高三数学3用等体积法求体积试题

1、3用等体积法求体积3.1 等积变换求三棱锥的体积【例3】将边长为1的正方形 ABCD沿对角线AC折起，使 ABD为正三角形，则三棱锥A BCD的体积为A. 16解析)C.史12D.ACDB如图3-1 ,取AC的中点O ,BO, ACDO连接二12BO , DO ,由题意,VA BCDVD ABCDO, BO DO _2 ,因为2OB DO 平面 ABC1八SABC DO3ABD为正三角形,图3-111史必.选D.对于三棱锥的体积问题,2212可以任选一面作底面，然后求出已知该底面对应的高.换原则是换底高易求或底面放在已知几何体的某一面上 【变式1】以直三棱柱为背景利用等积法直接求体积直三棱柱A

2、BC A1B1C1中，各侧棱和底面的边长均为 a，点D是CC1上任意一点，连接AB, BD, AD, AD ,则三棱锥 AA1BD的体积为、-3 3【变式1】答案a312【解析】等积变换易求高，D到面ABA 距离为底面正角形的高，则1VA A1BDVD A1BA3 sh1a2,3a.3a212【变式2】等积变换求三棱锥的体积一四棱锥中合理选择底面易求三棱锥的体积（江苏省苏锡常镇四市 2020届高三教学情况调研如图3-2,四棱锥P-ABCD, PAL底面ABCD,AB 2, AD 3, PA 4,点 E为棱 CD上一点,则三棱锥E PAB的体积为【变式2】答案4【解析】VE PAB VP EAB

3、PA S EAB142 3 4.2图3-2【变式3】等积变换求三棱锥的体积一直三棱柱中合理选择底面易求三棱锥的体积（20 15 福州模拟）如图3-3所示，已知三棱柱 ABC- ABC1的所有棱长均为且AA，底面ABC则三棱锥BABC的体积为（）C).12【变式3】答案A【解析】三棱锥B ABC的体积等于三棱锥 A- BBC的体积,三棱锥A-BBC的高为'，底面积为1,故其体积为1x 223 2212图3-3【变式4】等积变换求三棱锥的体积一四棱锥中2次等积变换探究四棱锥的体积比（2020 上海长宁区、嘉定区高三年级第二次质量调研）在四黏t V ABCD中，B1, D1分别为侧棱VB ,

4、 VD的中点，则四面体 AB1CD1的体积与四棱锥 V ABCD的体积之比为（）A.1:6 B . 1:5C. 1:4 D . 1:3【变式4】答案C【解析】由题意可得BB1 P平面ACD1 ,所以11VA B1CD1VB1 ACD1 VB ACD1 VD1 ABC2VD1 ABCD4VV ABCD，故选 C.3.2等积变换合理选择底面高易求例2（2020 山东高考） 如图3-4 ,正方体ABCD/B1CD的棱长为1, E, F分别为线段 AA, BC上的点，则三棱锥 D-EDF的体积为【解析1】 三棱锥DEDF的体积即为三棱锥 FDDE的体积.因为 E,F分别为AA, B1C上的点，所以在正

5、方体 ABCD和QD中 DDE图3-4的面积为定值2, F到平面AADD的距离为定值1,所以Vf-d*=5x 2X1=6.111【解析2】 E点移到A点，F点移到C点，则Vd-edf = Vddac= 3X 2* 1*1*1= 6.【评注】 把握正方体的特征， 合理选择底面易求高，解析 1中注意到 EDD的面积为定值,F到面4EDD的距离为1使问题简单化，解析 2中利用点的特殊性对点进行移动转化特殊四面体的体积求解，凸显等价转化思想的具体应用【变式1】利用等体积法求动三棱锥体积一等积变换合理选择底面易求三棱锥的体积（淮安市2020 高三冲刺四）如图3-5正方体 ABCDABC1D的棱长为1,线

