一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

1、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系丘沪回忆与思考1. 一元二次方程 ax2+ bx + c = 0(aR)的根的情况可由 =b2 4ac来判定：2(1)当 b /ac>0 时,方程有 头数根,即 xi=, x2=.当b2Yac=0时,方程有 实数根,即 xi=x2=.当b2Yac<0时,方程 实数根.我们把b2 4ac叫做一元二次方程 ax2+ bx+ c = 0(aw.的根的判别式.(2)一元二次方程根的判别式的应用：不解方程,判别根的情况,特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况,可通过配方法把b24ac变形为土(m ± h)2+k的形式,由此得出结论,无论

2、m为何值,b2/ac力或b2 Yac<0,从而判定一 元二次方程根的情况.一般步骤是：先计算 ,再用配方法将 恒等变形,然后判断 的符号,最后得出 结论.根据方程的根的情况,求待定系数的取值范围； 进行有关的证实.(3)关于根的判别式的应用：对于数字系数方程,可直接计算其判别式的值,然后判断根的情况；对于字母系数的一元二次方程,假设知道方程根的情况,可以确定判别式大于零、等于零还是小于零,从 而确定字母的取值范围；运用配方法,并根据一元二次方程根的判别式可以证实字母系数的一元二次方程的根的有关问题.(4)应用根的判别式须注意以下几点：要用,要特别注意二次项系数 aw 0这一条件.认真审题

3、,严格区分条件和结论,譬如是.,.还是要证实Av.要证实>0或4<0,需用配方法将 恒等变形为土(m± h)2+k的形式,从而得到判断.2. 一元二次方程的根与系数的关系(1)如果方程 ax2+bx+c = 0(a加)的根是 xi 和 x2,那么 x+x2=, xix2=.特别低,如果方程 x2+ px+ q = 0的根是xi和x2,那么xi+x2=, xix2=.(2) 一元二次方程根与系数关系的应用.验根.验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用,应用时要注意三个问题：一要先把一元二次方程化成标准型,二不要漏除二次项系数aw0;三还要注意-b中的符号.a方程一根,求另

4、一根.不解方程,求与根有关的代数式的值. 一般步骤：先求出xi+x2,xix2的值,再将所求代数式用 xi+x2, xix2的代数式表示,然后将 xi+x2, xix2的值代入求值.两个数,求作以这两个数为根的一元二次方程：以xi, x2为根的一元二次方程可写成x2-(xi+x2)x+xix2=0 .(3)应用一元二次方程根与系数的关系时, 应注意：根的判别式b2Wac冷；二次项系数aw0,即只有在一元二次方程有根的前提下,才能应用根与系数的关系(4)求方程两根所组成的代数式的值,关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式(5)常见的形式：3.二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a

5、(x xi)(xx2).其中xi, x2是关于 x的方程 ax2+bx+c=0的两个实数根.陵【例1】不解方程,判定关于 x的方程根的情况 2x2Cx+8=0(2)9x2+6x+1=0 16x2+8x= 3(4)x2=7x+18(5)2x2 14k+1)x+2k 2 T = 0(6)x2+ (2t+ 1)x+ (t N)2= 0【例2】(1)关于x的一元二次方程 kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根,求 k的取值范围.(2)假设关于x的一元二次方程(a 2)x2Nax+a+1=0没有实数解,求 ax+3>0的解集(用含 a的式子表示)【例3】(1)关于x的方程x2mx+m2=0,求

6、证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m2+1)x2Nmx+(m2+4)=0没有实数根.例4 (1)方程x2 4x6=0的根是x1和x2,求以下式子的值：(x1 司(x2 3)x12+x22+x1x2*+*x2 x1(2)利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的根分别是方程 3x2 % T0=0各根的3倍；使它的根分别是方程 3x2iT0=0各根的负倒数.【例6】(1)：xx2是方程x2次+a=0的两个实数根,且11+'/3,求a的值. Xi x2(2)关于x的方程kx2+(k+1)x+ k=0有两个不相等的实数根.求k的取值范围；是否存在实数 k,使方程的两个实数根的倒

7、数和等于0?假设存在,求出k的值；假设不存在,说明理由团一、慎重抉择(每题3分,共30分)21 . 一兀二次方程 x 3xY=0的根的情况是A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定2 .以下方程中,没有实数根的方程式A.x2=9B.4x2=34x TC.xx+1=1D.2y2+6y+7=03 .关于x的方程kfx2+kx+1=0有实根,那么k的取值范围是A. kw2 B. k>2 C. k<2 且 kw1 D. k 为一切实数4.方程组露8的解是,言那么方程x2+ax+b=0A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.有两个根为2和

8、35 .关于x的方程x22k1x+k2=0有两个不相等的实数根,那么k?的最大整数值是A. -2 B. - 1 C. 0 D. 16 .关于x的方程k2x2+2k Tx+1=0有实数根,那么以下结论正确的选项是A.当k=1时,方程两根互为相反数B.当kg时,方程有实数根C.当k=0时,方程的根是 x= T口.当k=虫时,方程两根互为倒数7 .方程x2Wxf=0与方程x2 6x+3=0的所有根的乘积为 A. T8B.18C. 3D.38 . 一元二次方程 x2 -3x+1=0的两个根分别是 Xi, x2,那么Xi2X2+X1X22的值是1 1A. 3B . -3C. -339.假设a, b是方程

9、x2+2x-2021=0的两个实数根,那么 a2+3a+b的值是A. - 2007 B. 2021 C. 2021 D, 20219 .a , 3是关于x的一元二次方程 x2+2m+3x+m 2=0的两个不相等的实数根,且满足工+；= T,那么a pm 的值是A.3或 T B . 3C. 1.§或110 .关于x的一元二次方程 x2 kx+2k T=0的两个实数根分别是 Xi, x?,且为2+x22=7,那么xi %22的值是A. 1B. 12C. 13D. 25二、仔细填空每题4分,共20分11 .方程x2 mx+n=0有两个相等的实数根, 那么符合条件的一组 m,n的值可以是 m

10、=, n= .12 .假设x1 ="3 2是二次方程 x2+ax+1= 0的一个根,那么a =,该方程的另一个根 x2 =.13 .关于x的方程2x2+m29x+m+1 = 0,当m=时,两根互为倒数；当m=时,两根互为相反数.14 .以颇+1 , 被,为两根的一元二次方程是 .15 .关于x的一元二次方程 x2+mx+n=0的两个根为X1=1, X2= 2那么x2+mx+n分解因式的结果是三、知识理解每题6分,共12分16 .证实xTxT=k2有两个不相等的实数根.四、技能掌握每题6分,共12分18 .方程x2+3x+1=0的两个根为a、3,利用根与系数的关系,求以下各式的值: (

11、1)( “+1)( 3+1)；219 .：实数 a、b满足条件a a+2=0,b2 了b+2=0 ,且 ah 求a+b的值五、问题解决(每题8分,共16分)20 .xi , X2是关于x的方程x2 2(m+2)x+2m 2 T=0的两个实根,且满足 xi222=0,求m值.21 .关于 x的方程(m+1)x2+2mx+m 3=0总有实数根.(1)求m的取值范围.2(2)假设m在取值范围内取最小正偶数时,方程是否有两个根,假设有,设两根为xx2,求：3x1(1Yx2)的值;假设没有说明理由.22 .先阅读第题的解法,然后再做第题.5 P是方程x2 -7x +8 =0的两根,且ct卯,不解方程,求 +3日2的值. ct2一 c2c解：设一 , 3 ： = m, 3：= n,aP丁 巴P 是方程 x