2016年高考全国2卷理数试题

1、2021年普通高等学校招生全国统一测试理科数学考前须知：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两局部.第I卷1至3页,第n卷3至5 页.2 .做题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置3 .全部答案在做题卡上完成,答在本试题上无效4 .测试结束后,将本试题和做题卡一并交回.第I卷一、选择题：本大地2共题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有 一项为哪一项符合题目要求的.(1)z (m 3) (m 1)i在复平面内对应的点在第四象限,那么实数m的取值范围是(A)3,1(B)1,3(C) 1, +(D) - , 3【解析】A. . m 3 0, m 1 0,3 m

2、1,应选 A.(2)集合 A 1,2,3, B x|(x 1)(x 2) 0,x Z,那么 AUB(A) 1(B) 1,2(C) 0, 1, 2, 3(D) 1,0,1, 2, 3【解析】CB x x 1 x 20 , x Z x1x2,xZ,. . B 0, 1 , AUB 0, 1 , 2, 3 , 应选C.rrr rr(3)向量 a (1,m), b=(3, 2),且(a b) b ,那么 m=(A) 8(B) 6(C) 6(D)8【解析】D r r a b 4, m 2 ,r r. (a b)r r r rb,.二(a b) b 12 2(m 2) 0应选D.(4)圆 x22y 2x

3、8y 13 0的圆心到直线ax y43(A) -(B) 7(C) J3(D)234【解析】A22»22圆x y 2x 8y 13 0化为标准方程为：x 1 y 44,a 4 14故圆心为1, 4 , d 1 ,解得a -,a2 13 '应选A(5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,那么小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(A) 24 (B) 18 (C) 12(D) 9【解析】BEF有6种走法,F G有3种走法,由乘法原理知,共6 3 18种走法应选B.(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,那么该几何体的外

4、表积为(A) 20%( B) 24 兀 (C) 28 兀(D) 32 兀【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为 r ,周长为c ,圆锥母线长为l,圆柱高为h .2- 2由图得r 2, c 2 < 4式,由勾股定理得：l 1 22 2、；34 ,Sft / ch 1cl 4 n 16汽 8 汽 28汽,2应选C.假设将函数y=2sin 2x的图像向左平移一个单位长度,那么平移后图象的对称轴为 12(A)6k(B)6kz(C)ku2Bi2 k(D)ku27112平移后图像表达式为 y2sin2Tt12入支令2 x 一12kn+,得对称轴方程:2kn2应选B.(8)中国古代有

5、计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图,假设输入的x 2, n 2,依次输入的a为2,2,5,那么输出的s(A) 7(B) 12(C) 17(D) 34第一次运算:2,第二次运算:第三次运算:17,(9)假设应选C.兀 cos43 e, 一,那么 sin25(A)；5(B)(C)(D)725sin 2cos2cos2725,应选D.(10)从区间0, 1随机抽取2n个数x,y2 , ,yn,构成n个数对.必,X2,y2 ,Xn,yn ,其中两数的平方和小于1的数对共有 m个,那么用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为(A)4nm/ 、 2n(B) m(Q 4m/

6、、 2m(D) 一 n【解析】C由题意得：x,v i 1,2,n在如下图方格中,而平方和小于1的点均在如下图的阴影中由几何概型概率计算公式知4 m' .兀彳,应选c-22(11)Fi, F2是双曲线E:与 4 1的左,右焦点,点 a bM在E上,MF1与x轴垂直,sin MF2F1 1,那么E的离心率为33(A)亏2(B) 2(C) 73【解析】A(D) 2离心率eF1F2MF2 MF1由正弦定理得F1F2sin MMF2 MF1sin F1sin F2应选A.(12)函数f x x R满足为 X1 , y1 , X2 , y2 , ?,(A) 0(B) m【解析】Bf x 2 f x

