考研数学高数真题分类—多元函数微分学

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2、偏导数的计算，方向导数与梯度，多元函数的极值，曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线.其中学习的难点是二重极限、二元函数连续、有偏导数和可微这些概念.这一部分考查的频率不高，且以小题为主，考生在学习时要注重把握相关概念严格的数学定义， 并与一元函数的相关概念进行比较. 本章考查的重点在偏导数的计算及其应用上：首先，偏导数的计算与一元函数的求导并无本质区别，考生只需将一元函数求导的相关知识进行推广， 就可以得到偏导数相应的计算公式；在全面掌握了偏导数的计算方法之后，考生还需要掌握偏导数的各种应用，包括多元函数的极值（无条件极值与条件极值）、曲线的切线与法平面、 曲面的切平面与法线，对于它们，考生

3、只要能计算偏导数，再记住相关的公式定理即可.本章常考的题型有：1. 关于连续、偏导数与全微分定义的考查；2. 偏导数的计算；3. 方向导数与梯度；4. 极值，5. 空间曲线的切线与法平面，6. 空间曲面的切平面与法线.常考题型一：连续、偏导数与全微分1.11994-13分】二元函数f（x,y）在点x°, y°处两个偏导数fx（X0, y0）, fy（X0, y0）存在是 f （x, y） 在该点连续的（）A 充分条件而非必要条件B 必要条件而非充分条件C 充分必要条件D 既非充分条件又非必要条件xy2.11997-13分】二元函数f(x, y)(x,y)(0，0)-,在点(

4、0,0)处()0，(x,y) (0,0)A连续，偏导数存在B连续，偏导数不存在C不连续，偏导数存在D不连续，偏导数不存在3.12002-13分】考虑二元函数f(x, y)的下面4条性质，正确的是()f (x, y)在点(, y°)处连续f (x, y)在点(, y°)处的两个偏导数连续f (x, y)在点(x0,y°)处可微f (x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在ABCD4.12003-34分】设可微函数f (x, y)在点(x°, y°)取得极小值，则下列结论正确的A f(x0,y)在y y0处的导数等于零. B f(x0,y)在y

5、y0处的导数大于零.C f(x0,y)在y y0处的导数小于零. D f(x0,y)在yy0处的导数不存在.5.12007-1 4分】二元函数f (x, y)在点0,0处可微的一个充分条件是()A (xM,0 f(x,y) f(0,0)0.B limf(x,0)f(0,0)。，且 1而“0丹f(0,0)0.x 0 xy 0 yf (x, y) f (0,0)八C lim0.(x,y)0,0、x2y2D limfx (x,0) fx (0,0)0,且 lim fy (0, y) fy (0,0)0.x 0y 0v2.46.12008-34 分】已知 f (x,y)e” y ,则A fx (0,0

6、) , fy (0,0)都存在 B fx (0,0)不存在,fy (0,0)存在C fx (0,0)不存在，fy (0,0)不存在 D fx (0,0) , fy (0,0)都不存在7.12012-14分】如果f (x,y)在0,0处连续，那么下列命题正确的是()(A)若极限limx 0 y 0f (x, y)存在，则f (x,y)在(0,0)处可微(B)若极限lim 萼当存在，则f (x,y)在(0,0)处可微 x 0X y(C)f (x, y)在(0,0)处可微，则极限limx 0y 0f (x, y)存在(D)f (x, y)在(0,0)处可微，则极限lim 萼当存在 x 0 X y8.

7、12012-24分】设函数f(x, y)可微，且对任意x, y都有f(x, y)x0，f(x,y)y则使得f(x1,yj f(x2,y2)成立的一个充分条件是(A) xix2, y1y2(B) xix2, yy(C) X1X2, y1y2(D)X1X2, y1y0,则9.12012-34分】连续函数z f(x,y)满足lim f (x； y) 2x".x2 (y 1)2dz(0,1)【小结】：1、二元函数在 x0,y0处连续当且仅当函数值等于极限值，这里的极限指二重极限，也即 lim f (x, y) f Xq, yo . x X)y yo2、二元函数在x°,y°

