选修2-1第三章空间向量与立体几何教案2[1]

1、课 题：空间向量及其线性运算F1F2F3一、创设情景1、平面向量的概念及其运算法则；2、物体的受力情况分析二、建构数学1空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律：3平行六面体：平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

2、4共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线5共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量、（），/的充要条件是存在实数，使.aBAOlP推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 其中向量叫做直线的方向向量.三、数学运用1、例1 如图，在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）;ABCA1B1C1（2）;（3）解：（1）（

3、2）（3）2、如图，在长方体中，点E,F分别是的中点，设,试用向量表示和OA/CFED/B/ADB解：3、课堂练习 已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）； （2）； （3）四、回顾总结 空间向量的定义与运算法则五、布置作业课 题：共面向量定理教学目标：1了解共面向量的含义，理解共面向量定理；2利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理 教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题教学过程：一、创设情景1、关于空间向量线性运算的理解BMNADCABCDMN平面向量加法的三角形法则可以

4、推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。 从平面几何到立体几何，类比是常用的推理方法。二、建构数学1、 共面向量的定义一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量；理解：若为不共线且同在平面内，则与共面的意义是在内或2、共面向量的判定平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是，类比到空间向量，即有 共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示。三、数学运用ABCDEFNM1，例1 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且.求证：MN

5、/平面CDE证明：= 又与不共线根据共面向量定理，可知共面。由于MN不在平面CDE中，所以MN/平面CDE.2、例2 设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系（其中x+y+z=1）试问：P、A、B、C四点是否共面？解：由可以得到由A,B,C三点不共线，可知与不共线，所以,共面且具有公共起点A.从而P,A,B,C四点共面。 解题总结：推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：。3、课堂练习（1）已知非零向量不共线，如果，求证：A、B、C、D共面。（2）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，。求证：（1）四点E、F

6、、G、H共面；（2）平面AC/平面EG。（3）课本74页练习14四、回顾总结1、共面向量定理；2、类比方法的运用。五、布置作业课 题：空间向量的基本定理教学目标：1掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；2在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。教学重点：空间向量的基本定理及其推论教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解教学过程：一、创设情景平面向量基本定理的内容及其理解如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 二、建构数学1、空间向量的基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在

7、一个唯一的有序实数组，使证明：（存在性）设不共面，过点作过点作直线平行于，交平面于点；在平面内，过点作直线，分别与直线相交于点，于是，存在三个实数，使所以（唯一性）假设还存在使不妨设即 共面此与已知矛盾 该表达式唯一综上两方面，原命题成立由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有

8、序实数，使三、数学运用OA/CMED/B/ADB1、例1 如图，在正方体中，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和解：2、例2 如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量解： 3、课堂练习 课本练习76页练习1，2四、回顾总结五、布置作业 课 题：空间向量的坐标表示一、创设情景1、平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，二、建构数学1、空间直角坐标系：（1）若空间

9、的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面。（3）作空间直角坐标系时，一般使（或），；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系2、空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组

10、，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标3、空间向量的直角坐标运算律（1）若，则，（2）若，则一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。三、数学运用1、例1 已知，求解：2、已知空间四点和，求证：四边形是矩形 解：， 所以， 所以四边形是矩形。课 题：空间向量的数量积二、建构数学 1、夹角定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作规定：特别地，如果，那么与同向；如果，那

11、么与反向；如果，那么与垂直，记作。2、数量积（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即（2）夹角：（3）运算律；（4）模长公式：若，则，（5）两点间的距离公式：若，则，或（6）三、数学运用1、例1已知，求：（1）线段的中点坐标和长度；（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件解：（1）设是线段的中点，则的中点坐标是，（2） 点到两点的距离相等，则,化简得：,所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发现与共线。2、例2 已知三角形的顶点是，试求这个三角形的面积。分析：可用

