椭圆双曲线练习卷(含答案)

1、高二数学练习卷(椭圆、双曲线)姓名班级、填空题1 .已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍长、短轴都在坐标轴上，过点A(3,0)，则椭圆的方2 2 2程是 1 + y2 =1 或+ =1 .9 9812 .双曲线的渐进线方程为，且焦距为 10，则双曲线方程为X220 -2 215202 23.与圆(x+3) +y =1 及圆22 yX=1(x <1 )8 * 2 2(x-3) +y =9都外切的圆的圆心轨迹方程为4过点(2, -2)且与双曲线2 2X 2y-y =1有相同渐近线的双曲线方程是专-5 .若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2J15,O)，则椭圆的标准方程是2 280 20

2、=1。6 .若方程y- (Iga X21=一 -a3表示两个焦点都在 X轴上的椭圆，则 a的取值范围是11< a <1037 已知椭圆2Xa +821、5二1的离心率“2，则a的值等于4或2&椭圆一+ =1的焦点为123|P.Fi,F2，点P在椭圆上，如果线段 PFi的中点在y轴上，那么2X y9. 已知点P在双曲线一匚=1上，满足|PF1I =12，则|PF2| =2或22.2592 210. 双曲线7叱F的离心率(1,2)，则k的取值范围是凹2 2 2XyX11. 已知椭圆一 +丄2=1和双曲线一23m5n2m2-爲 =1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方3n程是 y

3、= ± X 42 2 212.曲线 C 的方程为（1 -k x + （3k ”=4（ k壬 R）,当k=1时，曲线C为圆；当kw （_J3,1L（1,1）时，曲线C为椭圆；当kc处,j3Lj1,J3时，曲线C为双曲线；当k=1或k = ±J3时，曲线C为两直线.2 213. P是椭圆 =1上的一点，F1和F2是焦点，若NRPF2=3O”，则也hPF?的面54积等于8-4J3214.双曲线X92y =1的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上.若PF丄PF2 ,则点P到X轴的16距离为一515.过点（0,3）作直线l，如果它与双曲线2L = 1有且只有一个公共点，则直线l的条3

4、数是4条.16.设P是直线y=x+4上一点，过点2 2长轴最短时，椭圆的方程为 .+仝=1.10 6的椭圆的焦点为Fi（2,0） , F2（2,O），则当椭圆17.以下同个关于圆锥曲线的命题中设A、B为两个定点，k为非零常数,| PAI I PB 1= k，则动点P的轨迹为双曲线;设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB , O为坐标原点，若 OP=1（OA+OB）,则2动点P的轨迹为椭圆;方程2x2 -5x+2 =0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;222双曲线 =1与椭圆 + y2 =1有相同的焦点.25935其中真命题的序号为q出所有真命题的序号）2 2 2 2XyXy18 .若椭圆 +

5、=1（mn >0）和双曲线=1（a Ab >0）有相同的焦点mnab二、解答题19求经过椭圆x2+2y2=4的左焦点且倾斜角为 工的直线教椭圆于 A、B两点，求弦AB的3长度。长度为：16720.一椭圆其中心在原点，焦点在同一坐标轴上, 焦点，且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小 7:3，求椭圆和双曲线的方程.焦距为2JT3，双曲线和这椭圆有公共4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为2 2椭圆和双曲线的方程为：+ =1,49362 _y_ 942 2 2 2=1 或I_+z=1, 乂_二=14936942 221.已知定圆C的方程是（x+4） +y =100，定点A的坐标是（4,

6、0）, P为圆C上的一个动点，线段 AP的垂直平分线与半径CP交于点Q,解答：如图，设Q点的坐标是（X, y）。连接QA。 QM 垂直平分线段 AP, /. |QP|=|QA|, |QC|+|QA|=|C P|=10, Q点的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，2轨迹方程是252丄=1。922.如图，B地在 A地的正东方向 4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的没岸 PQ （曲线）上任意一点到 A的距离比到 B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向 B C两地转运货物.经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是 a万元求点Q的轨迹方程。MA北/km、2

7、a万元/km,求修建这两条公路的总费用最低是多少？q此题因需用到圆锥曲线第二定义可暂时不做23.已知F1,F2是椭圆4x2 +5y2 -20=0的两个焦点，过原点作弦 AB，求也F2AB面积的最大值。2 2解：方程化为+=1.54因为yi -y2的最大值就是当A, B分别在短轴端点时取到，所以yi - y2的最大值就是4.所以 Smax = 2 .24.点A、B分别是椭圆2 X362+ y =1长轴的左、右端点，点 F是椭圆的右焦点，点 P在椭20圆上，且位于X轴上方，(1)求点P的坐标;PA 丄 PF。(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于I MB I，求椭圆上的点到点M的

8、距离d的最小值。解(1)由已知可得点 A( 6,0),F(4,0)设点 P(x,y),则 AP = X+6, y, FP = x 4, y,由已知可得2 2区+厶=1<36 201 2l(x+6)(x-4) + y =02 3亠则 2X +9x 18=0, X=-或 X= 6.2由于y>0,只能x=3,于是严2 2点P的坐标是(2,3)2 2直线AP的方程是X J3 y +6=0.设点M( m ,0),则M到直线AP的距离是m +6于是2=m + 6 ,又6 mm < 6解得m=2.椭圆上的点(X, y倒点M的距离d有d*2' +y2 =x 亠 +4 5-9由于一6&

