河南省新乡市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

1、河南省新乡市2019-2020学年度高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分）1 .命题“若产二序，则网=网”的逆命题为（）A.若足二则同丰也|B.若/注M ,则依甘也C.若闺=向，则Y = /D.若川羊也I,贝U/r川【答案】C【解析】【分析】根据命题与逆命题的关系，可得逆命题。【详解】根据原命题与逆命题的关系，可得逆命题为若国二向,则W/护所以选C【点睛】本题考查了命题与逆命题的关系，属于基础题。2 .在等差数列佃j中，a2 + «9=12, 口4 = 3,则叼=（）A. 8B. 9C. 11D. 12【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数

2、列的性质即可求解出的值.【详解】在等差数列戛中，由% + % = I2,得 +与=12,又办产 3, r+a7= 12-3 = 9故选：B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题.3 .在中，角A, B, C的对边分别是边a, b, c,若仪=3书,c = 2 , A+C-则b）A. .B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B的值，根据余弦定理可得 b的值.L71【详解】、,口 = 3#, c-2, A + C o由余弦定理可得：h =6，/ 一 2accosLi =27 + 4-2x33x2x(-y) = A/49=7.故选

3、：C.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.4.已知双曲线三二19。力 0）的实轴的长度比虚轴的长度大2,焦距为b10,则双曲线的方程为(，/ A.U 422土上=I25 922X y-B.16 922x yC. 一9 16D.【解析】【分析】根据双曲线定义及a、b、c关系，求出值即可得到双曲线方程。22X V【详解】因为双曲线 下-百=19口力A 0）的实轴的长度比虚轴的长度大 a2 b22,焦距为10f 2a-2b = 2所以,解方程组得k2 = £ +且焦点在x轴上，所以双曲线标准方程为2216 9所以选B【点睛】本题考查了利用a、b、

4、c的关系求双曲线标准方程，属于基础题。5 .在三棱柱人月匚-百1超1中，若4b a AC bAAl+ - A.B.C. :rD.【答案】D【解析】【分析】可画出三棱柱，结合图形即可求出d二:一,:产一这样根据向量加法的平行四边形法则kr | U g l-l f Le LLfr t +即可求出2二，-【详解】如图，''' AB a AC bAAt u；T_ T _rf T十f _f_f/凡CBABACah，CLCAAte；TT_TTTT.- 一%广匚3%CtC口匕c 故选：D.【点睛】本题考查相等向量、相反向量的概念，向量减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，数形结合

5、的解题方法.6 .设工ER,只Uh,若" a<x<b是“，十H-2E0”的充分不必要条件，则b - 口的取值范围为（）A. :'B. 'C.D.'【答案】C【解析】【分析】解不等式求得x的取值范围，根据充分不必要条件可求出a、b的范围即可。【详解】解不等式,十尤_2工0得_工工#£1因为" a<x<b是“，+的充分不必要条件，且 a<b所以 .所以选C【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，注意边界问题，属于基础题。7 .设直线，的方向向量为a,平面a的法向量为n., lea,则使1口成立的是()A. a =亢=

6、(-1,1,-2)B. £ = 2,-13),亢= (-1,1,1)C. £ = (LLO), m = (2, L0)D. £ = (L 2)，7 = (1,1,2)【答案】B【解析】【分析】由题意，验证a n = 0,得到-Ln ,进而得到答案。【详解】由题意，只有 B中。.-n = 2,L3) - (1,1,1) = 21 ,+3 = 0 ,所以口 故，“日【点睛】本题主要考查了利用空间向量判定点、线、面的位置关系的应用，其中熟记空间向量与线面位置关系的判定方法，熟练使用平面的法向量是解答本题的关键，着重考查了推理 与运算能力，属于基础题。12ty- &quo

7、t;§X + 38.设x, y满足约束条件y主-/-1 ,则/ = 4，+/的最小值为()y <+ 4A.B.C. . ID.：【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论画出 y £ -2犬-1,表示的可行域，如图，1 y<-x +4, 12J X | _由 （：可得，可得出一4,2）,I y = -x + 4f将片-4x + y变形为y = -4x + z ,平移直线y = 4x + z,由图可知当直y =4"+/经过点4一名2）时，直

