机械优化设计题目复习资料

1、1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学 形式。求设计变量向量X x X2Xn T使f(x) min且满足约束条件hk(x)0 (k 1,2,I)gj(x) 0 (j 1,2,m)利用可行域概念，可将数学模型的表达进一步简练。设同时满足gj(x) 0 (j 1,2/-m)和hk(x) 0 (k 1,2,I)的设计点集合为R，即R为优 化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成求x使 min f (x) 符号“ ”表示“从属于”。x R在实际优化问题中，对目标函数

2、一般有两种要求形式：目标函数极 小化f (x) min或目标函数极大化 f(x) max。由于求f(x)的极大化与求 f(x)的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极 小化形式。1- 2.简述优化设计问题的基本解法。(不要抄书，要归纳)答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。解析解法就是把所研究的对象用数学方程(数学模型)描述出来，然后再用数学解析方法(如微分、变分方法等)求出有化解。但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描 述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近

3、似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验(探索性的计算)，并根据试验计算结果的比较，逐 步改进而求得优化解。这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题。因此，它是实际问题中常用的方法，很受重视。 其中具体方法较多，并且目前还在发展。但是，应当指出，对于复杂问题，由于不能把所有参数都完全考虑并表达出来， 只能是一个近似的最后的数 学描述。由于它本来就是一种近似，那么，采用近似性质的数值方法对它 们进行解算，也就谈不到对问题的精确性有什么影响了。不管是解析解法，还是

4、数值解法，都分别具有针对无约束条件和有约 束条件的具体方法。可以按照对函数倒数计算的要求，把数值方法分为需要计算函数的二 阶导数、一阶导数和零阶导数(即只要计算函数值而不需计算其导数)的方法。2- 1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ff彳 fcos 1 dxo x1xox2f f cos 1 cos 2xox1 x2 xo cos 2答：二元函数f(x1,x2)在x0点处的方向导数的表达式可以改写成下面 的形式令 f(x0) -f1(x1，x2 )在x0点处的f T并称它为函数fx1 x2 xox2梯度。D方向上的单位向量，则有 即函数 d的方向导数等于函数在该点处的梯度f( x1，

5、x2 )在 x0 点处f(xo)与d方向单位向假设为 沿某一方向 量的内积。梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度的模就是函数变化率的最大值。梯度与切线方向d垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。 梯度f(xo)方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度 -f(x0)方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。2- 2. 求二元函数 f (x1 ,x2) 2彳 x； 2x1 x2 在 x0 0,0T 处函数变化率最大 的方向和数值。解；由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模f(x0)。求f (x1，x2 )在x0点处的梯度万向和

6、数值，计算如下:f X0fx1fx24x1 222x2 1 x0 1f 2f(x0)门2f(x0)1| f(x0). 5f 2 = .5x22152-3.试求目标函数 f X1 ,X23x； 4x1 X2x2 在点 x0二1,0T处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。解：求目标函数的偏导数X16xt 4x2X24Xt 2x2则函数在x0=1,0T处的最速下降方向是f6X14X2f铭2x X1 12 X2 0xx,12x,00P f(X )64这个万向上的单位向量是:新点是新点的目标函数值euXX2- 4.何谓凸集、凸函数、凸规划？（要求配图）一个点集（或区域），如

7、果连接其中任意两点 x1、x2的线段都全部 包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。函数f(x)为凸集定义域内的函数， 若对任何的01与凸集域内的任意两点x1、x2，存在如下不等式：f Xi 1x 2f Xi1x 2称f ( x)是定义在图集上的一个凸函数。对于约束优化问题min f (x)s.t. gj(x)0(j 1,2；",m)若f(x)、gj(x) j=1,2,.,m都是凸函数，则称此问题为凸规划。3- 1.简述一维搜索区间消去法原理。(要配图)答：搜索区间(a，b)确定之后，采用区间逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。假设搜索区间(a,b)内任取两点a1

8、, b1 ，a1b1，并计算函数值f (a1 )，f(b1 )。将有下列三种可能情形；1) f(a1)f (b1 )由于函数为单谷，所以极小点必在区间(a，b1 )内2) f(a1)» f( b1 )，同理，极小点应在区间(a1，b )内3) f (a1 ) =f (b1 )，这是极小点应在(a1，b1 )内bl打f(bi)1_L电1 bl bfCil) fCbl)3)3- 2.简述黄金分割法中 0.618的来由，搜索过程与程序框图。黄金分割法适用于a,b区间上的任何单谷函数求极小值问题。对函数 除要求“单谷”外不作其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适 应面相当广。黄金分割法

