Mathematica——常微分方程、拉氏变换与级数实验

1、§13.5学习目标1. 会用Mathematica求解微分方程（组）；2. 能用Mathematica求微分方程（组）的数值解；3. 会利用Mathematica进行拉氏变换与逆变换；4. 能进行幂级数和傅里叶级数的展开。一、 常微分方程（组）Mathematica能求常微分方程（组）的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围，功能很强。但不如人灵活（例如在隐函数和隐方程的处理方面），输出的结果与教材上的答案可能在形式上不同。另外，Mathematica求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。在本节中，使用Laplace变换解常微分方程（组）的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方

2、法如今可以轻而易举的实现了。求准确解的函数调用格式如下：DSolveeqn，yx，x 求方程eqn的通解y（x），其中自变量是x。DSolveeqn，yx0= =y0，yx，x 求满足初始条件y（x0）= y0的特解y（x）。DSolveeqn1，eqn2，y1x，y2x，x 求方程组的通解。 DSolveequ1，y1x0= =y10，y1x，y2x，x 求方程组的特解。 说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。微分方程的表示法只有通过例题才能说清楚。例1 解下列常微分方程（组）：2y1+y22+(x+1)，（2）y¢= （1）y¢=， （3

3、） x+1(x+x3)y5常微分方程、拉氏变换与级数实验 ìy¢=z， í¢z=-yîìy¢=z （4）í的通解及满足初始条件y（0）=0，z（0）=1的特解。îz¢=-y解：In1：=DSolveyx= =2yx/（x+1）+（x+1）（5/2），yx，xìì2üü Out1=ííyx®(1+x)7/2+(1+x)2c1ýý 3þþîîIn2：=DSolveyx=

4、=（1+yx2）/(x+x3）yx)，yx，x-1-Out2=yx®-11+c1-1-+c122xx， yx® 11+2+2xxIn3：=DSolveyx= =zx，zx= = -yx，yx，zx，xOut3=yxC1Cosx+ C2Sinx，zxC2Cosx- C1SinxIn4：=DSolveyx= =zx，zx= = -yx，y0= =0，z0= =1，yx，zx，xOut4=yxSinx，zxCosx提示：认真观察上例，可以从中学习输入格式，未知函数总带有自变量，等号用连续键入两个等号表示，这两点由于不习惯会出错！导数符号用键盘上的撇号，连续两撇表示二阶导数，这与习

5、惯相同。自变量、未知量、初始值的表示法与普通变量相同。说明：输出结果总是尽量用显式解表出，有时反而会使表达式变得复杂，这与教科书的习惯不同。当求显式解遇到问题时，会给出提示。通解中的任意常数用C1，C2，表示。例2 求解下列微分方程：（1）y¢¢¢+3y¢¢+3y¢+y=(x-5)e-x，（2）x2+(y¢)2=1，（3）y¢=xy。解：In1：=DSolvey¢¢¢x+3yx +3yx + yx = =（x - 5）Exp-x，yx，x1-x2æx2ö-x

6、0;5x2x3ö Out1=yx®exç-5x+÷+exç-÷+ ç÷ç÷22ø3øèè25x3x4ö-x-x-x2 1e-xæç÷-+eC1+exC2+exC3 ç÷2è34øIn2：=Simplify%Out2=yx®1-xe(-20x3+x4+24C1+24xC2+24x2C3) 24In3：=DSolvex2 + yx2 = = 1，yx，x1ArcSinx+

7、C1， Out3=yx®-x-x2-22yx®1ArcSinxx-x2-+C1 22In4：=DSolveSqrtyx = = x yx，yx，xOut4=yx®-3 3x-C1说明：由以上可以看出对方程的类型并无限制，但是输出的答案未必符合习惯，例如第一个方程的答案需要化简，有时即使化简后也未必与教材上的答案一致。例3 求微分方程2dy+2xy=xe-x的通解。 dx解：In1：=DSolveyx+2x yx= = x E（-x2），yx，x66212 Out1=yxe-xx2+e-xC1 2这就是所给微分方程的通解。式中的C1是通解中的任意常数。上述命令也可以

8、输入为：DSolveDyx + 2x yx= =x E（ - x2），yx，x。例4 求微分方程xy+ y - ex = 0在初始条件y|x=1 = 2e下的特解。解：In1：=DSolvex*yx+yx-Ex= =0，y1= =2E，yx，xe+exOut1= yx x二、 常微分方程（组）的数值解函数NDSolve用于求给定初值条件或边界条件的常微分方程（组）的近似解，其调用格式如下：NDSolveeqns，y1，y2，x，xmin，xmax 求常微分方程（组）的近似解。 其中微分方程和初值条件的表示法如同DSolve，未知函数仍有带自变量和不带自变量两种形式，通常使用后一种更方便。初值点

9、x0可以取在区间xmin，xmax上的任何一点处，得到插值函数InterpolatingFunctiondomain，table类型的近似解，近似解的定义域domain一般为domain，table，也有可能缩小。例5 求常微分方程y= x2 + y2，满足初始条件y（0）= 0的数值解。解：In1：=s1=NDSolveyx= =x2+yx2，y0= =0，y，x，-2，2Out1=yInterpolatingFunction-2.，2.，< >In2：= y=y / . s11Out2=InterpolatingFunction-2.，2.，< >In3：=Plotyx，x，-2，2，AspectRatioAutomatic，PlotRange-1.5，1