8、线在尸轴上的截距最小，最小值为z=4x （-4） + 2 = -14,故选C.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.已知点产是抛物线的焦点，点火（2沙）.口弓）。分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若|/1F| = 1O,则占小8F的面积为（）A. 42B. 30C. 18D. 14【答案】A【解析】【分析】 利用焦半

9、径公式可得|力用=2 +/=1。，得到抛物线方程，求得 人.日的坐标，得到HE方程，求出与尤轴交点C,再由面积公式求解.O因为4到焦点F的距离，等于4到准线，=-g的距离，所以 MF| =2+；=10, -.p = lb,则抛物线的方程为 / = 32x,把父=3弋入方程，得y=-4（y=4舍去），即日&-4）.1X 1 一八一 ，y + 42r同理可得以乙B）,则dB： 士一 = ，ip Bx-y-B = O.8+412 2设直线内B与工轴交于。点，已知匚口口），*$ =18- 1）- 1邛1兀1 = 42,故选A【点睛】本题考查抛物线的方程、定义与简单性质，是中档题.与焦点、准线有

10、关的问题一般情况下都与抛物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决10.已知在长方体口中，= BC = 2, "i=4 E是侧棱0g的中点，则直线月E与平面力声门所成角的正弦值为（1 A.D.SC.【答案】B【解析】【分析】以办为原点，。,为工轴，修。为y轴，0均为/轴，建立空间直角坐标系，求得利用向量垂直数量积为零列方程求出再送修的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果在长方体-负向"1。1中,百8=1, BC = 2=4

11、,百是侧棱"1的中点,以D为原点，ZM为工轴，皿：为¥轴，加1为，轴，建立空间直角坐标系，HQQ, 0）,小1（乙。，4）,口（0.0, 0），（2,0, 4）,g二（%,幻,设平面力正。的法向量为= 2x + 4z = 0,取力1,得：=（一2,-2,1）,In DAt川t n DE设直线Z1E与平面/1在口所成角为8 ,IIXEA tt1 44,直线AE与平面&ED所成角的正弦值为4 , 故选B.【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法,以及空间向量夹角余弦公式的应用，是中档题.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标

12、系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.11.在直角坐标系中，产是椭圆。：F十二的左焦点，41P分别为左、右顶点，过点F作喈由的垂线交椭圆。于P, Q两点，连接P8交y轴于点E,连接用E交PQ于点时，若M是线段PF的中点，则椭圆。的离心率为（）1 B.1 D.1C.【解析】【分析】 由题意结合几何性质找到 a, c的关系即可确定椭圆的离心率。【详解】如图，连接BQ则由椭圆的对称性易得/ PBF=/QBF / EA屋/ EBA所以/ EA=/QBF所以ME BQ卅埒俨因为 PMEo PQB 所以=,3 EB |MQ|因为A

13、PB% "BQ所以吧="从而有些一”, OB |EB|MQ 0B, ，一 一 c 0F PM 1又因为M是线段PF的中点，所以e=- =）' = !. =口 0B MQ 3本题选择C选项.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出a, c,代入公式e = ,；a只需要根据一个条件得到关于a, b, c的齐次式，结合b2=a2c2转化为a, c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可 得e（e的取值范围）.12 .设4是数列的前"项和，若.

14、+几=2",贝"1皿=2101 + 2-"C.3D.2100+2A.32101 + 2-1003【解析】【分析】可由题设中的递推关系得到2白怆+一% = 2' 将其变形为2" T% 4-2“ = 2前后用累加法求A。%。可得叫。口.【详解】因为十5“ =之 所以 = 1且+ i+/+i = 2si,所以2% +厂% = 21整理得到2n+1% +12%, = 2即,所以 1OO°ioq -唳。-2"口州 +-2'.加 + + 2*出-A% + 2%,二产+ 产 + + 4+2=2+/ = j7100 , 7-99 所以