9、也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法， 即在搜索区间a,b内适当插入两点1、 2，并计算其函数值。1、 2将区 间分成三段。应用函数的单谷性质， 通过函数值大小的比较， 删去其中一 段，使搜索区间得以缩短。然后再在保留下来的区间上作同样的处置，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。2的位置相对于区间a,b两端点具有对称黄金分割法要求插入点 1 也即b (b a)a (b a)其中，为待定常数。21图a除对称要求外，黄金分割法还要求在保留下来的区间内再插入一点所 形成的区间新三段，与原来区间的三段具有相同的比例分布。设原区间a,b长度为1，如图a所示，保留下来的区间a

10、, 2长度为，区间缩短率为。为了保持相同的比例分布，新插入点3应在(1 )位置上，1在原区间的1位置应相当于在保留区间的12取方程正数解，得2位置。故有21 0若保留下来的区间为 i,b，根据插入点的对称性，也能推得同样的值所谓“黄金分割”是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长 度比值等于较长段与较短段长度的比值，即1: : (1 )同样算得 0.618。可见黄金分割法能使相邻两次搜索区间都具有相同的图b缩短率0.618，所以黄金分割法又被称作 0.618法。黄金分割法的搜索过程是：(1)给出初始搜索区间a,b与收敛精度，将赋以0.618。按坐标点计算公式 1 b (ba)、2 a(

11、b a)计算1和2，并计算其对应的函数值f( 1)， f( 2)。根据区间消去法原理缩短搜索区间。为了能用原来的坐标点计算公式，需进行区间名称的代换，并在保留区间中计算一个新 的试验点与其函数值。(4)检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近，如果条件不满足则返回到步骤(2 )。(5) 如果条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似解。(6)黄金分割法的程序框图如图b所示。3- 3.对函数f( )2 2 ,当给定搜索区间55时，写出用黄金分割法求极小点的前三次搜索过程。(要歹y表)解；此时的a=-5 , b=5。首先插入两点al和a2。可得a1=b-(b a) =-1.18,a

12、2=a+ (b a) =1.18再计算相应插入点的函数值，得y1=f (al) =-0.9676 , y2=f (a2) =3.7524因为y2>y1 ，所以消去区间a2,b，则新的搜索区间a,b的端点a=-5 不变，而端点b=a2=1.18第一次迭代；此时插入点 a1=b- (b a) =-2.639 ， a2=-1.181 。相应 插入点的函数值 y1=f (al ) =1.686，y2=f (a2) =-0.967 ，由于 y1>y2, 故消去区间a，a1,新的搜索区间为-2.639,1.18，如此继续迭代下去 列出前三次迭代结果黄金分割法的搜索过程迭代序号aa1a2bY1比

13、较Y20-5-1.181.185-0.9676<3.75241-5-2.639-1.1811.181.686>-0.9672-2.639-1.18-0.2791.18-0.9676<-0.483-2.639-1.737-1.181-0.279-0.457>-0.4823-4.使用二次插值法求f(x)=sin( x)在区间2,6的极小点，写出计算步骤和 迭代公式，给定初始点X1=2， X2=4，X3=6，e=10 -4。解:i234Xi244.554574.55457X244.554574.736564.72125X36664.73656yi0.909297-0.7568

14、02-0.987572-0.987572y2-0.756802-0.987572-0.999708-0.999961y3-0.279415-0.279415-0.279415-0.999708Xp4.554574.736564.721254.71236yp-0.987572-0.999708-0.999961-1迭代次数K= 4，极小点为4.71236，最小值为-1收敛的条件：4- 1.简述无约束优化方法中梯度法、共轭梯度法、鲍威尔法的主要区别。答：梯度法是以负梯度方向作为搜索方向，使函数值下降最快，相邻两个迭代点上的函数相互垂直即是相邻两个搜索方向相互垂直。这就是说在梯度法中，迭代点向函数极

15、小点靠近的过程，走的是曲折的路线。这一次的搜索方向与前一次的搜索过程互相垂直，形成“之”字形的锯齿现象。从直观上可以看到，在远离极小点的位置，每次迭代可使函数值有较多的 下降。可是在接近极小点的位置，由于锯齿现象使每次迭代行进的距离缩 短，因而收敛速度减慢。这种情况似乎与“最速下降”的名称矛盾，其实 不然，这是因为梯度是函数的局部性质。从局部上看，在一点附近函数的下降是最快的，但从整体上看则走了许多弯路，因此函数的下降并不算快。共轭梯度法是共轭方向法中的一种， 因为在该方法中每一个共轭的量 都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来的，所以称作共轭梯度法。该方法的第一个搜索方向取作负梯度方向，这就是