12、公式来求面积解：，所以，课 题：直线的方向向量与平面的法向量一、创设情景1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？二、建构数学1、直线的方向向量 我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量2、平面的法向量如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量。三、数学运用1、例1 在正方体中，求证：是平面的法向量证：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，A1xD1B1ADBCC1yz建立如图所示空间坐标系 ，所以同理 所以平面从而是平面的法

13、向量。2、 例2 在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式。解：由题意可得 即化简得3、课堂练习已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，（1）求证：是平面的法向量；（2）求平行四边形的面积（1）证明：，又，平面，是平面的法向量（2）， 课堂练习1O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)·(+2)=0，则DABC是（）A以AB为底边的等腰三角形 B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形 D以BC为斜边的直角三角形2P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心3在四边形ABCD中，

14、且·0，则四边形ABCD是（ ）A 矩形 B 菱形 C直角梯形 D等腰梯形4已知，、的夹角为，则以，为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）A B C D5O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心6设平面向量=(2，1)，=(，-1)，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）A B C D7若上的投影为 。8向量，且A，B，C三点共线，则k 9在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在AOB的平分线上且|=2,则=10在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_。

15、同步练习（1） 1.对空间任意两个向量，（），的充要条件是 ( )A、= B、= C、= D、=- 2.在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则(+)等于 ( )A、 B、 C、 D、3已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（ ）ABCD4对空间任意两个向量的充要条件是（ ）ABCD5.在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc其中

16、正确命题的个数为 （ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）36.直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 则 （ ）（A）（B）（C）（D）7.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，+=_ 。 8.如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是_ _。9.已知G为ABC的重心，O为空间任意一点，则用，表示为_。10.空间四边形OABC，点M，N分别是OA，OB的中点，设=，则用，表示的结果是_。11已知两个非零向量不共线，如果，求证：共面12已知，若，求实数的值13已知分别是空间四边形边的中点，（1）用向量法证明：四点共面；（2）用向量法证明：平面同步练习21.下列命题正确的是A、 如果向量，与任何

17、向量不能构成空间的基底，那么，不共线 ( ) B、如果，是三个基向量，那么+，+，+，不能构成空间的一个基底 C、若，不构成空间的一个基底，那么O，A，B，C四点共面D、空间中的基底只有有限个2直三棱柱ABCA1B1C1中，若（ ）AB CD3.设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足则BCD是 （ ） （A）钝角三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定4已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（ ）ABCD5若向量、（ ）AB CD以上三种情况都可能6在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1

18、和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）A B CD6已知是空间二向量，若的夹角为 .7已知点G是ABC的重心，O是空间任一点，若为 3 .8.若构成空间的一个基底，实数x,y,z满足，则x= ,y= ,z= .9.已知S是ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若，则xyz 11.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，P，M，N分别是CA1，CD1，C1D1的中点，点Q在CA1上，CQQA1=41，试用基底，表示以下向量：，。12.已知空间四边形OABC，OA=OB，CA=CB，E，F，G，H分别是OA，OB，CB，CA的中点，求证：EFGH是矩形。AA'B'C

19、'BCMN13.如图：已知正三棱柱ABCA'B'C'的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点。求异面直线AB'与BC'的夹角；同步练习31.若a、b均为非零向量，则是a与b共线的 （ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件2.已知abc0，|a|2，|b|3，|c|4，则向量a与b之间的夹角为 （ ）（A）30° （B）45° （C）60° （D）以上都不对3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都是a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，那么下列运算结

20、果为正值的是 ( )A、 · B、· C、· D、·4.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值是： ( )A、 B、 C、 D、 5.正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是AA1和BB1的中点，则DM与D1N所成角的余弦值是 ( )A、 B、 C、 D、6已知（ ）A-15B-5C-3D-17.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，BAD=900，BAA1=DAA1=600，则A1C等于_。8.正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是