15、 a100 =, 选 A.S 1【点睛】数列的通项%与前H项和邑1的关系式% -1舞_§：:4至2 ,我们常利用这个关系式 实现皿/与%之间的相互转化.二、填空题（本大题共 4小题，共20.0分）13 .设命题 p : VxC D2r , sinx < 1 ,则-1P为.【答案】3X0 £ 0方国，*口| > 1【解析】【分析】由全称命题的否定即可得到答案。【详解】根据全称命题的否定，可得-为：.Q £ 。/2文,回力而> 1【点睛】本题考查了含有量词的命题否定，属于基础题。4 , ”3,一一，14 .已知q >3,则一+：丁的最小值为a-

16、316【答案】1【解析】 【分析】根据基本不等式即可求出最小值.【详解】 （2>3,4 a-3+>2a-316,即口 = 11时取等号,若匚=V2b , cosB =, u =3 ?40 34。,口工=1，当且仅当二丁而 故答案为：1 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.15 .在a/HC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,【答案】y 【解析】【分析】由已知利用余弦定理可求又“斑,可求b, c的值，根据余弦定理可求 85日，利用同角三角函数基本关系式可求 5mB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解.【详解】g3 H = 2cosC,，.由余弦定理可得：

17、胃心2整理可得：3d-弘士二口解得：b = l,匚=隹，n口空+匚2 一人"3+2-146. n t避= -= -后-7；二可，可得：£切“=0COS2B =,2ac 2 x 丫3 x v2 m'3c1. c 1 K K 4位,酒 a arc = -sinB = -x 3x2x =.故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角 形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.X2 V216.已知双曲线 F= = ig> 0,占>0）的左、右焦点分别为产1、，过心的直线交C的右支于 A Y b2B两点，4

18、F 1同巴川乂片|二引科司，则C的离心率为 .<10【答案】【解析】【分析】可设MFil = ,t>0,由4M尸J = 3|4E|可得二4"运用双曲线的定义和勾股定理求得t = u, 再由勾股定理和离心率公式，计算可得所求值.【详解】可设附川=；匕t>0,由4M产J =3|人即可得依团"4"由双曲线的定义可得= AFt-2a：it-2a3： - k，- - J： - - I :"由双曲线的定义可得 归Fi| =旧| + 2u = t+4a在直角三角形718fl中，可得IH/I二呼两布1二丸=1+而, 即t二%在直角三角形中，可得+=即为

19、 9口2+口工=,即。=c可得a故答案为:T【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用直角三角形的勾股定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题.三、解答题(本大题共 6小题，共70.0分)2217.已知p ；-H =1表示焦点在 x轴上的双曲线，q：方程4 - m I - hiJr2 + y2 - 2x- 2my + 2m2 - 3 = 0表示一个圆.11)若p是真命题，求m的取值范围；2)若p A守是真命题，求 m的取值范围.【答案】(1) l<m<4； (2) (1,2).【解析】【分析】(I)结合双曲线的定义进行求解即可淳)根据复合命题真假关系，得到p,

20、 q都是真命题进行求解即可.22【详解】解：(1)若：一十上=1表示焦点在x轴上的双曲线为真命题，4 - m 1 - mf 4 - m >or TH < + g.则11 - m C。，倚 ” > 1 ,倚 < 门，< 4 ,由十/ - 2x - 2my + 2m2 - 3=。得口-I)2 十(y - m)2 = 4 - m£ ,若方程表示圆，则4 一 m* >。得一 2 C 2 ,即q： -若P八守是真命题，则p, q都是真命题，则一晨:曹1 2，得1vm<2,即实数m的取值范围是(12).【点睛】本题主要考查命题真假的应用，以及复合命题真假

21、关系，求出命题为真命题的等价 条件是解决本题的关键.18.已知数列£叫满足ai=1, % + l = 3% + 2 .。)证明：数列£% +1是等比数列;设JK-)3(-【答案】（1）详见解析；（2）与二+ 2 + 1 ,求数列b j的前n项和.2)2nT i .【解析】【分析】（I）对数列的递推式两边加 1,结合等比数列的定义，即可得证;由对数的运算性质可得222,11h） fa%I 1 + 1 询+ 2+1历取3"历00 "I百陋+ 1） 几几+1,，再由裂项相皿式-）他。31-）消求和，化简可得所求和.【详解】解：（D证明：数列J £%.