6、段BD上有两个动点 E, F,且EF.2一，则三棱锥B-AEF2的体积为是图3-5、,-1【变式1】答案,12【解析】VbAEF Va BEF1 AC -1 AC 112 12/1SbefEF B01 -3 23223 2 2 212图3-6【变式2】利用等体积法求动三棱锥体积一等积变换合理选择底面易求三棱锥的体积(2020 厦门市质检)如图3-6 ,在棱长为1的正方体ABCD AiBiCiDi中，E是棱BC上的一点，则三棱锥D B£E的体积等于1【变式2】答案1611101【斛析】VD1玲“ VEB1C1D1-SB1C1D1CC1-11-3326【变式3】利用等体积法求动三棱锥体积

7、一等积变换合理选择底面易求三棱锥的体积(2020 广州市高三上学期期中考试如图3-7所示，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别为 DD1DB的中点.则三棱锥VC玲隹的体积为图3-7即 EFB190oC1 r LS BEF 2 EF gB1F3x3V& EFCVC B1EFB1EFCF =3【变式3】答案1【解析】由题设可知Q cf平面BDD1B1CF 平面EFB1即CF为高 ，CF BF J2Q EF 1BD1 33, B1F JBF2 BB； 5诉2 22 疾 0E . B1 D12 D1E2 12 (2 <2)2 3 EF2 BF2 RE2图3-8B

8、1D1 /平面 ABCD 可【变式4】利用等体积法求三棱锥体积一利用等体积法求三棱锥体积的定值 如图3-8 ,正方体ABCD A1B1C1 D1的棱线长为1,线段BiDi上1有两个动点E, F,且EF -,则下列结论中错误的是 ()2(A) AC BE(B) EF/平面 ABCD(C)三B隹A BEF的体积为定值(D) AEF的面积与 BEF的面积相等【变式4】答案D【解析】 可证AC 平面D1DBB1,从而AC BE;故A正确，由知EF /平面ABCD , B也正确；连结 BD交AC于O,则AO为三棱锥 A BEF的高,为定值，C正确；D1 1 12 ,24224-,三棱锥A BEF的体积为

9、-43错误，选D.3.3等积变换求点到面的距离【例4】AB AC(2020BC甘肃省诊断考试）在直棱柱ABC AB1cl中，2, AA1 1 ,3 C2由于三棱柱是直三棱柱,则点A到平面A BC的距离为（）3,34AB.、,3S A1BC12 222,设点A到平面ABC的距离为d4 V5, BC 2,由体积相等得VA ABCVa A1BC ,ABC AA11 2S A BC d，代入计算得d/-| I-J w2sin600 1.3，,故答案为B.2【评注】等积变换求点到面的距离，利用等积变换构造三棱锥换底可求点到面的距离【变式1】以正方体为背景利用等积法求点到面的距离如图3-9 ,在棱长为1的

10、正方体 ABCP ABGD中，E、F分别为棱 AA、BB 的中点，G为棱AB上的一点，且AG=入（0W入W1）,则点G到平面DEF 的距离为.【变式1】答案u -【解析】 等体积法，设h为G到平面DEF的距离. VG- DEF= VADEF= VF- DAE,，4* 平【变式2】三棱柱中等积法求线和面所成的角x h=1x 1 x-x 1, h =22'图3-9.5（天津市南开中学2020 高三第三次月考（理）试题）已知三棱柱底面垂直，体积为ABG的中心，则5_A. 12 B. 3 【变式2】答案B 【解析】如图3-109 ,底面是边长为 J3的正三角形4PA与平面ABC所成角的大小为.若P为底面().C. 4D.所示， AAL底面 ABC,APA为PA与平面1AiC1图 3-10ABC AB1c1的侧棱与BA BQ所成角，又二.平面 ABC/平面 ABC,APA为PA与平面 ABC 所成角.S A1B1C12V3C4AiBiCiAA1 SA1B1cl3 3 AAAA142.解得：AA= J3 .又P为底面正二角形的中心，A1P 一 A1D 13APA1 一故选 B.3在 RtAAP 中，tan/APAuAA1<3A1P'【变式3】等积变换求点到面的距