8、处的偏导数fxx0, y0就是一元函数f x,yO在xx0处的导 一f (x, y0) f x0, y0 , , _ ,、 ,数，它存在当且仅当极限lim 0 也为 存在.注意，与连续性不同的是：这里的x XqXXq极限过程是一元函数的极限3、判断函数在某一点x0,y0是否可微的方法：首先计算函数在该点的两个偏导数fx x0,y0 , fy x0,y0 .如果二者至少有一个不存在，则不可微.如果两个偏导数都存在，则z fx Xq, yoX fy Xq, yoy计算极限 lim f,如果该极限不存在或不等于0则X, y (。,。)x2y2不可微，如果t极限等于。则可微.4、多元函数各种概念之间的

9、关系与一元函数有所区别，具体来说：在多元函数中，偏 导数存在不一定可导，偏导数存在也不一定连续，但可微则一定是连续并且存在偏导数常考题型二：偏导数的计算1.链式法则的运用yz-,其中f ,g均可微，则一x10.【2000-33 分】 设 z f xy,-y11 .12004-34分】设函数f (u, v)由关系式fxg(y),y x g(y)确定，其中函数“r 2 fg(y)可微，且g(y) 0,则12 .【2005-34分】设二元函数Zx yxe(x 1)ln(1(1,0)13 .【2014-24分】设z z(x, y)是由方程e2 yz确定的函数，则14 .【2006-34分】设函数f(u

10、)可微，且f工，则z2f 4x2在点(1,2)处的全微分dz1,215 .【2009-34分】(xey)x,则 x(1,0)16 .【1998-35分】arctanye x ,求dz与17 .【1994-1分】设uu在点(2,1)处的值为 x y18 .【1998-1八1，分】设z - f (xy) x(x y), f、具有二阶导数,19 .【2007-120 2009-14分】设f (u, v)是二元可微函数，z f(xy, yx),则一zx4分】设函数f u,v具有二阶连续偏导数，z f x,xy21 .【2011-1 4 一一xy sint分】设函数F x,y一2 dt ,0 1 t2则

11、上x22 .【2007-34分】设f(u,v)是二元可微函数,23 .【2008-24分】设Z(1,2)24 .【2012-24分】设zf ln x，其中函数f (u)可微,z 2 zx y 一 x y25 .【1992-1 5分】设zx 2f (e sin y,xy2),其中f(x)具有二阶连续偏导数,26 .【2000-15分】xf (xy,一) yg(-),其中xf具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数，求27.【2001-16函数 z f (x, y)点(1,1)处可f(1,1)1,dx(i,i)(1,1)【2004-210分】3,(x)f (x, f (x, x),求dx3(x)f(

12、x22 xy、y ,e ),其中f具有连续阶偏导数，求29 .【2009-210分】设z f x y, xy,xy ,其中f具有2阶连续偏导数，求dz30 .【1997-35分】设u f x, y, z有连续偏导数，y y x和z z x分别由方程 exy y 0 和 ezxz 0所确定，求du . dx31 .【2013-24分】设z f (xy),其中函数f可微，则-z()(A) 2yf (xy)32 .【2005-1 4有二阶导数,函数，fg(x, y)22gx2x(B)2yf (xy) (C)分】设函数u(x, y)具有一阶导数，则必有()33 .【2007-334.【2011-3【1

13、996-3【2001-3(x y)(D)(xy)f(xy)(t)dt ,其中函数具2u2 y2u-2 .x4分】设f (u,v)是二元可微函数,4分】设函数z可微，p5分】分别由下列两式确定:【2003-381 / 2 fxy,-(x2【2005-382g2 ydzt连续,方程u1.求1,1xyet出，f x, y, z有连续的一阶偏导数，又函数xy 2 和 ex皿dt,求四dx分】设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足2y2),求一gx2g2 yz xxzy一 y其中u是x, y的2f2u分】设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y) fd)xxyf，y多元函数的复合函数求导法则比一元函数

14、复杂，根据复合函数中间变量的不同形式我们有如下求导公式:如果f (u,v)f(dz f du f dv，)'则瓦7而F如果f (u,v)(x,y), 3 则彳如果f (u,v)(x, y), (y),f dv v dy2.隐函数求导39 2005-14 分】设有三元方程xyzlnexy根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程()只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z(x, y)可以确定两个具有连续偏导数的隐函数y(x, z),zz(x, y)可以确定两个具有连续偏导数的隐函数x(y, z),zz(x, y)可以确定两个具有连续偏导数的隐函数y(x, z), x

