线性代数考题集锦

1、（33%）填空题（试卷E表示单位矩阵）：精选设 (1,2),(1, 1),则2.设矩阵A,则行列式AB 13.若向量组时,1, 2, 3线性相关;4.2 2矩阵的伴随矩阵5.设矩阵A及AE均可逆，G E (A E) 1 ,则G 16 .分块矩阵A E的逆矩阵为；7 .设A是6 5矩阵。若齐次线性方程组 Ax的解空间是2维的，则齐次线性方程组AT x的解空间是 维的；8 .与向量（1,0,1）T,（1,1,1）T均正交的一个单位向量为 ;9 .已知矩阵M 132 4，A MM T ,则当数k满足条件 时，A是正定的；10 .若实对称矩阵 A有两个不同的特征值 ，且A2 3A 2E 。则当参数k满

2、足条 件 时，矢I阵E kA是正定的。（12%）求矩阵方程XA 2X B的解，其中,A 0 1 0 ,B0 0 3三（12% ）设3阶方阵A有特征值1（二重）和 1 ,1是其相应于特征值1的特征向量，99991. 求A及A。是其相应于特征值1的特征向量。2.若3阶实对称矩阵B的特征值也是1（二重）和 1,证明：A与B必定相似。12% ） 设线性方程组x1x2x3x40x13x25x35x42x2px32x4q3x12x2x3(p 3)x411 问：当参数p, q 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？2 当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。1111五( 12% ) 矩

3、阵 A 31 201302O ？为什么？42 相似 .41. 求一 4 2矩阵B,使得AB O,且秩（B） 2;2. 问：是否存在秩大于2 的矩阵 C 使得 AC六（ 12% ） 设实对称矩阵k10A 130与 B0041 .求参数k的值；2 . 求一正交矩阵Q, 使得QT AQ B.七（ 7% ）证明题：1, 2是A的属于1的线性无关的特1 .设1, 2是矩阵A的两个互异的特征值,征向量，3 是 A 的属于2的特征向量。证明：1 , 2 , 3线性无关。2 已知 n 阶方阵 A 相似于对角阵，并且，矩阵A 的特征向量均是矩阵B 的特征向量（注：A ， B 的特征值未必相同）。证明 AB BA

4、 2.3.4.5.6.7.(24%)填空题:假设矢邱车A假设向量组的秩为若向量设矩阵条件1；若矩阵A00，则 An2t ,则当参数t满足条件1时，向量组A时A的秩为11是矩阵b2；时A的秩为3。1的特征向量，则00a,b1 口0，且(A B)(AB) A2 B2,则参数a,b满足4与对角阵 x0a是正交矩阵，则c2 2若对满足条件A23A 4E数a必定满足条件(8% )求矩阵A(15%)已知矩阵.1,若是线性方程组Ax相似，则x满足条件a, b,c满足条件O的实对称矩阵 A, aE A都是正定矩阵，则实的行列式det(A)的值。b的解，试求p,q的值,并求这时Axb的通解;2.若Ax b有无穷

5、多组解，但不是Axb的解,p,q的值。四.(15%)解矩阵方程 XA 2X B。其中5 （ 15% ） 设二次型222f （x1 , x2, x3） x1 2x2 x3 2x1x31 写出二次型f 的矩阵；2 求正交变换X QY 将 f 化成标准形，并写出相应的标准形。6 （ 12% ） 设 3 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 是 2 （ 二 重 ） 和 4 ， 且 1 0 1 T ， 0 1 0 T 是 A 的相应于特征值2 的特征向量，1 01 T 是 A 的相应于特征值是4的特征向量。求矩阵 A及（A 2E）n。七125% ） 已知矩阵A， B2x311yx, y 满足什么条件时，矩阵方

6、程AX B有解，但BY A无解?八 （ 6% ） 证明题：1, 2, 3的秩为2，证1 已知向量组1 , 2 , 3 可以由1, 2 线性表示。若向量组1, 2线性无关。ab2.设2阶方阵A，且a d 2 , ad bc 1。右b, c不全为零，证明:cdA不与任何对角阵相似。(27%)填空题1 .若矩阵A 4 a , B b 52 0 ,且AB BA,则a,b的值分别为0 3a3 .设对任意列向量X b , AXca 2b 3c4a 5b 6c4 .设3阶方阵 A2。若A的行列式A 3,则矩阵B的行列式B 4.设A为n阶可逆方阵，2n阶矩阵bE A的逆矩阵为O A5.齐次线性方程组3x1 2

