固体物理复习总结

1、J,bi0,r r 2 rJ k) ( i aa?a3J k)0,J k)第一章晶体结构1试说明空间点阵和晶体结构的区别。答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，它是由几何点在三维空间理想的周期性规则排列而成，由于各阵点的周围环境相同，它只能有14种类型。晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此实际存在的晶体结构是无限的。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。2、证明体心立方格子和面心立方格子互为倒格子r a r r ai -（j k）r r r证明：（i）面心立方的正格子基矢（固

2、体物理学原胞基矢）：a2（i k）2r a r r -3 2（i j）r 2 r r由倒格子基矢的定义：bi （a2 a3）0,r 2 r r rb2 （i J k）同理可得：a即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。r 2 r r rb3（i J k）a所以，面心立方的倒格子是体心立方。rarrrai2（iJk）rarrr（2 ）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）： a2 （i J k）2r a r r r -（i J k）r 2 r r由倒格子基矢的定义：bi （a2 a3）b1 2同理可得:(a?b?b3aaarrr2,2，2i,j,k3aaaar raaaJJ，a2a3

3、JJ2222222aaaaaa2，2，22'2 '2a3)a2 r r 汀k)a2 rT(jk)2 r(jak)airak）即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。j)所以，体心立方的倒格子是面心立方。3、六角密堆结构的固体物理学元胞基矢为 求其倒格基矢。a -解：晶胞体积为G = a 0 x e=(%+討卜(些塢丿)如=学其倒格矢为屮二加号亡 I = 2充(一f 弟 +专加&E)x 二 二+J)G22*J3t2 c a j丽二如丁&二脸丄隔疋二破+专I” j =竺（-£十.G22 -J3a c a 3耳竺兽乩 2刃I2）加+紳X（-f 八歹）

4、滾二迈尼Q2222（% 怙 c4、一晶体原胞基矢大小 a 4 10 10m，b 6 10 10m，c 8 10 10m，基矢间夹角90 ,90 ,120。试求:(1) 倒格子基矢的大小;(2) 正、倒格子原胞的体积；(3) 正格子(210)晶面族的面间距。 解：(1)由题意可知，该晶体的原胞基矢为:a1aib(丄 i j)2 2a3ck由此可知:b1a?a3=2a1 a2 a331.、bc(T 2J) 2abc2a(i13j)b2a3 a1=2a1 a2 a3】acJ 23abc2b3a1a a：a2=2a33ab k2abc2所以b1b2b32a24b2c124,3al 1.2092 101

5、0m 13b1.81380.7854 1010m 11010m 1正格子原胞的体积为:a1a2 a3 = (ai) b(ck) = abc1.6628 10 28 m3倒格子原胞的体积为:b1 b 2 b 3 =( ia13j)(k)= c16 3厂 1.4918 1030m 3- 3abc(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为:dh 2Kh 2b1 1b2 0b34 .ia44.(.3a、3b)jx 10-10m 试求:10 10 m5、已知半导体晶格常数；固体物理学原胞基矢和倒格子基矢； 密勒指数为(110)晶面族的面间距；密勒指数为(110)和(1

6、11)晶面法向方向间的夹角。解： 由题意可知，GaAs的晶格为复式面心立方晶 格，其原胞包含一个 Ga原子和一个As原子，其中Ga原子 处于面心立方位置上，而As原子则处于立方单元体对角线 上距离Ga原子1/4体对角线长的位置上，如左图所示： 由此可知：(1)* Ga原子0 As原子44故 a -dJ3<32.45 1010m = 5.59 10 10 m(2)由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为:a1a(jk)2.7951010八(jk)a2i)2.7951010(ki)a3j)2.7951010 (ij)其倒格子基矢为：2b1( i j k) 1.124 1

7、010( i j k)a2b2(i j k) 1.124 1010(i j k)a2b3(i j k) 1.124 1010(i j k)a(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距为：d1102K 1101 b11 b20 b3a 2.795 10 10m2 根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角即为倒 格子矢K 110和K111之间的夹角，设为 ，则有:Kiio K111(1 b11 b20 b3)(1b11 b21 b3)arccos Kno| 卜誌1 S 1 b20 b|1S 1 b21 b?=arccos( 0.3015)107.556 Si具有金

8、刚石结构，其原子间距为，原子量为28,计算的Si密度。解：Si为金刚石结构，为两个面心立方沿体对角线移动1/4，因此体对角线的长 度为L=X 4=;金刚石结构的晶胞边长为 a -.、F730.5427nm晶胞的体积为v a30.159846nm3每个晶胞包含8个原子则1摩尔(28克)包含的晶胞数目为N=X 1023,对应体积 为 V=Nv=,密度为 m=28/V=S /cm3第二章晶格动力学1、什么是简谐近似？为什么简谐近似下晶格振动的简正模式是独立的，声子气 体是理想气体？解：1当原子在平衡位置附近作微小振动时， 原子间的相互作用可以视为与位移成正 比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做

