电大经济数学基础形成性考核册答案

1、电大经济数学基础形成性考核册及参考答案(一)填空题x-sinx1. lim=.答案：0x 0 x上 /、x2 +1, x =0八2.设f (x)=，在x = 0处连续，则k =.答案：1< k, x=0113.曲线y=*，x在(1,1)的切线万程是.答案：y=x+ 2224 .设函数 f(x+1)=x +2x+5,则 f(x)=.答案：2x冗.答案：一一2.w 九5 .设 f(x) =xsinx,则 f () =（二）单项选择题x -11.函数y =、的连续区间是（x2 x -2C.2.（-二,1） - （1，二）(f, -2) . (-2,1)(1，二)下列极限计算正确的是（a. li

2、m 一 x 0 x=1B.(吗2)52,+凶)b. limx-0 xd.(一叫2)(-2，+a)或(-°o,1)u (1,)=1. 1，c. lim xsin =1x_0_ r sin x /d. lim = 1xf x3.设 y = lg2 x ,则 dyA. -dxB.2xdxx ln104.若函数f （x）在点x0处可导，则（ln10c. dxx)是错误的.D. dxxA .函数f （x）在点x0处有定义B- lim f (x) = A，但 A # f (x0) xT°C .函数f （x）在点X0处连续5.当XT 0时，下列变量是无穷小量的是D.函数f （x）在点x0

3、处可微AcXa. 2B.sin xc. ln(1 x)D. COSx（三）解答题1 .计算极限(1)lxm1x2 -3x 2x2 -1x2 5x 6x2 -6x 8原式= lim (x -2)(x - 3)x 2 (x-2)(x -4).1 - x -11(3)lim x P x2(J - x -1)( . 1 -x 1) 原式= iim x 0 x(、,1 -x 1)= l!”-1二 1_-x 12(4)原式=x2 -3x 5lim -2x 厂3x2x 4( 351 x x343 - x xsin3x 3(5)lim x)0 sin5x5sin3x旧 3 3x 3原式=lim 3x =5 x

4、-0 sin5x 55xx -4.(6)lim =4x 12 sin(x -2)x 2原式= limx2 sin(x 2)x 2ljm (x 2)=sin(x - 2) lim -x 2 x -22.设函数f (x)=x : 0x = 0,x 0.1 -xsin b,xa,sin x问：(1)当a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在?(2)当a,b为何值时，f (x)在x = 0处连续.解: lim f (x) = b, lim f (x) =1x_0 x_0当 a=b = i 时，有 lim f (x> f (0>1x_0(2).当 a = b = 1时，有 lim f(x

5、) = f(0) = 1函数f(x)在x=0处连续.3.计算下列函数的导数或微分：(1) y =x2 +2x +log 2 x22 ,求 y'x答案：V' =2x 2 ln2xln2(2)ax by = 7，求 ycx d答案:a(cx d) -c(ax b)2(cx d)ad -bc2(cx d)(3)3 f答案：y )-(3x -5) 2(4) y = x xex,求 y1答案：y(e xe )=2、x1x xe - xe2. x(5)y =eax sin bx ,求 dyy = (eax) (sin bx eax(sinbx) 答案： =aeaxsinbx beax co

6、sbx =eax (sinbx bcosbx)dy , eax(asinbx bcosbx)dx1(6)y =ex +xjx,求 dy+ 3 Vx2dy - ( * x1 12ex)dxx(7)y -cos x -e”求dy答案： y = -sin x ( -. x) -e2 (-x2)sin xx22xe2 x.,sin，x - 42、dy ( 2xe ) dx2 x(8)y =sinn x +sin nx ,求 y 'n_答案：y = nsin x cosx ncosnx(9)y =ln(x + v1 +x2)，求 y'。1答案：y二x 1 x2(x .1 x2)x1x2

7、(1 x2)(10) y=21 x2 xx 1 x21 x2_1_, 1 x2coL13工八领，求yxcos1y =2 x答案：1 .-1In 2 (cos-)(x 2xcos11112 x In 2 sinx 2，x36，x54.下列各方程中y是x的隐函数，试求 y或dy(1)方程两边对x求导:y-2x- 3所以 dy =dx2y - x(2)方程两边对x求导:所以 y，8s(X y)7eXyxycos(x y) xe5.求下列函数的二阶导数：(1) y = ln(1 + x2)，求 y"2x答案：(1) y =1 x21131(2) y =(x -x2) x” x” 22作业(二