7、x2 3x30的一个基础解系为226.若二次型 f(x,X2,X3) 2x1 X22x3 2x1x2 tx?x3是正定的，则参数t的取值范围是；7 .若Aa b 是正交矩阵，则参数a,b,c的值分别为c a 28 .假设3阶矩阵 A的特征值为2,1,1。则行列式A A1的值为2b ，则f , g的正惯性指数21 0 19 .若实二次型f,g的矩阵分别为A 0 a 01 0 1相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数a,b满足(14% )假设n阶矩阵A满足A2 2A 3E O。1.证明矢I阵A及A E均可逆，并分别求 A1及(A E)1；2.证明：若AE,矩阵A 3E肯定不可逆。11三(14%

8、)假设矢I阵A 11 , b1111。已知线性方程组 Ax b有无穷多组解。试求参数的值，并求方程组的通解(要求用Ax b的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示)。0 3 4四(15% )已知矩阵A01 0相似于对角阵。1 a 31 .求参数a的值，并求 A的特征值及相应的特征向量;2 .求一可逆矩阵P,使得P 1AP为对角阵，并写出相应的对角阵;3 .问：是否存在正交矩阵 Q ,使得Q 1AQ为对角阵？试说明你的理由。五(12% )已知矩阵A使得 DXA 2DX Bo1六（12%）假设3维向量10 , 2a量组1, 2与向量组1, 2, 3等价。1.求1, 2, 3的秩及其一个最大线性

9、无关组，并求参数a,b,c的值;2,令矩阵A1, 2 ,B 1, 2, 3，求满足AX B的矩阵X。七(6% )假设n阶矩阵A满足A2 2A。1.证明：关于矩阵的秩有等式R(2E A) R(A) n,并且A相似于对角阵;2.若R(A) r ,试求行列式 A E的值。试卷四(30%)填空题1 .设 A 11 01 0 ,则瓜 2E)12 .若矩阵A满足A2。，则E A的逆矩阵(E A) 1 ；3 .若向量组11 t 1 , 21 1 t , 3 t 1 1，的秩为2,则参数t满足条件; .一、一一一一 . 一一 ，,一 * *4 .假设3阶矩阵A的特征值为1,2,3 ,矩阵B E 2A ,其中，

10、A是A的伴随矩 阵，则B的行列式B ;1 1 ,5. A相似于对角阵的充要条件是X满足条件 ;0 x06.若A.3 相似，则x,yy7 .设(1, 1,0)T,(1,0, 1)T是3阶实对称矩阵 A的相应于某个非零二重特征值的特征 向量。若 A不可逆，则 A的另一个特征值为 ,相应的一个特征向量 为;8 . 3元非齐次线性方程组Ax b的系数矩阵的秩为 2,已知1 2 3是它的3个解I , 2 , 3向量，其中1(1,1,1)T, 23 (2,4,6) T,则该方程组的通解是 ；9 .若4阶矩阵A, B的秩都等于1,则矩阵A B的行列式 A B 。1 10%)计算下述行列式取何值时，线性方(1

11、5%)设线性方程组程组有唯一解？当参数取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解(用向量形式表示)111四.(12%)假设矢I阵A111 ，矩阵B满足A B A 1 2B ,其中A是A111的伴随矩阵，求Bo五.（10%）已知向量组 1, 2, 3线性无关，问：参数 a,b,c满足什么条件时，向量组a 12, b 23, c 31线性相关？六（15%）已知二次型222f （x1, x2,x3） x1 2x2 3x3 4x1x2 4x2x3 ，1 . 写出二次型f 的矩阵；2 .求一正交变换x Qy ,将f变成其标准形；3 .求当xTx 1时f （Xi,X2,X3）

12、的最大值。七（8%）证明题：1 . 设向量组1, 2, 3, 4 中，1, 2, 3线性相关，2, 3, 4线性无关，证明：能由 2 , 3 , 4 线性表示。2 .设A是n阶正定矩阵，证明：矩阵A A 1 2E也是正定矩阵。试卷五(30%)填空题1 .设3阶矩阵A ( 1, 2, 3), B ( 2 2 3, 13, 12)。若A的行列式2.3.4.5.6.A 2,与向量矩阵A假设则B的行列式(1,0,1)及(1,1),(0,1,0)都正交的单位向量为的伴随矩阵A(2,3),则 T若A为方阵,已知矩阵A则方阵A的逆矩阵B 12E若A不可逆，则参数a满足条件时，A的秩为7.假设n阶方阵A满足A