9、lt;m m 6, 当x=时,d取得最小值2X2 眷 X； 一 2),勺57152 225.椭圆一f + y2 = 1(m A1 J与双曲线 一2 - ymn2 =1(n。)有公共焦点F1,F2 , P是两曲线的一个交点，求 iF1PF2的面积。解答：由椭圆和双曲线的对称性，不妨设点 由椭圆和双曲线的定义可知P在第一象限，F1是左焦点，F2是右焦点，PFPF2 =2m, tpF1 -|PF2| =2n|PF1 =m + n,解得1|iPF2 = m -n./. PF1 2 + PF22 =2(m2 +n2 Lx2x2-椭圆 r+ y2 =1(m A1芦双曲线 p-ymn=1(n >0淳公

10、共焦点, m2 -1 = n2 +1 =c2 |F1F2 |2=4c2 =2(m2 -1 tn2 +1 L2(m2 +n2 )= PF1 j + |PF2 ZF1PF2 =-，又m2 -1 = n2 +1，即 m2 -n2 =2 ,21-养1PF2 的面积=PF1 sPF2 '冷宀2 X。26.直线y =ax +1与双曲线3x2 - y2 =1交于A、B两点,(1 )当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？(2)当a为何值时，以 AB为直径的圆过坐标原点?y = ax +1, 八 2解：由 422 得：(3a2k2 2ax-2=0 g ,L3x-y2 =1厂23-a 工0, 2 2e

11、 =(-2a)2 +8(3-a2) >0得当一 J6 c a < J6且a丰±J3时，直线与双曲线交于两点,设 A(xi,yi)、B(X2,y2)-2)由 x1x2 =k"，得: a J3 .(2)以AB为直径的圆过原点 UOA 丄 OB u X1X2 + y1 y2 = 0,- x1x(ax1 +1)(ax1) =0,二(Va2)x1xa(xx2V0,2好+心+1 = 0,+ 2aX1 + X2 =2由(探)得，3 - a2X1X2 = 2L3-a2解得a = ±1.22 y27.设椭圆方程为 x +L=1,过点M( 0, 1)的直线I交椭圆于点 A

12、 B, 0是坐标原点,4点P满足0P =丄(0A +0B)，点N的坐标为(_,_)，当I绕点M旋转时，求:2 2 2(1)动点p的轨迹方程;(2) I NP|的最小值与最大值.可暂时不做28.已知椭圆C的中心在原点 0,焦点在x轴上，右准线的方程为x= 1,倾斜角为1 1线丨交椭圆C于P、Q两点，且线段PQ的中点坐标为(-丄，1).2 4(1)求椭圆C的方程;|ON| 三设A为椭圆C的右顶点，M、N为椭圆C上两点，且I0MI、¥|0A|、者的平方成等差数列， 则直线0M和ON斜率之积的绝对值是否为定值？如果是，请求出定 值；若不是，请说明理由.2 2分析 第(1)可以利用待定系数法，

13、首先设椭圆方程为笃+爲=1 (a > b0)，通过条a2 b2件右准线的方程为 x= 1和倾斜角为壬的直线丨交椭圆C于P、Q两点，且线段PQ的中点411坐标为)，列出方程组，解出 a,匕第(2)问可以先设出 M , N点的坐标，将条件2 4“|0M|、 |0A|> |0N|三者的平方成等差数列”作适当转化，即可。2 2解答：(1)设椭圆方程为 务+£=1 (aAbAO) a b113直线丨的方程为y-_=x +_，即y =x+2424由得：(a2 +b2)x24 3 2,922. 2 c+ a X 十a -a b = 0 2 162设 A(X1, yj, B(X2, y2

14、)，则 Xj +他二一 =T 即 a2 =2b22(a +b )a2又由C的准线方程为x=1得=1即c = a22 2 2又a =b +c 由解得a2二丄,2b21椭圆C的方程为42x2 +4 y2 =1.2 2(2)法一：设 M (X3，y3), N(X4，y4)，则 2x3 +4y3 =1,2 22X4 +4y4 =1两式相加整理得：x32 +X42 +2 (y32 +y /) =1/ | OM|I0AI、丨0NI三者的平方成等差数列,2I OM|2+| ON| I 0M|2+ |ON|32=|0A|2，又A为椭圆C的右顶点，23 22223-， (X3+X4) + (y3+y4 )=-4

15、 4由解得:2X321221+ X4 N "y4|0A|2X3X41 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2二齐-仪 T1®4"?14"3 +y4 严叫 y4 24y3 y42.y3 y4X3 X44，即e 3=円4X3X4法二：设 M(X3, y3), N(X4, y4)，则 ki =匹,2x32 +4y32 =1 ,X3于是 2x3 +4k1 x3 = 1, x：2 +4人22，y3ki2 +4k2同理,2X4 =2 +4k；2 + 4k232由I 0M| 2+|ON| 2= |0A|2，得 x32y34，于是k1+2 + 4k22+4k2k2+ +2+4k；2+4k；1 +k：卜 1 +k；2 +4k22 +4k；解得kf k21I kk=，为定值.2法三：设M (产cos a