9、简谐振动。这个近似即称为简谐 近似。2简谐近似下，点阵振动的简正模式是独立的，声子气体是理想气休考虑 到非简谐效应，各格波可以有相互作用，声子气体是非理想气体，但在势能的非 简谐项比简谙项小得多的情况下，声子气体仍可近似地当作理想气体处理，不过这时要考虑声子与声子的碰撞.这是因为没有声子与声子之间的碰撞，点阵就不可能过渡到热平衡分布，同时也没有点阵热阻.2、 什么是晶格振动的光学支和声学支？长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？答：1离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种原胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动晶格振动，因此称这种振动为光学波或光学支或光频支。

10、在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致， 振幅和位相均相同，这时的格波非常 类似于声波，所以将这种晶格振动称为声学波或声学支或声频支。原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动。2长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低,它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波3、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果

11、？如果晶体是无限 大，q的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况 一样，即第j个原子和第jtN个原子的运动情况一样，其中 t = 1，2，3,。引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢 q的取值将趋于连续。4、一维无限长原子链，原子质量为m和M且m<

12、;M相邻原子间距均为 a,恢复力系数为晶格常量为2a。试证明格波的色散关系：=（曲 + Af） 土 Jfn +M +2m,Wcos2fl?rnM解：HIii* 口 丁1U；(2«-2Ju ' ("Th ；2楓 卩旷IM(狡卩旳考虑一个由质星m和质星N两种捺子（设M>m）等跆相间 排列的一维双原子链，设品格常数为2玄平衡时和邻两原子 的间距为比 原子间的力常数为矗在t时刻两种原子的位移 分别为若只再虑近邻竦子间的弹性和直作用，则运动方程为； d 'itM 击= Q （昇2卄I +理牯-I -加d' m 二丁 =卩任冇+巾十一 2w2fl+1）ar

13、试解:% 严s讪2 n代入方程得2/? | A + 2/7 cos(7<7 I 5 = 020 cos | A + i mco2 2/3 ) B = 0若4, £不全为零，必须其系数行列式为零，即:Marm 22=0fi?2 = P (m + M) 土 Jm2 + M25、在一维双原子链中，如 M / m 1，（ 1）求证:sin qa ；2 (1cos2qa)1。m M（2）画出 与q的关系图（设 M /m 10 ）。解：（1）在一维双原子链中，其第2n个原子与第2n 1个原子的运动方程为X2dt2x2nx2n22Xnx2nx2为解方程组（1）可令X2nX2nAe'(

14、2n) qa tBei(2n1)qa t(2)将（ 2）式代入（1 ）式可得出m2)a（t cosqa）A （ M从A、B有非零解，方程组（2（ cosqa）B 0 m2M2)B 03）的系数行列式等于零的条件出发，可得(3)可解出得4 2(mm>2 24 sin qa 0 M m2(M(M m)224一sin qa M m(4)当（4）式中取“”号时，有 M / m2 (M m)1ImM1 ,（ 5）式中有(14Mm(M m)21sin2 qa)2(5)(M m)Mm4m . 2 sin qa MM _ 4Mm， 2Mm m (M m).2 4Mm . 2sin qa 丁 sin qa

15、M11221(1qa)qa12Mm2sin112(Mm)2(6)2(M1(Mm)M(Mm)Mm22-(1(12mm2(12m2211121223厂v'2/m/5mOq2a2aaa5m2qa)2sin2.2 sin qa那么（5）式可简化为4m 2cos qa 1 M那么（6）式可简化为1m 2、2cos qa)2M(2)当 M /m10时，则（4）式可化为v;11 /5m图一维双原子链振动的色散关系曲线当（4）式中取“ + ”号时，有4Mm 22 cos qa (M m)4Mm 2 cos qaM 24cos2qa)-Mm1 4m 2、cos qa)2 Mm 2、cos qa) M此时

16、,与q的关系图，即色散关系图如下图所示:1 (1 m4m . 2 sin M4m . 2 sin MMm M / m（6）式中有10m,100m2(M m) 1 Mm4Mmqa22 cos m)MmMmm MmMm6、在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界 q处，声学支格波中所有2a轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子 M静止。2）qt 0,声学支和光学支格波分别有 什么特点？解：设第2n个原子为轻原子，其质量为 m，第2n 1个原子为重原子，其质量为 M , 则它们的运动方程为为解万程组（1）可令将（2）式代入（nX2d2t2 d d1nn2(Xnx2nx2n22X171n x2