13、2 3A 2E O ,则A E是可逆的，且(A E)8.假设矩阵相似于对角阵，并且 2是A的一个二重特征值，则参数x, y的值分别等于1 1 1(12%)已知矩阵11111111 12 .求A的行列式的值；2.根据的不同的值,A的秩及列向量组的极大线性无关组。10012% ）假设A 1 0 0 ， B1012XB XA的解。14%）假设矩阵A112111，b 2 。1111. 问： 当参数取什么值时，线性方程组Ax b 有唯一解、有无穷多组解、无解？3 . 当线性方程组Ax b 有无穷多组解时，求出其通解。0001五（14%）已知三阶方阵 A 2x2与矩阵B 4 相似，求参数x, y的值, 3

14、13y并求一可逆矩阵P ，使得 P 1 AP B 。六（ 12%）设二次型f （x1, x2, x3） x12 2x22 x32 2kx1x31. 求一可逆线性变换将f 变成其标准形；2. 根据参数k 的不同取值，讨论f 的秩及正、负惯性指数；3. 问：当参数k 取什么值时，f 是正定二次型？七（6%）假设A是n阶正交阵。若 A是实对称矩阵，证明：A的特征值只能是1和1,并且，若 A E,则1肯定是A的特征值。试 卷 六一、填空题1 .设3阶方阵A满足AT = A (其中AT表示A的转置)，则行列式|A| = .1 22 .矩阵 的伴随矩阵=.3 43.向量组0,1,6 , 0的秩为 ，它的一

15、个最大线性无关组是12504 .设A为可逆矩阵，则矩阵方程2XA + 3B = C的解X =.5 .设矩阵A =1 x 2是正交矩阵，则x, y的值分别为 .y 16 .二次型 f(x1, X2, X3)= 2 X2 + X2 3X2+ 4X1X2 6X2X3 的矩阵是 .二、选择题1 .设A是4阶方阵，则下列条件中D 与“秩(A) = 3”等价.(A) A的列向量组线性无关，(B) 行列式|A| = 0,(C) A的3阶子式都不为零，(D)齐次线性方程组 Ax = 0的基础解系中仅含有1个解向量.2.设A, B都是2 3的矩阵，它们的转置分别记为 AT和BT,则下列等式中恒成立的是B .(A

16、) ( ATB)T = ABT,(B)行列式 | ATB | = 0,(C)秩(A+B)=秩(A) + 秩(B),AOBTOABT O(D) TT .OBOA OABT3 .下列矩阵中不能相似对角化的是A .(A)(B)(C)4 .下列陈述中正确的是B .(A)若两个矩阵等价，则它们的行列式相等，(B)若两个矩阵等价，则它们的秩相等，(C)若两个矩阵相似，则它们有相同的特征向量(D)若两个矩阵合同，则它们有相同的特征值三、计算题110的值.3221.计算行列式a a 33b 2b 12b 5b 112. 求矩阵 A = 32235 10 的逆矩阵 .473. 对于方程组x1x2x3 3x1 2

17、x2 3x30 来说 ,x1x2 ax3 b(1) 当参数 a 与 b 满足什么条件时无解?(2) 当参数 a 与 b 满足什么条件时有唯一解?(3) 当参数 a 与 b 满足什么条件时有无穷多解?并在此条件下求出其通解.114. 设 = 0 ,= 1 , 用 Schimidt 正交化方法求一个与向量组, 等价的正交向量组101, 2. 并用 1, 2把 线性表示出来.1115.设矩阵 A = 1 2 0 ,102(1) 求 A 的特征多项式和特征值.(2) 求正交矩阵P 使 P 1AP 为对角矩阵.(3) 矩阵 A 的正惯性指数是多少? 矩阵 A 是否为正定矩阵?证明题设 n 阶方阵 A 满