8、)(一)填空题1.若 f f (x)dx = 2x +2x +c ,贝U f (x) =.答案：2x ln2 22. J(sinx) dx =.答案：sin x + c2,1一23 .若f(x)dx +(x) +c,则1xf(1 x2)dx=.答案：F(1 x2)+cd e2、.4 .设函数 一 f ln(1+x )dx =.答案：odx 101_.5.若 P(x) = f dt，则 P '(x)=x 1 t2.答案:1_1 x2（二）单项选择题1.2.下列函数中，（DA - cosx22下列等式成立的是（）是xsinx2的原函数.B. 2cosx2C.2-2cosccosx'

9、2a. sinxdx =d(cosx)B.In xdx = d(1) xC. 2xdx = d(2x)In 2-idx =dVx x1 x3 .下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（a . fcos（2x +1）dx, b. x/1 - x2dx4 .下列定积分计算正确的是（ D ） .1a - f 2xdx = 2b .- 4C ) ._xc fxsin2xdx d . f7 dx1 x3_c. （x x ）dx = 05.下列无穷积分中收敛的是（二 1 一B- £ Tdx1 x16dx =15- 1A.二 1 dx冗d. sinxdx = 0-31).-he *c. f exd

10、xd. sinxdx- 01（三）解答题1.计算下列不定积分(1)3xdx原式= e3 xx xdx =-e cln3 e3x-cex(ln3-1)(2)(1 x)2.xdx答案：原式=j(x 2 +2Jx + x2)dx14 3=2x2x232 5-x2 c5(3)x2 - 4-dx答案:x 212 c原式=(x - 2)dx = 一 x - 2x c2(4)11 d(1-2x)ddx答案：原式=1b=1 -2x21 -2xTn1 -2x(5)JxJ2 +x2dx答案：原式=1 . 2 x2d(2 x2) =1(2 2332 2x )2(6)产nNxdx答案:原式=21sinVxdVx =

11、-2cosJx +c xxsinxdx 2答案:,(+) xxsin才x(-)1-2coS2x(+) 04sin-2一 x x原式=- 2xcos- 4sin - c答案：（+） ln（x 1）(8)ln(x 1)dx(-)一 ，.、 x .原式= xln(x 1) - dxx 11= xln(x 1) - (1)dxx 1=xln(x 1) - x ln(x 1) c2.计算下列定积分2(1) J-xdx1212259答案：原式=(1 - x)dx， (x -1)dx=2 (- x - x)1 = 2 -=-11x/112ex 21- 2 彳答案：原式=j ( x )d = e 1 e -

12、e1 x xe31(3dx1 x % 1 ln x答案：原式=e?上 x d(1 + In x) = 2J1 + In xxV1 +ln x1(4) 2 xcos2xdx-0(+)0答案：. （+）（一）1，1原式= (Qxsin 2x：cos2x)22.01 1 二 1一 4 42e(5) x ln xdx1答案：: (+) ln x(-)E- 12 ,原式=-x ln x21 e 彳 1xdx1(e2 1)44(6)p(1 xe')dx答案：:原式=440 xe"dx又,（+）(-)1(+)0xedxL0二(-xeee40-5e“ 1故：原式=5 -5e 4作业三（一）填

13、空题一1-51.设矩阵A =-2则A的元素a23 =.答案：32.设A, B均为3阶矩阵，且 A =3.设A, B均为n阶矩阵，则等式AB = BA4.设A, B均为n阶矩阵，（I1(I -B) AB = -3,则2ABT.答案：一722. 22(A B) =A 2AB + B成立的充分必要条件是B）可逆，则矩阵A + BX = X的解X =.答案:.答案:一1 0一 A C 1.答案：A = 0 20A .若A, B均为零矩阵，则有 A = BB.若 AB = AC,且 A#O,则 B = Cc.对角矩阵是对称矩阵D.若 A#O,B#O,则 AB#O100、一，一，一-一一，5.设矩阵A =

