复数经典例题

1、复数经典例题经典例题透析类型一：复数的有关概念2例1.已知复数z(a25a6)i(aR),试求a1实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.a值.6)思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的解析：(1)当Z为实数时，a5a60a1Mia6a210a1当a6时，Z为实数.(2)当Z为虚数时，-2a5a60aa210a，当 aG (oo1)U ( 1,1) U (1, 6)U (6+OO)时,Z为虚数.(3)2 a 有a2当Z为纯虚数时，5a60a1且a67a6a00a6a21，不存在实数a使z为纯虚数.

2、总结升华：由于aGR,所以复数z的实部与虚部分为史N与a25a6.a1求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0）,还需虚部不为0,两者缺一不可.举一反三：【变式1设复数z=a+bi（a、b<ER）,则z为纯虚数的必要不充分条件是（）A.a=0B.a=0且b0C.a0且b=0D.aw0且bw0【答案】A;由纯虚数概念可知：a=0且br0是复数z=a+bi（a、bWR）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择

3、支的情况，应选择A.【变式2】若复数（a23a2）（a1）i是纯虚数,则实数a的值为（）A.1B.2C.1或2D.-1【答案】B；(a23a2)(a1)i是纯虚数，a23a20且a10)即a2.【变式3】如果复数(m2i)(1mi)是实数,则实数m=()A.1B.-1C.V2D.&【答案】B;【变式4】求当实数m取何值时，复数z(m2m2)(m23m2)i分另是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.【答案】(1)当m23m2。即m1或m2时，复数z为实数；(2)当m23m20即m1且m2时，复数z为虚数；-2CC(3)当m2m20即m1时，复数z为纯虚数.m3m20类型二:复数的代数

4、形式的四则运算例2.计算：(1) in(nN);(2)(1i)8(12i)(12i)；(14吗、24i34i解析：2324.2.2(1).i1,iiii,iii1,同理可得:当n4k1(kN)时)i4k1i4ki(i4)k当n4k2(kN)时)i4k2i4ki21)当n4k3(kN)时)i4k3i4ki3当 n 4k 4( k N )时)4k .4k.44、ki i i (i )1 )i (n 4k 1, k N).n 1(n 4k 2, k N) ii (n 4k 3, k N)1(n 4k 4, k N)(n N )(2) (1 i)8 (1 i)24 (2i)4 24i4 16(1 2i

5、) (1 2i)1 2i1 2i(1 2i )(1 2i)12 (2i)2 4i 3 4i 3 4.22- i (1 2i)(1 2i)12 (2i)255 5(1 4i)(1 i) 2 4i3 4i1 4 3i 2 4i 7 i (7 i)(3 4i)ZT223 4i 34i 324221 4 3i 28i25 25i 彳.1 i.2525总结升华：熟练运用常见结论:1) in的调期性” (nN)2) (1 i)2 2i3) (a bi )(a bi) a2 b2举一反三：【变式11计算：(1) (56i)+( 2i) (3+4i)(2) (1 2i)(3 4i)(2 i)(1i)2(1i)

6、3(1i)2(1i)2【答案】(1)(56i)+(2i)(3+4i)二(52)+(61)i(3+4i)二(37i)(3+4i)=(33)+(74)i=11i.(2) (1 2i )(3 4i)(2 i) (12.2.3100. 1 2 L 1013 i i i L i i(3322(1 i) (1 i) (1 i) (1 i) (1 i) (122_(1 i) (1 i)2i ( 2i)【变式2】复数2i 1 iA. 4D.4i【答案】A； 2i 1 i 2 2i【变式3】复数1 3-A. i2i)(2i)247i.505041262.2.2.i(i)ii14)U2i(1i)2i(1i)2i2

7、14i4i()8. 4C.4i一一一2A.8B.8C.8i12i12i2i4i4D.8i【答案】D；(i1)3(i-)3(2i)38i38i.ii类型三：复数相等的充要条件例3、已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x1)+(3y)i=yi,求x、y.思路点拨：因xWR,y是纯虚数，所以可设y=bi(bWR且bw0),代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.解析：:丫是纯虚数，可设y=bi(bWR,且b”,则(2x1)+(3y)i=(2x1)+(3bi)i=(2x1+b)+3i,得(2x1+b) +3i=yi=bii=(b1)i由(2x1)+(3y)i=yi(b-1)i,b