17、2X2nX2nAe'(2n) qa tBei(2n1)qa t(2)1 ）式可得出（2m2（ cosqa）B 0m、八2cosqa）A （M2)A(3)从A、B有非零解，方程组（2)B 03）的系数行列式等于零的条件出发，可得可解出得4 2(mm)2 24 sin qa 0 M m2 (M（M一)24一 一sin2 qam M m(4)令q石，则可求得声学支格波频率为,光学支格波频率为2m由方程组（3）可知,在声学支中，轻原子m与重原子M的振幅之比为2 cosqa/m2 /m 2 /Mm静止。M与轻原子m的振幅之比为由此可知，声学支格波中所有轻原子 而在光学支中，重原子2 cosqa/

18、M °2 /M 2 /m由此可知，光学支格波中所有重原子M静止。2）声学支格波特点： 原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，即原胞中的两种原 子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动。当？TO时，O + -HT原胞中两种原子振动位相完全相反口mLvJL光学支格波分特点：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子基本上无相对振动。当q->0时第三章 金属自由电子理论1、请推导出绝对零度下金属自由电子费米能量的表达式价金属，已知晶格常数为 米面上电子波长入F。a=3*10-1 °nm 请计算费米能量压；对于一个简单立方点阵的单

19、Ef、费米波矢kF、费米温度Tf及费解：1自由电子状态密度金属中的电子浓度为:因此，A败）心帚占2.电子浓度 n,n=1/a 3=1/(3*10 "8)3=*1022cm3费米波矢你之3沪时沪厶严-（犹'严费米温度因而，费米面上电子波长为费米能量Ef=费米波矢kF=*108cni1费米温度Tf=47000K费米面上电子波长入F=*10-8cm=6,094 ?2、限制在边长为 L的正方形中的N个自由电子，电子的能量为2E(kx,ky)2m(k：ky)。试求：(1)能量EE dE之间的状态数；(2) 此二维系统在绝对零度的费米能量Ef；(3) 电子的平均能量总。解：(1) K空间

20、中，在半径为 k和k dk的两圆面之间所含的状态数为dZL22 kdkkdk(1)这也就是能量在 EE dE之间的状态数，由电子的能量表达式可得2mE 2m 1mkdk L y-2Z!dE "2将(2)式代入(1 )式，并考虑到每个状态可容纳 2个自旋相反的电子，这样可得能量在EE dE之间的状态数为 dZ2竺dE2mL22dE(2)由(1)问可知，该系统的自由电子的状态密度为(E)dZdEmL2在绝对零度下，由下式eF(E)dEEFmL22 | 2dE 叫 EF由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为eFN 2mL2(3)电子的平均能量为EoeFE (E)dE00EF 2mL2Ed

21、E2mL 1 N(盂2-)22mL23、利用电子漂移速度 v的方程m(dV -)dte .证明在频率下的电导率为1 i2()(0)2。其中(0) ne /mo。e 0 m (1 i )解：设电场为0e ' t，则有dvV、i t或dvve 0 itm()eoedtedtmdv v齐次万程0的通解为 vtcedt设非齐次方程的特解为i tv Ae ,则有iAe i t 1Aei te oe从上式可求出特解的待定系数A为A故非齐次方程的通解为t. 一e 0 ev cem (1 i )上式中的第一项随时间的增大迅速衰减，表示电子在电场作用下的驰豫过程，对电流没有贡献，对电流有贡献是第二项，如

22、果在电场的作用下，单位体积内含有n个电荷为 e的电子，则其电流密度 j( ) n( e)v故()2 nei toe()m (1i )2 ne1(0)1 im (1i )1 ( )22其中(0)叱m4、金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此， 电子不服从经典统计而服从量子的费米-狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼-佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的

23、贡献是很小的。金属自由电子论在 k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。第四五章能带理论1、布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？解：布洛赫电子论作了 3条基本假设，即绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可 把电子的运动与离子实的运动分开来处理；单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。2、近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？按自由电子近似和紧束缚近似

24、，说明晶体中禁带产生的原因是什么？解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是： 选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构按自由电子近似，零级近似波函数是平

25、面波，它在晶体中传播如同 X射线。当波矢k不满足布拉格条件时，晶格的影响很弱，电子几乎不受阻碍地通过晶体。但当k = nn /a (处在布里渊区边界)，波长入=2 n /k = 2a/n正好满足布拉格反射条件，受到晶格的全反射，反射波和入射波干涉形成驻波，使电子分布密度发生变化。一部分主要分布在离子实之间， 受离子实吸引较弱， 势能较高，一部分主要分布在离子实周围，受离子实吸引较强，势能较 低。由此出现能隙。按紧束缚近似，原来孤立原子的每一能级，当原子相互接近组成晶体时，由于原子间的相互作用就构成一个能带，若原子间距离越小， 原子波函数间交叠越多，相互作用越大，能带宽度就越宽。3、试述晶体电子

