2013全国初中数学联赛初赛答案及评分标准初三

1、2021全国初中数学联赛初赛答案及评分标准初三选择题本大题总分值42分,每题7分1 .-1< x< 0 ,贝U -21A . - x < x < - xC. x < - x < 一 xx2 , x , 1的大小关系是( x1 28. - < - x < xx1 2D. - < x < - xx解：由-1<x<0,得 x+1> 0 ,从而 x + x2 = x(x + 1)< 0 ,所以 x< - x2, /2p 11- x(1- x)(1+ x)1又 一 -x = = < 0 ,所以 < x

2、.x xxx应选D.2 . 如图,正方形 ABCD,点P是对角线 AC上一点,连接 BP,过P作 PQXBP, PQ交CD于Q,假设AP=CQ = 2,那么正方形 ABCD的面积为 A. 6+ 4 应B, 16C. 12+ 8 2D, 32解：如图,过 P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD,垂足分别 AD为 E、F、G.易证 RtAEPBZRtAFQPZRtFDP,所以 FQ=FD = EP=, EbjLl F 因此正方形ABCD的边长为2+ 2在,所以面积为2+ 2V22 = 12+ 8垃./："1 Q应选C.BC23 .假设实数a , b满足b + a- 2b+ 2=0

3、,那么a的取值范围是A. a? 1B. a? 1C. a £1D. a3 1解：将原式看作为关于 b的二次方程,那么其判别式4.2D = (- 2) - 4创(a+ 2)? 0 ,解得a? 1 .应选A.如图,在四边形 ABCD 中,/B=135°, ZC=120°,BC= 3-6,CD= 6 ,那么AD边的长为(A. 673B, 4V3C. 42D. 33解：过A和D点向BC作垂线,垂足为 M和N,那么 BM=AM= 点,CN=3, DN= 343 ,MN = BM + BC + CN = 6 ,所以应选5.方程AD2B .1-+x2_2=MN + (DN -

4、AM) = 48,所以 AD =3 =的正整数解x, y的组数是A. 0B. 1C. 3D. 5解：不妨设x? y一 一11320,那么一£一,所以一£一,解得y £ 4 .xy7y又显然y33,即3#y 4 .经验证：y = 3,y = 4均不符合条件.所以,符合条件的解的组数为0组.故答案选A.6.实数x, y, z 满足x + y +y + z z+ xB. 0_ 1 ,那么 x+ yC.2x +y+ z12工+ z+ x2二的值是x + yD. 2解：显然x+ y + z? 0 ,否那么x + y+ z上+ z+ x由得2即x +y+ z一 +z2y2所以

5、匚+y+ zz + x2上+z + xy+)(x+ y + z) = x+ y2 z+ z= x+ y + x+ y2z_ 0 . x + y应选B.填空题本大题总分值 28分,每题7分1.x是正整数,Ox表示x的正约数个数,那么X+等于 解：=2 ,=3,=4 ,所以X+=3 .故填3 .2.草原上的一片青草,到处长得一样密一样快,70头牛在24天内可以吃完这片青草,30头牛在60天内可以吃完这片青草,那么20头牛吃完这片青草需要的天数是解：设草原上原有草量为 a,每天长出量为b,并设20头牛在 由于一头牛一天的吃草量相等,根据题意可得方程组a + 24b a + 60b a + bx_ _

6、 .70 创2430 6020xx天内可以吃完这片青草.a + 24b a+ 60b 砥由_ 得 a _ 480b .70 创2430 603.代入 a + 60b _ a + bx30 ' 6020x480+ xb ,20x解得x = 96 .故填96.如图,在平行四边形ABCD中,M、 的中点,AM= 4, AN=3,且？ MAN 是.N分另I是BC、DC60?,那么AB的长解：延长AM交DC的延长线于 F,那么AMBA FMC .那么 CF=AB ,那么 NF=3 .-AB ,过N作NH垂直AF于H ,那么 AH= AN =, 22NH,3故 HF = 2? 4 -213万,nf

7、_.(323) +14AB = - NF =故填-.34.当他认为输完时,电脑上只显小明将1, 2, 3,n这n个数输入电脑求其平均值,示输入n- 1个数,且平均值为30.75,假设这n- 1个数输入无误,那么漏输入的一个 数是.解：依题意得 1+ 2 + L + n? 30.75(n 1)? 2 3+L+n,所以 n # 30.75 n2 ,即 59.5 # n 61.5 ,所以 n= 60 或 61 . 22由于30.75(n- 1)是整数,所以n=61.所以漏输入的数为61' 62 - 30.75? 60 46 . 2故填46.本大题总分值20分解方程 x2- |2x- 1|-

8、2= 0 .1 2解：当x3 时,原方程可化为 x - (2x- 1)- 2=0, 2解得吊=1+ J2, & = 1- V2 .又由于x2 = 1- 22<-,故应舍去. 10分2 2当x < 1时,原方程可化为 x - (- 2x + 1) - 2 = 0 ,2解得 x3 = - 3 , x4 = 1 .1又由于x4= 1 > 一,故应舍去.2四、本大题总分值25分如图,圆内接四边形 ABCD中,CB=CD,所以原方程的解为 x = 1 + 短和x= - 3 .20分求证：CA2- CB2= AB?AD ;证实：连结BD、AC交于点E,那么?BAE ?CAD ,

9、?ABE ?ACD , 所以 ABEA ACD ,所以些=AEACAD '所以所以所以所以五、所以 AB?AD AC ?AE .10 分又? CBE ? CAB , ? BCE ? ACB ,所以CBEsCAB, 15分CB CA=,CE CB2,CB = CA?CE , 20分2 _ _ 2CB + AB ?AD CA?CE CA?AE CA ,22CA - CB = AB?AD . 25分(本大题总分值25分)二次函数 y = ax2 + bx+ c和一次函数 y=-bx,其中 a、b、c满足a > b > c , a + b+ c= 0 . a,b,c? R.1求证：

10、两函数的图象有两个不同的交点A、B;2过1中的两点A、B分别作x轴的垂线,垂足为 A1、B1,求线段A1B1的长的 取值范围.(1)证实：由?y=ax2+bx+c 消去 y 得 ax2+2bx+c=0, ? y = - bxD = 4b2-222C 23 24ac = 4(- a- c) - 4ac= 4(a + ac+ c ) = 4(a + -) + - c .- a + b + c= 0 , a > b > c , a > 0 , c< 0 .3 2 八 一 c > 0 ,4. . D > 0 ,即两函数的图象有两个不同的交点. 10分 2解：设方程ax2 + 2bx+ c= 0的两根为x和x2,15分贝U xi+x2= - 一 , xix2= c .aa222,| AiBi | = (xi - x2)= (xi + x2)- 4xix222,2b、2 4c 4b - 4ac 4(- a- c) - 4ac=()=2- = 2a a aa.,c、2c一 .,c1、23,八=4() + + 1 = 4