7、 ,假设函数ymxm , ym ,贝U xi yii 1(Q 2mx 1与y f x图像的交点 x()(D) 4m由f x 2fx得f x关于0 , 1对称,一 x 11而y 1 一也关于0,1对称,xx,对于每一组对称点mmx V xi 1i 1本卷包括必考题和选考题两局部.第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2224题为选考题,考生根据要求作答.(13) 4ABC的内角4 一 5A, B, C的对边分别为 a, b, c,右 cosA 一 cosC 一,a 1 , 513cosAcosC513,sin Asin C1213,sin Bsinsin AcosC cos A sin

8、 C 6365 '由正弦定理得:sin B sin A-21解得b 13(14),是两个平面,m n是两条线,有以下四个命题:如果如果如果a/,那么m/如果m/所成的角和n与所成的角相等.【解析】15有三张卡片,分别写有 1和2, 1和3, 2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2",乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1",丙说：“我的卡片上的数字之和不是5",那么甲的卡片上的数字是【解析】1,3由题意得：丙不拿2, 3,假设丙1, 2,那么乙2, 3,甲1, 3满足,假设丙1, 3,那么

9、乙2, 3,甲1, 2不满足,故甲1, 3,ln x 1的切线,(16)假设直线y kx b是曲线y Inx 2的切线,也是曲线【解析】1 In 2. 1.y Inx 2的切线为：y x Inx1 1 (设切点横坐标为 x1)X11x2y In x 1 的切线为：y x In x2 1x2 1x2 111x1x2 11nxi1Inx21x2x2 111解得为x222b1nxi1 1 In 2.三、解做题：解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.(17)(本小题总分值12分)Sn为等差数列 an的前n项和,且口 1 , S7 28 .记bnIg济,其中x表示不超过x的最大整数,如 0.90, I

10、g99 1 .(1)求 b , 一 , M ；(n)求数列 bn的前1000项和.【解析】设an的公差为d , S7 7a4 28 ,a4 4, d a43 al 1 , an a (n 1)d n . . bIga1Ig1 0 ,屈IganIg11 1, b01Ig a®Ig1012.记bn的前n项和为那么T1000 b b2b1000Ig aIg a2Ig a000 .当 0w Igan1 时,n1, 2, 9 ;当 1w Ig42 时,n10, 11, 99;当 24Igan 3 时,n 100,101,999;当 Ig an3 时,n 1000., , T10000 9 1

11、90 2 900 3 1 1893.(18)(本小题总分值12分)某险种的根本保费为 a (单位：元),继续购置该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234>5保费a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234>5概率(I)求一续保人本年度的保费高于根本保费的概率；(n)假设一续保人本年度的保费高于根本保费,求其保费比根本保费高出60%的概率;(出)求续保人本年度的平均保费与根本保费的比值.【解析】设续保人本年度的保费高于根本保费为事件A ,P(A) 1 P(A) 1 (0.30 0.15) 0.5

12、5 .设续保人保费比根本保费高出60%为事件B ,P(B A)P(AB) 0.10 0.053P(A) 0.5511解：设本年度所交保费为随机变量X .X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05平均保费EX 0.85 0.30 0.15a 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.050.1a 1.23a ,0.255a 0.15a 0.25a 0.3a 0.175a,平均保费与根本保费比值为1.23.(19)(本小题总分值12分)如图,菱形 ABCD勺对角线 AC与BD交于点Q AB 5, AC 6,点E,

13、 F分别在AD CD5上,AE CF二,EF交BDT点H将DEF& EF折到 D EF的位置OD Jl0. 4(I )证实：DH 平面ABCD(II )求二面角B DA C的正弦值.【解析】证实：. AE CF 5 ,4,AE CF , -,AD CDEF / AC . 四边形ABCD为菱形,:.AC BD ,EF BD ,EF DH ,EF D H .AC 6,AO 3;又 AB 5, AO OB ,OB 4 ,AE OH OD 1 , AO DH D H 3 ,OD |2|OH |2 |D'H 2 ,D'H OH .又. OH I EF H ,D'H 面 A