16、最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度， 也就是对负梯度进行修正。 所以共轭梯 度法实质上是对最速下降法进行的一种改进，故它又被称作旋转梯度法。鲍威尔法是直接利用函数值来构造共轭方向的一种共轭方向法，这种方法是在研究其有正定矩阵 G的二次函数f(x)丄xtGx bTx c的极小化问题2时形成的。其基本思想是在不用导数的前提下，在迭代中逐次构造g的共轭方向。在该算法中，每一轮迭代都用连结始点和终点所产生出的搜索 方向去替换原向量组中的第一个向量，而不管它的“好坏”，这是产生向量组线性相关的原因所在。因此在改进的算法中首先判断原向量组是否需 要替换。如果需要替换，还要进一步判断原向量

17、组中哪个向量最坏，然后再用新产生的向量替换这个最坏的向量，以保证逐次生成共轭方向。4- 2.如何确定无约束优化问题最速下降法的搜索方向？答：优化设计是追求目标函数值最小，因此搜所方向d取该点的负梯度方向-f (x)。使函数值在该点附近的范围下降最快。按此规律不断走 步，形成以下迭代的算法k 1 kkx xf(x ) (k=0，1,2，)k由于最速下降法是以负梯度方向作为搜索方向，所以最速下降法有称为梯度法-能获得最大的下降值，其步长因子ak应取一维搜索的最佳步长。即有k 1kkf xf x a f (x ) min fk为了使目标函数值沿搜索方向kkx a f(x ) min ()根据一元函数

18、极值的必要条件和多元复合函数求导公式得;f (xk 1) T f(xk) 0 或写成由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。 而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻的两个搜索方向相互垂直。这就是说在最速下降法中，迭代点向函数极小点靠近的过程。4-3.给定初始值 x°二-7,11 T，使用牛顿法求函数 f(X1,X2)(X1 2)2 (X1 2x2)2的极小值点和极小值解：梯度函数、海赛矩阵分别为f （Xi ,X2）2（为2） 2（X12x2）4（X12x2）2f （X1，X2）2f（2 分）假设初始值则x1 XX0二-7,11（1分）2f（X0）“11214T141

19、4（4 分）（2 分）（1分）X1满足极值的必要条件，* 1 1 *X X , f （X ）1。1海赛矩阵是正定的，所以是极小点（2 分）4- 4.以二元函数f（X,X2）为例说明单形替换法的基本原理。答：如图所示在平面上取不在同一直线上的三个点x1，x2，x3，以它们为顶点组成一单纯形。计算各顶点函数值，设 f （x1）f（ x2）f（ x3），这说明x3点最 好，x1点最差。为了寻找极小点，一般来说。应向最差点的反对称方向进行搜索，即通过x1并穿过x2x3的中点x4的方向上进行搜索。在此方向上取点x5使x5=x4+（ x4-x1 ）x5称作x1点相对于x4点的反射点，计算反射点的函数值f

20、（X5），可能出现以下几种情形；1）f（x5）f （x3）即反射点比最好点好要好，说明搜索方向正确， 可以往前迈一步，也就是扩张。2）f（ x3） f （ x5） f （ x2 ）即反射点比最好点差，比次差点好， 说明反射可行，一反射点代替最差点构成新单纯形3）f（x2 ） f （x5） f（x1），即反射点比次差点差，比最差点好，说 明x5走的太远，应缩回一些，即收缩。4）f（x5）f（x1），反射点比最差点还差，说明收缩应该多一些。将新 点收缩在x1x4之间5）f（x）f（x1），说明x1x4方向上所有点都比最差点还要差，不能沿此方向进行搜索。5- 1.简述约束优化方法的分类。 （简述约束

21、优化问题的直接解法、间接解法的原理、特点与主要方法。）答:直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，它的基本思路是在m个不等式约束条件所确定的可行域内选择一个初始点x°，然后决定可行搜索方向d，且以适当的步长 沿d方向进行搜索，得到一个使目标1函数值下降的可行的新点 X，即完成一个迭代。再以新点为起点，重复上 述搜索过程，满足收敛条件后，迭代终止。所谓可行搜索方向是指，当设 计点沿该方向作微量移动时， 目标函数值将下降，且不会越出可行域。产 生可行搜索方向的方法将由直接解法中的各种算法决定。直接解法的原理简单，方法实用。其特点是：1）由于整个求解过程在可行域内进行，因此迭代计算不论何时终点，都可以获得一个比初始点 好的设计点。2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可保证获得全 域最优解。否则，因存在多个局部最优解，当选择的初始点不相同时，可 能搜索到不同的局部最优解。 为此，常在可行域内选择几个