22、满足口1 =工，% + 1 =3% 4-2,可得 4 +1 + 1 = 3(4 + 1),即有数列£% 十1是首项为2,公比为3的等比数列；由(1)可得册十1=2,3“ 1,T22211 ,bt! = = - = 2()即有飞+1 + 1% + 2+1历北3Tll阳算 +1蔺5 + 1) n n + 1 ,W0式-M加典(-)，一11111、1、2门数列网的刖n项和与二町-尹歹-尹+内蜀=式1一堂）=布.【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算 能力，属于中档题.19. 月水：的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且u 一虹"

23、;& =,.（I ）求 A;jj2（1）若匚=4正,cosB= - 7求弘的面积.【答案】（I） ; （n） 2.【解析】【分析】（I ）【方法一】利用正弦定理与三角形内角和定理，结合题意求得C山酒的值，从而求出角 A的值；【方法二】利用余弦定理结合题意求得从而求得 A的值；（n）由同角的三角函数关系求得克nE,再利用三角恒等变换求得，出。，利用正弦定理求得 b,计算八日。的面积.，上一xl2【详斛】斛：（I）【方法一】由已知得5inC - smAcosB smB ,.- ainC = 5jhit -/+ /?) = sinAcosR + casAsinH,% cosAsmB 5mB

24、;A加打开 0 ,A-' egg =, 2.7T由4«0,得儿=彳； 【方法二】由已知得 二：告2bc化简得b2 + c2-a2 =盘be, .b2 + c2- a2 取 二 cos A =：=.重由得同二£；（11）由。58=市1/?E（O,n）,得 5mB = cos2B -2,10在中，= $出（月+那隹7隹 & 钧=sinAcosil + cos Asin IS = x卜X ，一E C匕C4L 5由正弦7E理-V-T=十，得h = -； 河甘-气反X -smL sinHstnc411L隹吗5 A jr = hesinA = - X 1 x4 应 x

25、= 2.hABC 22、2210巡tx 10-，210【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，考查了三角形面积公式,属于中档题.20.如图，在直三棱柱 力区一4比口中，4CE=90,上B/1C = 30的=1 ,小A=强，点M在线段oq上，且，/（I）求匚M的长;（幻求二面角H-#M-。的大小.【答案】（1） ；（2） 4EL【解析】【分析】（I）连接先证明川11，平面再出。，可得同时_14。，利用三角形匚与三角形相似，可得士G1M =,利用直角三角形的性质求得 CM ; （2）连接BD,结合（1）,由线面垂直的性质可得4M工RD,即fBOC为所求角,由等腰直角三角形的性质可得结果.（1）

26、 丁工为直三棱柱，界平面ARC 1平面ACC1A1,"C _M。，.*.日。1平面八。141,所以B。1AM所以 HM_L 平面''1 ' ' I ' ' - 1 ?三角形CD八与三角形G14相似，W/1M = G4a CM = CA X tanCAM =2，（幻设人Mn丹C = D连接bd, 即为二面角H-HM-C的平面角，在4UM中求得CD = 1 , HCD为等腰直角三角形，故£88 = 45".【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直、二面角的求法，属于常规题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面

27、垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命 题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这 种解法的关键是找到平面角.21.已知动圆。过定点且与直线1 = -2相切，圆心C的轨迹为E.（1）求E的轨迹方程；（2）若直线 咬E于尸,Q两点，且线段PQ的中点的坐标为（L1）,求|PQ|.【答案】（1） /二曲（2）工厂【解析】【分析】（1）根据题意，可判断出圆心C的轨迹为抛物线，由抛物线定义即可求得E的轨迹方程。（2）设出直线斜率，两个交点P、Q的坐标，根据中点坐标利用点差法求出斜率，可得直线方程；联立抛物线方程，利用弦长公式即可求得FQI。【详解】解：（1）由题设知，点 匚到点广的距离等于它到直线 3二-2的距离，所以点。的轨迹是以F为焦点x=-2为准线的抛物线