14、 0 20 ，则A =00-3（二）单项选择题1 .以下结论或等式正确的是（ C）2 .设A为3M4矩阵，B为5M2矩阵，且乘积矩阵 ACBT有意义，则CT为（a ）矩阵.A. 2X4 B, 4X2 C, 3M5 D. 5父33 .设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ）.'_11A. (A + B) = A +B , B. (A B) =A BC. AB = BAd. AB = BA4 .下列矩阵可逆的是(A )|1011B.101123_123A.023003_一 111D.12 2B ) .? 11C-P。一2225 .矩阵A =333的秩是(：444 jA. 0

15、B. 1 C, 2 D, 3三、解答题1 .计算21011 -2(1) | Il = I1531 035 Jo o,-101 o_2-3o o,41一31 ,0-1=01j21一 12.计算 一1-33-141 -251 0-1-2一1-1-323.设矩阵A = 1.03T-1-1解因为 ab=IAIb所以 AB =AB一14.设矩阵-1 I=2 0=041 一277191241一1-1一1-2一51511-4解：A =所以当5.求矩阵答案：解:-7-251073-2-1431.0O N 口-O阳）一1r(A)最小。0九一4-0-19 ,=一时，秩r( A)最小为2。71-'4一1-1

16、-8一2一7的秩。11一101电)网_5) 卷找-2) 网-'541234123所以秩r(A) =2。6.求下列矩阵的逆矩阵:1-32(1)A=-301J1一1一答案解：A 1 I-一1-3-321 0 010建 一1321010 10 -4-i)-> 0-9 73110 0 11943-11 1 3所以A，= 2 3 7-3 4 911-13 -6 -3(2) A = -4-2-1-211 一答案解:-13 -6A ,】=-4-221-31001d n d n 电)、虱/-10 104 -410 0 11-21410 7-10 1010 0 11730所以A=2-7 -1.01

17、2一阵A一3212，B =求解矩阵方程XA = B .5 一：2 3 一1答案：X -BA四、证明题1.试证：若B1，B2者B与A可交换，则B1 + B2 ,B1B2也与A可交换。证明：AB1 =B1A, AB2 =B2A.A(B1B2)= AB1AB2 =B1AB2A=(B1B2)A即 B1+B2, B1B2也与A可交换。2.试证：对于任意方阵A, A + AT, AAT, ATA是对称矩阵。证明： (A AT)T = AT (AT)T - AT A - A ATA + AT, AAT, AT A是对称矩阵。3 .设A,B均为n阶对称矩阵，则 AB对称的充分必要条件是： AB = BA。证明

18、：充分性 AT =A, BT = B , (AB)T = AB.AB =(AB)T = BTAT = BA必要性.AT = A , BT = B , AB = BA(AB)T =(BA)T =ATBT =AB即AB为对称矩阵。4 .设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B'=BT，证明B,AB是对称矩阵。证明：.AT = A, B，=BT1_ T _T T1 T 1_T 二1_1_(B AB)=B A (B )=B A(B )= B A(B ) -B-AB即 B,AB是对称矩阵。作业(四)(一)填空题1 ，,，1 .函数f(x)=x+ 在区间内是单调减少的.答案：(一1,0) = (

19、0,1)x2 .一.2.函数y =3(x1)的驻点是 ,极值点是,它是极值点.答案：x =1, x =1 ,小3.设某商品的需求函数为pq( p) =10e 2 ,则需求弹性Ep =.答案：2 p1114.行列式D =111=-1- 11.答案：41115.设线性方程组 AX = b,且At 0-130 0 t+1(二)单项选择题612 ,则t0时，方程组有唯一解.答案：#11 .下列函数在指定区间(一0°,十无)上单调增加的是( B ).A. sinxB.e xC.x 2D. 3 x2.已知需求函数q(p)=100M20.4p,当p=10时，需求弹性为(C)A. 4M2工pln2