21、上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，如果+x+y，则x=_，y=_。9.已知线段AB、BC都在平面内，BCAB,线段DA,若AB=1,BC=2,CD=3,则DA= .10.在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则 11.空间四边形OABC的各边及对角线长都是1，D，E分别是OA，BC的中点（1） 求证：DE是OA，BC的公垂线；（2）求OA与BC间的距离.12.四面体ABCD中，AB=CD，BC=AD，P、Q分别为AC、BD的中点，求证：PQAC，PQBD.13.O、G分别为四面体ABCD的外接球球心和重心，求证：OG

22、2=R2-(AB2+AC2+AD2+BC2+CD2+BD2)，其中R为外接球半径.同步练习41.给出下列命题： 若点（x，y，z）在xoy平面内，则z=0 若点（x，y，z）在yoz平面内，则x=0若点（x，y，z）在zox平面内，则y=0 若点（x，y，z）在y轴上，则y0其中正确的命题个数是： ( )A、1 B、2 C、3 D、42.下列命题错误的是； ( )A点（x，y，z）关于xoy平面的对称点是（x，y，-z）B点（x，y，z）关于yoz平面的对称点是（-x，y，z）C点（x，y，z）关于zox平面的对称点是（x，-y，z）D点（x，y，z）关于原点的对称点是（-x，-y，z）3设向

23、量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（ ）ABCD4. 下列叙述:在空间直角坐标系中,在轴上的点的坐标一定是;在空间直角坐标系中,在平面上的点的坐标一定可写成;在空间直角坐标系中,在轴上的点的坐标一定可写成;在空间直角坐标系中,在平面上的点的坐标是;其中正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4 5. 已知向量=（2，-3，5）与向量=（3，）平行，则等于（ ） A B C D 6.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为（ ）A (1,7,5) B (1,-7,5) C(-1,-7,5) D (1,-7,-6)7.已知点A（3，-5，7），点

24、B（1，-4，2），则的坐标是_ _，AB中点坐标是_。8.已知A（3，2，1），B（1，0，4），则到A、B两点距离相等的点（x，y，z）的坐标所满足的条件是_。9若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= .10已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），+的坐标为 .11.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D，DB的中点，G在棱CD上，CG=CD，H是C1G的中点.(1)求证：EFB1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦值;(3)求FH的长.12.长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=

25、2AA1=2BC，E为C1D1中点，求证：DE平面EBC。 13.正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CD的中点（1）求证：EB1AD1；（2）求D1E与A1C所成角的余弦值.同步练习51.已知向量，则a与b的夹角为 （ ）（A）0° （B）45° （C）90° （D）180° 2.已知a（2，1，3），b（1，4，2），c（7，5，），若a、b、c三向量共面，则实数等于 （ ）（A） （B） （C） （D）3.已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为 （ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

26、4.已知，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为 （ ）（A） （B） （C） （D）5已知（ ）A B5，2 CD-5，-26.已知=（3，-3，-1），=（2，0，3），=（0，0，2），求·（+）=_。7.与xoy平面的距离为1的点（x，y，z）所满足的条件是_8.设|m|1，|n|2，2mn与m3n垂直，a4mn，b7m2n，则 9.已知向量a和c不共线，向量b0，且，dac，则 .10如图：ABCD为矩形，PA平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN平面PCD ；AA'B'C'BCMN11、如图：已知正三棱柱AB

27、CA'B'C'的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点。求异面直线AB'与BC'的夹角；12.M、N分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中点，(1)求MN与CD所成的角；(2)求MN与AD所成的角.同步练习61.已知向量的夹角为（ ）A0°B45°C90°D180°2.已知:,当取最小值时,的值等于( )A.19 B. C. D.3已知向量的夹角为（ ）A0°B45°C90°D180°4在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）A B CD5.已知=（2，-1，3），=（-4，2，x），若与夹角是钝角，则x取值范围是 ( )A、（-，） B、（-，2） C、（，+） D、（-，）6.=（2，-3，），=（1，0，0），则与夹角为_。7若A(m+1,n-1,