14、BCD.建立如图坐标系 H xyz .B 5, 0, 0 , C 1 ,3,0, D' 0,0,3 , A 1 , 3,0,umuuuruuuAB 4 ,3 , 0 , AD' 1, 3, 3 , AC 0 ,6 , 0 , ur设面ABD'法向量n1x, y , z ,uu uunx 3n1AB 0 /曰 4x 3y 0由 uu uuuu 得,取 y 4 ,n1AD 0 x 3y 3z 01 z 5urn13,4,5.uu同理可得面AD'C的法向量氏 3 ,0,1 ,u mI cosn1 n29 57 5建 5 2 10252凝25 ,(20)(本小题总分值1

15、2分)2 2椭圆E: y- 1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k 0)的直线交E于A, M t 3两点,点N在E上,MAL NA.(I)当t 4, AM| |AN时,求 AMN勺面积；(II )当2 AM |AN时,求k的取值范围22【解析】 当t 4时,椭圆E的方程为 之 上1, A点坐标为2,0 ,43那么直线AM的方程为y k x 2 .22x y 1 2222联立 4 3并整理得,3 4kx 16k x 16k 12 0y k x 2解得 x 2或 x8k!,那么 AM |8k6 2 vl2 23 4k23 4k23 4k212k212由于AM AN,所以ANI由于 AM |

16、 |AN|, k 0,.2 12.212所以 *3 4k2 *4 ,整理得 k 1 4k2 k 4 0 ,3k,k3k4k2 k 4 0无实根,所以k 1 .1所以AAMN的面积为1 AMAM 2 11221 123 414449直线AM的方程为y k x t ,2 x联立ty2y 13k x t并整理得,3 tk22一x 2t tk2 2x t2k2 3t解得xt tk2 3 t3 tk2所以AM 1 k2t tk2 3 t23 tk1k2 36 t2 tk所以AN 1 k23k由于2 AM AN所以21k26 t23 tk21 k26 t二T ,整理得,3k 一k26k 3k3k 2由于椭

17、圆E的焦点在x轴,所以t 3,26k 3kk33,整理得k2 1 k 2一30k3 2解得3 2(21)(本小题总分值12分)(I)讨论函数f (x)ex的单调性,并证实当0时,(x2)ex0；(II)证实：当 a 0,1)时,函数gex ax2xa(x 0)有最小值.设g x的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.【解析】证实:x 0 时,2,2和 2,2 xx e2x 2时,f x 0上单调递增2x ex2xe a x 2x e ax a4xx xe3 0,1 2ex ax 2ac x 2 xx 2 e ax 2由知,0时,ex的值域为1 ,只有一解.0, 2使得t 2t 2(0,t)时

18、 g (x)0,g(x)单调减;当x (t,)时 g (x)0 , g(x)单调增et a t 1t2t 2 tt 1 et 2t2t0, 2 时,单调递增e t 12t 2请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题计分,做答时请写清题号(22)(本小题总分值10分)选修4-1 :几何证实选讲如图,在正方形 ABCDE,G分别在边 DADC上(不与端点重合),且D占DG过D点作D"CE垂足为F.(1) 证实：B, C, G, F四点共圆；(II)假设AB 1 , E为DA的中点,求四边形 BCGF勺面积.【解析】(I )证实：DF CERtA DEF sRDCEDGDF DEF BCFDF CFDG BC. DE DG , CD BC,DF CF-DG BCAGDF sBCFCFB DFGGFB GFC CFB GFC DFG DFC 90GFB GCB 180 .B, C, G, F四点共圆.(n) E为 AD中点,AB 1 ,1 . DG CG DE 2 '. .在 RtGFC 中,GF GC,连接 GB , RtA BCG© RtA BFG ,&边形 BCGF2Sa