26、作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做 准经典粒子。p k ；1v kE(k);F dk dt112E(k)m = k k准经典运动的基本公式有：晶体电子的准动量为晶体电子的速度为晶体电子受到的外力为晶体电子的倒有效质量张量为在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足:dkdt-(E v B)dvdt4(E v B)m4、试说明有效质量、空穴的物理意义？为什么在能带顶部，电子有负的有效质量？说明负 有效质量的物理含义。解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力

27、直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。当满带顶附近有空状态 k时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化， 完全如同存在一个带正电荷 q和具有正质量*m、速度v(k)的粒子的情况一样，这样一个假 想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的 问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。晶体中电子运动同时受外力和晶体周期性势场力的作用，将周期性势场力的作用归并到 晶体中电子的质量中， 得到有效质量。所以它可以与电子质量有很大差别。电子通过与原子散射交换动量。当电子从晶格

28、获得的动量大于付出给晶格的动量时，有效质量大于零；电子从晶格获得的动量小于付出给晶格的动量时，有效质量小于零。电子的有效质量是电子在晶格的周期性势场中运动的表观质量。有效质量倒数张量定义 为：有效质量体现了周期场对电子运动的影响，它的大小仍可视为电子惯性大小的量度， 而有效质量的正、负体现了电子在晶格和外场之间的动量传递关系。在能带底部附近，电子有效质量大于零，表示电子将从外场中获得的动量传递给晶格。在能带顶部附近，电子有效质量小于零，表示电子将从晶格中获得的动量传递给外场。5、试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带

29、，后者可 以起导电作用，称为导带。在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺 了少数电子，从而导致一定的导电性。在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带 不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电。h716、设有一维晶体的电子能带可写成E（k） 2（ coska cos2ka），其中a为晶格ma 88常数，m是电子的质量。试求（1）能带宽度；（2）电子在波矢k状态的速度；（3 ）带顶和带底的电子有效质量。解：（1）E（k）4(7ma2 8coskacos2ka)=82ma2coska+ (2 cos ka 1)8 8=h24

30、ma22(coska 2) 1当 ka= (2n+1) 时,n=0,1,Emax (k)2h22ma当 ka=2n时，Emin(k)能带宽度二Emax Emin2h22ma(2)1 dE(k) h dkhi2eh(sin mam(coskaka1 .sin42ka)1 cos2ka)0时，带底，m 2m当k 一时,带顶，ma7、证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大 倍，对于三维简单立方晶格，其相应的倍数？解(a)二维简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子晶格基矢 A i?Baa_0aaa第一布里渊区如图所示:区边中点的波矢为Ka一？角顶B点的波矢为aKb自由电

31、子能量h22mKxKyKZ2A点能量Ah22mK：h2h22m2mB点能量Bh22mK；Kyh2h22m2mi?B a,所以?Cb/ a 2-k?,ab)简单立方晶格的晶格常数为第一布里渊区如图2a,倒格子基矢为7 2所示.A点能量h22m aB点能量忆k22mK；K；h2 2m a所以b/h22m8、证明：应用紧束缚方法，对于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的相互作用，其 态电子的能带为E(k) Emin 4JSin2(ka/2)。式中：Emin为能带底部的能量；J为交叠积分。并求能带的宽度及能带顶部和底部电子的有效质量。解：设S态的原子能级为S,当只计及最近邻格点的相互作用时，则用紧束缚

32、方法可求得该一维单原子链的s态电子能量为E(k) s JoJ(Rs)e kRsRs近邻上式中Jo2i(E U(E) V( 3dE 0 ,J(Rs)i (E Rs)U(E V( 3 i( Ed 3 0 (其中U(E)表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和。V (E)为某格点的原子势场)由于s态波函数是球形对称的，因而在各个方向重叠积分相同。在一维单原子链中，每个原子周围有2个近邻格点，其格矢分别为 ai和 ai，由此可知一维单原子链的 s态电子能量可化为：E(k) s J0 J(e ka eka)s J0 2 J coskas J0 2J 4Js in 2(ka/2)上式中 J J(ai) J( ai)i (E ai)U(3 V( 3 i(0由此可知，当k0时，即能带底的能量为 Emins Jo 2J ；当k ,即能带 a顶的能量为Emax sJ。2J于是可证得一维单原子链的s态电子能量为E(k)2Emin 4J sin (ka/2)并且还可得能带宽度为E E max Emin4J由此还可求得有效质量m (k)2严dk22a2J coska于是可求得能带顶部的电子有效质量m( a)2a2