15、x(z,y)40 .【2002-38分】设函数u f (x, y, z)有连续偏导数,z(x, y)由方程xex yey zez 所确定,du41 .【2004-2设函数zz(x, y)由方程z2x e3z2y确定，则42 .11995-15 分】f x, y,z ,其中f,都具有一阶连续偏导数，且 0,z求电dx43.11999-1 5 分】设 y y(x), z z(x)是由方程 z xf (xy)和 F(x, y,z) 0 所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dzdx2244 .【2008-310 分】 设z z(x,y)是由方程 x y zx y z所确定的

16、函数，其中 具有2阶导数且1时.(1)求 dz(2)记 u x, y1zzu ，求x yxyx45 .12010-1,24 分】设函数zz(x, y)由方程 f , x x0确定，其中f为可微函数zz八且f20 ,则xy()xyA x B z C x D z46 .12013-34 分】 设函数z z(x, y)由方程(z y)x xy确定，则z(1,2) °x47.12015-2,34分】若函数z z(x, y)由方程ex2y 3z xyz 1确定，则dz(00)48.12015-1 4分】若函数z z(x, y)由方程ez xyz x cosx 2确定，则dz (0,1)【小结】

17、：1.隐函数求导实际上是链式法则的应用，处理方式和一元函数中的方法一致，都是对等式两边同时求导，再解方程.2、隐函数存在定理是隐函数求导的理论基础，考试对隐函数求导的考查很多，但对该定理的要求不高，只需记住内容即可.该定理内容如下：设函数F(x, y, z)在点(x0,y0,z0)附近具有连续偏导数，且有 一匕9。,4) 0,则方 z程F(x,y,z) 0在点(%,丫0,4)附近能唯一确定一个函数 z f(x,y),满足4f(x0,y°)_ zFxzFy及,.xFzyFz3.综合运用49.【2006-1 12分】设函数 "6在(0,)内具有二阶导数，且 Z f Jx2 y2

18、满22足等式z z 0x y(I)验证 f (u) L( 0 u(II)若f(1) 0, f (1) 1求函数f(u)的表达式50 .【1996-16分】设变换x 2y ，、可把方程x ay2z6 -x2-20化简为y51.【1997-17分】设函数f(u)具有二阶连续导数f (ex sin y)满足方程e2xz,求 f(u).52 .12007-2 10分】已知函数f(u)具有二阶导数，且f (0)y y(x)由方程y xey 1 1所确定，设zf ln一.一 一 dziy sin x ,求 dx1d2zx 0, dx253.【2010-211 分】设函数u f(x,y)具有二阶连续偏导数，

19、且满足等式24Ux212一ux y2520,y确定a,b的值，使等式在变换 x ay, xby下化简为0.54.【2011-19分】设函数z f(xy, yg(x),其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x 1处取得极值2,、 zg(1) 1,求一 x55.【2014-2已知函数f(x,y)满足2(y 1),且yf(y,y) (y 1)2 (2y)ln y ,求曲线 f (x, y)0所成的图形绕直线 y1旋转所成的旋转体的体积.常考题型三：方向导数与梯度 * (数一)56 2008-1 4 分】x .函数f (x, y) arctan -在点(0,1)处的梯度等于() y57 .

20、【1992-1一 222.3分】函数u ln(x y z)在点M (1,2, 2)处的梯度gradu M58.12012-1 4 分】grad xy y (2,1,1)59 .【1996-13分】函数uln x Jy2 z2在A 1,0,1点处沿A点指向B 3, 2,2的方向导数为60 .12005-14分】设函数u(x, y, z)2y122,单位向量n181 ,、-r1,1,1， .3(1,2,3)61.【2001-13 分】设 r y2?,则 div(gradr) |(i, 2,2)常考题型四：极值1.无条件极值62 .【2003-14分】已知函数f (x,y)在点(0,0)的某个邻域内