8、43, x 22x 1 b 0b 1 3由复数相等的充要条件得y4i.总结升华:1.复数定义：“形如zabi(a,bR)的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究这是解决复数问题的常用方法.2 .复数相等是复数问题实数化的有效途径之一)由两复数a+bi与c+di(a,b,c,dGR)相等的充要条件是a=c且b=d,可得到两个实数等式.3 .注意左式中的3y并非是(2x1)+(3y)i在右边的 yi中y也并非是实y为实数，的虚部，同样,部.举一反三：【变式52i) -(1 川为虚数单上工，则x1-i1-2i1

9、-3i【答案】由三上工得"i)"1-i1-2i1-3i25即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0)故5x2y-50，解得x-15x4y-150y5xy4【变式2】若zGC且(3+z)i=1(i位)贝Uz=.【答案】设z=a+bi(a,bGR),则(3+z)i=-b+(3+a)i=1由复数相等的充要条件得b=-1且a=-3,即z=-3-i.【变式3】设复数z满足一i,则z()A.2iB.2iC2iD2iV2i,故选C.类型四：共轨复数例4:求证：复数z为实数的充要条件是%z思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共乐

10、复数的概念解析：设zabi(a,bGR),则Wabi性：Qzzabia-bib-bb0zR;必'要性：QzR,b0abia-bizz综上，复数z为实数的充要条件为zz举一反三：【变式1】x,yR,复数（3x2y）5xi与复数（y2）i18的共轲复数相等，求答案1818-(y-2)i (3x 2y) 5xiy.(2 y)i3x 2y 182- y 5x-212【变式2】若复数z同时满足zz2i?ziz（i为虚数单位），则z=.【答案】一1+i【变式3】已知复数z=1+i,求实数a、b使2az2bz(a2z).【答案】.z=1+i).az2bz(a2b)(a2b)i,_2_2_(a2z)(

11、a2)44(a2)i(a24a)4(a2)i-由 az 2bz (a 2z)2彳导a2+6a+8=0.a、b都是实数,a2ba24a,a2b4(a2).两式相加，整理得解得ai=2,a2=4对应得bi=1,b2=2.:所求实数为a=2,b=1或a=4,b=2.类型五：复数的模的概念例5、已知数z满足z+|z|=2+8i)求复数z.法一：设 z=a+bi (a, 代入方程得a bibG R),则|z|灯市,a痴b2 2解得b 82 8i.158，z= 15+8i法二：原式可化为:z=2|z|+8i ,|z|GR,，2|z|是z的实部.于是|z|、.(2|z|)282)即|z|2二684|z|+|

12、z|z|=17,代入z=2-|z|+8i得z=15+8i.举一反三：b为实数.【变式】已知z=1+i,a,(1)若z23z4,求|；az bb的值.2z2 z【答案】(1)| |(az b (1(12i)2(1i)3(1 i) 42i 3 ii)a b (2 a)i b a2z 1(1 i)2 (1 i) 1(a 2) (b a)i,.(a2)(ab)i1ia21a1ab1b2类型六：复数的几何意义例6、已知复数z(m22m3)(m24m3)i(m©R)在复平面上对应的点为Z,求实数m取什么值时，点Z(1)在实轴上；(2)在虚轴上；(3)在第一象限.思路点拨：根据点Z的位置确定复数z

13、实部与虚部取值情况.解析：(1)点Z在实轴上，即复数z为实数，由m2-4m30m3或m1当m缄m1时，点Z在实轴上.(2)点Z在虚轴上，即复数z为纯虚数或0,故m22m30m-1或m3当m-1或m3时，点Z在虚轴上.3)点Z在第一象限，即复数Z的实部虚部均大于0由m22m30,解得m<-1或m>3m4m30当nK-1或m>3时，点Z在第一象限.终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三：【变式11在复平面内，复数Zsin2icos2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】'''-2,sin20,cos20,故相应的点在第四象限，选D.【变式2已知复数z(3m25m2)(m1)i(mR)若z所对应的点在第四象限，求m的取值范围.【答案】:z(3m25m2)(m1)i2.3m5m20解得mi.(m1)0.m的取值范围为m(1，).【变式3】已知z是复数，z2i和三均为实数,zi且复数(z ai)2对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【答案】设 由题意得yz x yi ( x,y R ),z 2i z x(2 y)i )六客 5(x 2i)(21i) -(2x 2) 55(x %由题意得x4z42i8(a 2)i