18、足A2 = A, E 为 n 阶单位矩阵. 证明 :(1) A + E 和 A 2E 都可逆 ,(2) A 的特征值只能为0 或 1,(3) A 相似于一个对角矩阵.2006-2007学年第 3学期(上 )线性代数试卷. (18%)填空题 (E 表示单位矩阵).1. 假设 = (1, 3), = (1, 1), 则 ( T )100 = .2. 矩阵 A = 1 2 的逆矩阵A 1 = .343. 若 3 3矩阵 A = ( , , )的行列式等于2, 矩阵 B = ( , , ), 则矩阵 A + B的行列式|A+B| = .4. 齐 次 线 性 方 程 组 3x + 2y 5z = 0 的

19、 一 个 基 础 解 系 是.5. 向量组 1 = (1, 2, 3, 4)T, 2 = (2, 1, 1, 0)T, 3 = (1, 3, 2, 4)T, 4 = (3, 1,4, 1尸的一个极大线性无关组.6. 若 矩 阵12 ab,20 01合 同 , 则 参 数 a, b 满 足 条 件. (12%)选择题 .0, 则正确的命题是().(B) |kA| = k|A|;(D) r(kA) = r(A).1. 假设 A, B 是同阶方阵, 数 k(A) |A + B| = |A| + |B|;(C) r(A + B) = r(A) + r(B);2. 假设矩阵A = 10 23 , 则 不

20、 与 A 相似的矩阵为().(A)1032(B)1002(C)2031(D)01323. 假设 A, B 都是非零矩阵且AB = O, 则正确的命题是().(A) A 的行向量组线性相关;(B) B 的行向量组线性相关(C) A, B 的行向量组都线性相关;(D) A, B 的列向量组都线性相关.x1 x2 kx3 4. (16%)设线性方程组x1 kx2 x3 k2x1 x2 2x341. 参数k 取何值时, 线性方程组有唯一解? k 取何值时, 方程组没有解?2. 当 k 取何值时, 方程组有无穷多组解? 当方程组有无穷多组解时, 求其通解 .100. (16%)设 P = 0 1 021

21、21000 1 0 , 并且 AP = P , 求 A 及 A2008.001五 . (14%)已知向量1311 是矩阵 A = 5 a23 的一个特征向量.1 1 1六.(14%)已知矩阵A =111,求一正交矩阵Q使得QTAQ为对角阵.1 1 1七.(10%)假设n维实行向量 =(a1, a2,an), = (b1, b2,bn),矩阵A =1 .证明：A是对称矩阵当且仅当，线性相关；2 .当，线性相关时，求实数k的取值范围，使得kE + A是正定矩阵.解析几何题一填空题1.四点 A(1,1,1), B(1,1,x),C(2,1,1), D(2,y,3)共面的充要条件为 ；2.222 .设

22、实二次型f(X1,X2,X3) Xikx2 X3 2X2X3,则当k满足条件 时,f (X1 ,X2, X3)1是椭球面；当k满足条件 时，f (X1 , X2,X3) 1是柱面。3 .空间四点 A(1,1,1), B(2,3,4) , C(1,2,k), D( 1,4,9)共面的充要条件是 k ；4 .点P(2, 1,1)到直线l :4U Z的距离为；221-4-F - * -5 .若向量 i aj k, bi j k, k共面，则参数a,b满足.6 .过点P(1,2,1)且包含x轴的平面方程为 .7 .以A(1,1,2), B( 2, 1,1), C( 1,1, 1)为顶点的三角形的面积为

23、 ;8 .直角坐标系中向量（1,1,2）与 （1,0,1）的向量积为;9 .过点P（1,0,1）且与直线 X 上三垂直的平面的方程为 ;21122210.若X 2y z 2kxz 1表示一单叶双曲面，则k满足条件一计算题1.记1为由曲线2y 3绕z轴旋转所产生的旋转曲面X 02为以1与平面1的交线为准线，母线平行于Z-轴的柱面。试给出曲面1及2的方程，并画出1被3所截有界部分在 xy平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）2.x2y z求经过直线xy2z2且与xy平面垂直的平面方程.3.x 2 y 1 z 1 4kH求直线l :在平面2122z 10上的垂直投影直线4.方程.用正交变换化简二次曲面方程22x1 x2 4x1x22X1X32X2X31求出正交变换和标准形）并指出曲面类型.5.设D为由yoz平面中的直线z 0,直线y,( y0）及抛物线y z22围成的平面区域.将D绕y轴旋转一周得旋转体画出平面区域D的图形；（2）分别写出围成的两块曲面§,$2的方程;S1, S2的交线l在zox平面上的投