21、连续，且xl0mf(x, y) xyn 2 22 20 (x y )A点(0,0)不是f (x, y)的极值点.B点(0,0)是f (x, y)的极大值点.C点(0,0)是f (x, y)的极小值点.D根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.63.12014-24分】设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连222续偏导数，且满足 u- 0及一2 2 0,则(). x yxy(A) u(x, y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；(B) u(x, y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；(C) u(x, y)的最大值点在区域 D的内部，最小

22、值点在区域D的边界上；(D) u(x,y)的最小值点在区域 D的内部，最大值点在区域D的边界上64.12009-1 4分】设函数z f x,y的全微分为dz xdx ydy ,则点(0,0)()A不是f x, y的连续点B不是f x, y的极值点.C是f x, y的极大值点 D是f x, y的极小值点65.【2011-1 4分】设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x) 0, f (0) 0,则函数z f( x)ln f( y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()(A) f (0) 1 , f (0) 0 (B) f (0) 1 , f (0) 0.(C) f(0) 1 , f (0

23、) 0.(D) f (0) 1 , f (0) 0 .66.12011-24分】设函数f (x),g(x)均有二阶连续导数，满足f(0) 0,g(0) 0,且f (0) g(0) 0,则函数z f (x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()(A)f (0)0, g (0)0.(B)f (0)0, g (0)0.(C)f (0)0,g (0)0.(D)f (0)0,g (0)0.67.12009-1,39分】求二兀函数f (x,y)x2 2 y2 y ln y的极值.22268 .12004-112 分】设 z z(x, y)是由 x 6xy 10y 2yz z 18 0 确定

24、的函数，求z z(x, y)的极值点和极值.69.12011-310分】已知函数f u,v具有连续的二阶偏导数,f 1,12 是 f u,v的极值，z f x y, f x, y2z,求1,1x y70 .【2012-1,210分】求f x, y22x yxe 2的极值。71 .【2013-110分】求函数f (x, y)x3x V(y l )e y的极值.372.12015-210 分】 已 知 函 数 f(x, y) 满 足fxy ''(x,y) 2(y 1)ex,f'x(x,0)(x 1)ex,一2f (0, y) y 2y ,求 f(x, y)的极值【小结】：计

25、算函数无条件极值的工具主要是如下两个定理:1)必要条件：设函数 z f (x, y)在(Xo, yo)点具有偏导数，且在该点有极值，则有fxd, y0)0, fy(Xo,y°)0.2)充分条件：设函数 z f (x, y)在(xo, yo)点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设 fx(Xo,yo) 0, fy(Xo, yo) 0.令fxx(Xo, yo)A, Oy(x0,yo)B, fyy(xo, yo) C (回忆定理 fxy(x0,y。)fyx(%,yo)若AC B2 0,则函数z f (x, y)在(Xo,yo)点具有极值.当A 0时取得极小值；当A 0时取得极大值.若A

26、C B2 0,则函数z f(x,y)在(,yo)点没有极值.若AC B2 0,则函数z f(x,y)在(,yo)点可能有极值，也可能没有极值.2.条件极值73.12006-14分】设f(x, y)与(x, y)均为可微函数，且y (x, y) 0.已知(x°, y°)是f (x, y)在约束条件(x, y) 0下的一个极值点，下列选项正确的是()A 若 fx(Xo,y。) 0,则 fy(Xo,y。)0 B 若 fx(Xo,y。) 0,则 fy(xo,yo) 0C若fx(Xo,yo) 0,则 fy(xo,yo) 0 D 若 fx(x°, y°) 0,则 f

27、y(xo,yo) 074 .【2008-111分】已知曲线C:22 c 2x y 2zx y 3z 50 ,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点222 2752007-111 分】求函数 f(x,y) x 2y x y 在区域D x, y | x2 y2 4, y 0上的最大值和最小值.76 .12005-2 10分】已知函数z f(x,y)的全微分dz 2xdx 2ydy ,并且2f(1,1) 2,求f(x,y)在椭圆域D x, y x2 1上的最大值和最小值.422222 .77 .12008-2 11分】求函数u x y z在约束条件z x y和xyz4下的最大值与最小值.78. 【2

