概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章

1、第三章多维随机变量及其分布1.一在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X,Y如下：0,若第一次取出的是正品，X1,若第一次取出的是次品0,若第二次取出的是正品，Y1,若第二次取出的是次品试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P(X=i,Y=j尸P(X=i)P(Y=j)P (X= 0, Y=0 )=101210122536P (X= 0, Y= 1 )=1012212536536210P(X=1,Y=0)=-1212221

2、P(X=1,Y=1尸石而存或写成工01025536361513636（2）不放回抽样的情况10945121166102101266PX=0,Y=0=PX=0,Y=1=、210PX=1,Y=0=10','1211,、211066166PX=1,Y=1=一1211或写成70104510666611016666为3.二盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示PX=0,Y=2=C22C2C4135PX=1,Y=1=C3c2C2C4635PX=1,Y=2=c3c22c2C4635PX=2,Y=0=C32C2C4335PX=2,Y=1=211c32c2c21235

3、PX=2,Y=2=C2C2-cr335PX=3,Y=0=c33c2CT235PX=3,Y=1=C33c2CT235PX=3,Y=2=05.三设随机变量（Y)概率密度为f（x,y）k(6xy),0x2,2y40,其它(1)确定常数ko(2)求PX<1,Y<3(3)求P(X<1.5(4)求P(X+Y<4分析：利用P （ X, Y） CG二f(x, y)dx dyGf（x,y）dxdy再化为累次积分，其GDo0x2,中Do(x,y)2y4f (x, y)dxdy1k(621y)dydx,.k-8P(X1,Y3)1dx31-(628'y)dy(3)P(X1.5)P(X1

4、.5,Y1.5dx041-(628xy)dy2732(4)P(XY4)2dx0y)dy6.（1）求第1题中的随机变量（X、Y）的边缘分布律。（2）求第2题中的随机变量（X、Y）的边缘分布律。解：（1）放回抽1¥（第1题）XY2536363636Ax+y=4边缘分布律为X01YoiPi51pj516666不放回抽样（第1题）0104510666611016666边缘分布为X01Y01Pi_51Pj_5工6666解：X的边缘分布律X012133Pi8887.五设二维随机变量(X4.8y(2x)f(x,y)0解：fX(x)f(x,y)dyfY(y)f(x,y)dx(Y的边缘分布律3Y131

5、Pj62888,Y)的概率密度为0x1,0yx求边缘概率密度.其它X24.8y(2x)dy2.4x2(2x)0x100其它12、,4.8y(2x)dx2.4y(34yy2)0y1y)其它8.六设二维随机变量（X, Y）的概率密度为f(x,y)y,0xy求边缘概率密度。0,其它.解：fx(x)f(x,y)dyx0,eydyfY(y)f(x,y)dxydxyey,y0,x9.七设二维随机变量（X,Y)解：1=0,0,2cx的概率密度为f(x,y)2y,xy10,其它（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。1f(x,y)dxdydy0ycx2ydxyXfx(x)21x2ydy421x80,2(1y

6、fY(y)y212d2ydxy4072y5215.第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。解：放回抽样的情况PX=0,Y=0=PX=0P“a嚏PX=0,Y=1=PX=0PY=1=536PX=1,Y=0=PX=1PY=0=536PX=1,Y=1=PX=1PY=1=136在放回抽样的情况下，X和Y是独立的不放回抽样的情况:10945PX=0,Y=0=行而前PX=0=1012PX=0=PX=0,Y=0+PY=0,X=1=1012_9_2_101171115525PX=0PY=0=6636PX=0,Y=0WPX=0PY=0X和Y不独立16.十四设X,Y是两个相互独立的随机变量,X在（0,1）上服从均匀分

7、布。Y的概率密度为fY(y)-2eT,y00,y0.(1)求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。解：（1）X的概率密度为fX（x）1,x(0,1)0,其它Y的概率密度为fy(y)y2,y0且知X,Y相互独立,0,y0.是(X,Y)的联合密度为f(x,y)fX(x)fy(y)1/-e20x1,y0其它（2）由于a有实跟根，从而判别式4X24Y2P(YX2)2_即：YX记D(x,y)|01,0f(x,y)dxdy0D.1-dxe2dy021x21dx0x2de0x21e2dx0.20e2dx1.2(1)(2)12(0.84130.5)12.50663