20、B. 41n23.下列积分计算正确的是( A )x. x1 e - ea. dx =0.二 2 1 c. xsinxdx = 0 - -ic. -41n2D. -4x2-p1n2B.1 ex e 斗21 23、. 一D-、(x2 + x3)dx = 04.设线性方程组 Amx)X = b有无穷多解的充分必要条件是( d )a. r(A) =r(A) <mb . r( A) <n c. mend . r(A) = r(A) < n5.设线性方程组XiX2 =a1X2X3 = a2则方程组有解的充分必要条件是(Xi +2x2 +X3 =a3a . a1 +a2 +a3 =0 c-

21、 a1 a2 a3 =0b . a1 一 a2 * a3 0d . a1 +a2 +a3 =0三、解答题1 .求解下列可分离变量的微分方程:x:.y二e答案：原方程变形为：dy ex y dx分离变量得： e _ydy = exdx两边积分得：- e，d( -y) - e dx原方程的通解为：-e' =ex Cdy咨dx 3y答案：分离变量得：3y2dy = xexdx两边积分得：3y2dy = xexdx原方程的通解为：y3 =xex -ex C2 .求解下列一阶线性微分方程:(1)=(x 1)3答案：原方程的通解为:（2）y -义三2xsin2x x答案：原方程的通解为：3 .求解

22、下列微分方程的初值问题： y =e2x，,y（0） =0答案：原方程变形为：dy二e2x，dx分离变量得：eydy =e2xdx两边积分得：eydy = e2xdx1原方程的通解为：ey =le2x C2。八八口1将x=0, y=0代入上式得：C =-2V 1 2V 1则原方程的特解为：ey = e22 xy y - ex = 0 , y（1） = 0,1ex答案：原方程变形为：y y= xx原方程的通解为：将x = 1, y = 0代入上式得：C = e则原方程的牛!解为：y =1 （ex 一 e）x4.求解下列线性方程组的一般解：x1+ 2x3 - x4 = 0（1） d x1 +x2 -

23、 3x3+ 2x4 =0<2x1 -x2 +5x33x4 =0答案：原方程的系数矩阵变形过程为：由于秩（A）=2<n=4,所以原方程有无穷多解，其一般解为:x1 = -2x3 + x4（其中x3, x4为自由未知量）。、乂2 =乂3 -x42x1 - x2 + x3 + x4 =1（2） * x1 +2x2 x3+4x4 = 2x1 +7x2 -4x3 411x4 =5答案：原方程的增广矩阵变形过程为： 由于秩（A）=2<n=4,所以原方程有无穷多解，其一般解为:4 1 x1-ex35 53 3X2 = 一 ' X35 56"5x4”一5 （其中x3, x4

24、为自由未知量）。 _ X455.当K为何值时，线性方程组有解，并求一般解。答案：原方程的增广矩阵变形过程为：所以当九=8时，秩（A）=2<n=4,原方程有无穷多解，其一般解为:5 . a,b为何值时，方程组答案：当a = 3且b#3时，方程组无解;当a / 3时，方程组有唯一解；当a = T且b=3时，方程组无穷多解。原方程的增广矩阵变形过程为：-113-11 |有乂）1-2 2 0-1-111 -12-11一三024 a 1 b-1-11-11a 3 b-3讨论:（1）当a # 3, b为实数时，秩（A）=3=n=3,方程组有唯一解;（2）当a = 3, b =3时，秩（A）=2<

25、;n=3 ,方程组有无穷多解;（3）当a = -3, b =3时，秩（A）=3W秩（A）=2,方程组无解；6 .求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C（q） =100+0.25q2+6q （万元） 求：当q =10时的总成本、平均成本和边际成本；当产量q为多少时，平均成本最小？答案：: 平均成本函数为： C（q） =93） =10° +0.25q +6 （万元/单位） q q边际成本为：C （q） =0.5q 6当q =10时的总成本、平均成本和边际成本分别为：-100C（10）=+0.25父10+6=18.5 （万元/单位） 10C'（10） =0.5父10 + 6 =11 （万元/单位）100由平均成本函数求导得：C （q）20.25q令C(q) =0得唯一驻点qi =20 (个)，qi = -20 (舍去)由实际问题可知，当产量 q为20个时，平均成本最小。(2).某厂生产某种产品q件时的总成本函数为 C(q) =20 + 4q+0.01q2 (元)，单位销售价格为 p=140.01q (元/件)，问产量