28、008-1,211 分 】 已 知 函 数 f x, y x y xy ， 曲 线 C ：x2 y 2 xy 3 ,求f x, y在曲线C上的最大方向导数.79.11999 3 6分】设生产某种产品必须投入两种要素，X1和x2分别为两要素的投入量，Q 为产出量，若生产函数为Q 2x1 x2 ，其中、 为正常数，且1 .假设两种要素的价格分别为p1 和 p2 ， 试问：当产出量为12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？80. 【 2000-36 分】 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是P1 18 2Q1,P2 12 Q2,其中P1和P2分别表示该产

29、品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，Qi和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是C 2Q 5 ，其中Q 表示该产品在两个市场的销售总量，即Q Q1 Q2(1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.22281 .12010-310分】求函数u xy 2yz在约束条件x y z 10下的最大值和最小值 .82 【 2002-1 7 分】 设有一小山

30、，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为 D x2 y2 xy 75，小山的高度函数为h(x, y) 75 x2 y2 xy(1)设M(x0,y0)为区域D上的一个点，问h(x, y)在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为g(x0,yo),试写出g(xo,y。)的表达式( 2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在 d的边界曲线x2 y2 xy 75上找出使(1)中的g(x, y)达至U最大值的点，试确定攀登起点的位置1000083.12012-3 10分】某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入

31、的固定成本为(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为X (件)和(y件)，且固定两种产品X的边际成本分别为 20 一(万兀/件)与6 y (万兀/件)。21)求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元)2)当总产量为 50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。84.12013-2 11分】求曲线x3 xy y3 1(x 0, y 0)上的点到坐标原点的最长距 离与最短距离。【小结】：拉格朗日乘数法是我们处理条件极值问题的主要方法，现对其应用过程总结如下：要求函数z f(x, y)在约束条件

32、 (x, y) 0下的极值点.方法：1)作拉格朗日函数 L(x, y, ) f (x, y) (x, y)fx(x, y)x(x, y)02)解方程 fy(x, y) y(x,y) 0 (x, y) 0(这三个方程其实是找三元函数L(x,y,)的驻点)3)根据实际条件判断所求出的点是极大值还是极小值常考题型五：空间曲线的切线与法平面* (数一)85.11992-1 3分】在曲线x t,yt2,z t3的所有切线中，与平面x 2y z 4平行的切线()A只有1条B只有2条C至少有3条D不存在86 .12001-13分】设函数f (x, y)在点(0,0)附近有定义，且fx (0,0)3, fy

33、(0,0)1,则()A dZ(0,0) 3dx dyB曲面z f (x, y)在点(0,0, f (0,0)的法向量为3,1,1z f(x, yLC曲线在点(0,0, f (0,0)的切向量为(1,0,3)y 0z f (x, y) _ _,D曲线，在点(0,0, f (0,0)的切向量为(3,0,1)y 0【小结】：考试对曲线的切线与法平面的考查仅限于计算，考生只需记住相应的计算公 式即可.相关公式可以这样总结：曲线 x (t), y (t), z (t)( t )在曲线上对应 于t t0的一点的切向量为(t0), '(t0), '(t0),由几何意义可知该向量是切线的方向向

34、量，也是法平面的法向量.再由切线和法平面都要过点(t°), (t°), (t°)可以得到它们的方程分别为一0U0-0与(t°)(xx°)(t°)(yy°)(t°)(zz°)0(t0)(t0)(t。)常考题型六：空间曲面的切平面与法线 * (数一)87.11993-1 3分】由曲线223x 2yz 012 八 1绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0, 3, 2)处的指向外侧的单位法向量为88 .11994-1 3分】曲面z ez2xy 3在点(1,2,0)处的切平面方程为22 ,89.12014-1 4分】曲

35、面z x (1 sin y) y (1 sin x)在点(1,0,1)处的切平面万程为._2_2_290.12000-1 3分】曲面x 2y 3z 21在点(1, 2,2)的法线方程为22 ,91 .12003-1 4分】曲面z x y与平面2x 4y z 0平行的切平面的万程是x y b 092 .11997-16分】设直线l:在平面 上，而平面 与曲面x ay z 3 022 -z x y相切于点(1, 2,5),求a、bN值.293.12013-14分】曲面x cos(xy) yz x 0在点(0,1, 1)处的切平面万程为 ()(A) x y z 2(B) x y z 2(C) x 2