8、120.341310.85550.144519.十八设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为tet,t0f(t)并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）设第一周需要量为X,它是随机变量设第二周需要量为Y,它是随机变量且为同分布，其分布密度为tet,t0f(t)Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知:f(x, y)Xxe yey x 0, y其它z>0当z<0时,当z>0时,fz （z） = 0由和的概率公式知fz(z)fx(z y)fy(y)dyz0(zy)e (zy) ye ydy3ze6fz(z)（2）设

9、z表示前两周需要量,其概率密度为fz(z)设E表示第三周需要量，其概率密度为:-xxe,x0fjx）0x0z与七相互独立刀=z+E表示前三周需要量贝U:o>0,.当u<0,。（u）=0当u>0时f,(u)f(uy)”(y)dyu 106(u y)(u y)ye ydy5-ueu120所以Y的概率密度为f4(u)5e12022.二十二设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160,202）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。解：设X1,X2,X3,X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：(t160)2fT(t)1e，0J2虱

10、20211180(t160)2fX180FX(180)()-dt,2202202u22 du180 60(20)入t160u_1_1e2e=S=0.8413设N=minX1,X2,X3,X4PN>180=PXi>180,X2>180,X3>180,X4>180=PX>1804=1pX<1804=(0.1587)4=0.0006327.二十八设随机变量(X,Y)的分布律为X012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040

11、.060.060.05(1)求PX=2|Y=2,PY=3|X=0(2)求V=max(X,Y)的分布律(3)求U=min(X,Y)的分布律解：（1）由条件概率公式P X=2|Y= 2=PX 2,Y 2PY 2=0.05_0.01_0.030.050.050.050.08二空0.20.25同理PY=3|X=0=1(2)变量V=maxX,Y显然V是一随机变量，其取值为V:012345PV=0=PX=0Y=0=0Y=1+ P X=0, Y=1PV=1=PX=1,Y=0+PX=1,=0.01+0.02+0.01=0.04PV=2=PX=2,Y=0+PX=2,Y=1+PX=2,Y=2+PY=2,X=0+P

12、Y=2,X=1=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16Y=2+ P X=3, Y=3PV=3=PX=3,Y=0+PX=3,Y=1+PX=3,+PY=3,X=0+PY=3,X=1+PY=3,X=2=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28PV=4=PX=4,Y=0+PX=4,Y=1+PX=4,Y=2+PX=4,Y=3=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24PV=5=PX=5,Y=0+PX=5,Y=3=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28(3)显然U的取值为0,1,2,3PU=0=PX=0,Y=0+PX=0,Y=3+P

13、Y=0,X=1+PY=0,X=5=0.28同理PU=1=0.30PU=2=0.25PU=3=0.17或缩写成表格形式(2) V012345Pk00.040.160.280.240.28(3) U0123Pk0.280.300.250.17(4) W=V+U显然W的取值为0,1,8PW=0=PV=0U=0=0PW=1=PV=0,U=1+PV=1U=0V=maxX,Y=0XU=minX,Y=1不可能上式中的PV=0,U=1=0,又PV=1U=0=PX=1Y=0+PX=0Y=1=0.2故PW=1=PV=0,U=1+PV=1,U=0=0.2PW=2=PV+U=2=PV=2,U=0+PV=1,U=1=P

14、X=2Y=0+PX=0Y=2+PX=1Y=1=0.03+0.01+0.02=0.06PW=3=PV+U=3=PV=3,U=0+PV=2,U=1=PX=3Y=0+PX=0,Y=3+PX=2,Y=1+PX=1,Y=2=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13PW=4=PV=4,U=0+PV=3,U=1+PV=2,U=2=PX=4Y=0+PX=3,Y=1+PX=1,Y=3+PX=2,Y=2=0.19PW=5=PV+U=5=PV=5,U=0+PV=5,U=1+PV=3,U=2=PX=5Y=0+PX=5,Y=1+PX=3,Y=2+PX=2,Y=3=0.24PW=6=PV+U=6=PV=5,U=1

15、+PV=4,U=2+PV=3,U=3=PX=5,Y=1+PX=4,Y=2+PX=3,Y=3=0.19PW=7=PV+U=7=PV=5,U=2+PV=4,U=3=PV=5,U=2+PX=4,Y=3=0.6+0.6=0.12PW=8=PV+U=8=PV=5,U=3+PX=5,Y=3=0.05或列表为W012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.05二H一设随机变量(X,Y)的概率密度为be(xy),0x1,0yf(x,y)0,其它(1)试确定常数b;(2)求边缘概率密度fX(x),fY(y)(3)求函数U=max(X,Y)的分布函数。解：(1) 1.1f(x,y)dydxbe(y)dydxb1e100(2) fX(x)f(x,y)dy0x0