1)及8183xlim0F(x):得解之得C,k7165x 716 '165xF(x)16综上所述，X的分布函数为0,x1,5x7F(x),1x1,161,x1.(2)P(X0)F(0)P(X0).1625.已知离散型随机变量X的分布列为X21013111111P5651530求YX2的分布列.解Y的分布列为01491711153053026.设随机变量X的概率密度为xfX(x)6,0,的概率密度fY(y)当x0时函数y0,0.ex单调增，反函数为xh(y)ln的概率密度为inyefY(y)f

18、X(h(y)|h(y)|01,解2设Y的分布函数为FY(y)，则FY(y)P(Yy)P(eXy)P(X1.12,y0,1,1.iny),1,10inye01,y1,xdx,y1,iny0y1.0iny1e1,1,fY(y)Fy(y)1.1.12,y0,1,1.27.设随机变量X的概率密度为fx(x)1(1x2),求随机变量Y1解1函数yWX的概率密度fY(y)13x严格单调，反函数为h(y)(1y)3,fY(y)fx(h(y)|h(y)|3(1y)2(1(1y)6)解2设Y的分布函数为FY(y),则R(y)P(Yy)P(13Xy)P(3X1y)1P(X(1y)3)3一1Fx(iy)，23(1

19、y)(1 (1 y)6)，Xe的概率密度；(2) Y21n X的概率所以fY(y)fx(1y)3)3(1y)228.设XU(0,1)，求(1)Y密度。解X的密度为1,0x1,fX(x)0,其它.(1)yex在(0,1)上单调增，反函数为h(y)1ny,所以Y的密度为fY(y)1 y e,0,其他.(2)y 21n x在(0,1)上单调减，反函数为1 IfY(y)2e2, y 0,0 , y 0.h(y)_ye ',所以Y的密度为29.设XN(0,1),求Y|X|的概率密度。解1函数y|x|在(，0)上单调减，反函数为h1(y)y,在0,)上单调增，反函数为h2(y)y,所以Y的密度为fY(y)fX(h1(y)|h1(y)| fX(h2(y)|h2(y)|,0,0.fY(y)y0,y0.30.设随机变量X服从参数为2的指数分布，试证Y1e2X在区间(0,1)上服从均匀分布。证只须证明Y的分布函数为0,y0FY(y)y,0y1,1,y1.FY(y)P(Y y) P1 e2X y0 ,y 0Pe2x 1 y, 0 y 1,1 ,y 10