36、y z 3F(x, y, z) 0在曲面上(D) x y z 0【小结】：曲面的切平面和法线相关知识点与上一节类似：曲面一点M(Xo,yo,Zo)处的法向量为(Fx,Fy,Fy),由几何意义可知该向量是切平面的法向量,也是法线的方向向量.再由切平面和法线都要过点M (xo,yo, zo)可以得到它们的方程分别为Fx(x xj Fy(y y0) Fy(z 4)x x00与一-Fxy y0z ZoFy参考答案1 .11994-1 3 分】【答案】D2.11997-1 3 分】【答案】 C3.12002-1 3分】【答案】 A4.12003 -3 4分】【答案】 A5.12007-14分】【答案】

37、C6.12008 -3 4分】【答案】 B7.12012 T 4分】【答案】：(B)8.12012 -2 4分】【答案】：(D)9.12012 -3 4分】【答案】：2dx dy1 ， y10 .12000 3 3分】【答案】yt f2 -2 g y x11 .【2004 34分】【答案】g (v)g2(v)12 .【2005 -34分】【答案】2edx (e 2)dy13.12014 2 4分】【答案】-dx -dy2214 .【2006 -34分】【答案】4dx 2dy15 .【2009 -34分】【答案】2ln 2+116 .【1998 -35分】y arctan- dz e x2x y

38、2dx 2y x dy ; x yxy x2 ar而22 ex y217 .11994 -1 3分】【答案】(一)e18.11998-13 分】【答案】yf (xy) (x y) y (x y)19.12007 -1 4 分】【答案】f1 yxy1f2 yx ln y20 2009 -1 4 分】【答案】xf12 f2 xyf2221 .12011-14分】【答案】422.12007-34 分】【答案】x y-z2 f1 - f2-x yx y223.12008-24分】【答案】 (ln 2 1)224.12012 -2 4分】【答案】：0.25 .11992-1 5 分】【答案】 x2xx

39、,e cosyf1 e sin ycos yf11 2e (ysin y xcosy)f12 4xyf221 一 一 x -1 y26 .12000-15 分】【答案】f一2f2xyfn_3 f22-2g -3 gyyx x27.12001-1 6分】【答案】5128.12004-2 10 分】【答案】 - 2xf1 ye、%, -z xy2yf xeF,2z22、 xy=4xyf112(x y )e 自x y2xyxyxye f22 e (1 xy) f229 .12009-2 10 分】【答案】dz (f1 f2yf3)dx (f f2 xf3)dy2zf3f11f22xyf33(x y)

40、f13 (x y)f23x y_ duff y30 .【1997 3 5分】【答案】 - dxxy 1 xyf z z xz x31 .12013 -2 4分】【答案】A32 2005-14分】【答案】Byx33 2007-3 4分】【答案】2 - f1 - f2 xy34.【2011-34 分】2ln 2 1 dx dy35.【1996 -3 6分】【答案】0xexzf1sin xzz40 .12002 -3 8分】【答案】du41 .【2004-2 3分】【答案】242 .11995-15分】【答案】 f cosxx yf 1 c ' sinxr 2x 1 e cos xz 343

41、 .【1999-1 5分】【答案】dz dx(f xf )Fy xfFx(FyFy xfFzxf Fz0)44 .【2008 -310分】【答案】dz2x dx2y dy36.12001 -3 5分】【答案】du -fdx x x y2237 2003 -3 8分】【答案】x y .38 2005-38分】【答案】 2y f -x x39 2005-14分】【答案】D'x1 xz',y1yzfxfze dxfyfzedyxzz1yzz1u 2 (1 2x)-3x145 .12010 -124分】【答案】B46.12013 3 4分】【答案】2 1 ln 247.【2015-2,34 分】1dx 2dy3348.12015-14 分】 dx49.12006-112分】【答案】1、略；2、f(u) ln u50.11996-16分】【答案】a 351.11997-17分】f (u) C£u C2e u,其中C1、C2为任意常数52.12007-2 10 分】【答案】0；153.12010-2 11 分】【答案】_ d2z .54.【2011-19 分】|x 1dxdy y155.12014-2 10 分】V (256 2008-14分】【答案】57.11992-13分】【答案】58.12012-1 4 分】【答案】：59 .11996 -1 3 分】【答案】