函数极限连续重要概念公式定理VIP

1、、函数、极限、连续重要概念公式定理(一)数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列天，如果存在常数A,对任给0,存在正整数N,使当nN时，恒有4A，则称A是数列4的当n趋于无穷时的极限，或称数列xn收敛于A,记为“m%A若Xn的极限不存在，则称数列Xn发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列Xn收敛，即limXnA,则极限是唯一的.n(2)有界性：若limXnA,则数列Xn有界,即存在M0,使得对n均有XnM.n(3)局部保号性：设limXnA,且A0或A0,则存在正整数N,当nN时，有Xn0或Xn0n(4)若数列“敛于A则它的任何子列也收敛于极限A.(二)函数极限的定义名称表达

2、式任给存在当时恒有当XX0时，fX以A为极限当X时，fX以A为极限当xX)0时，fX以A为右极限当X%0时，fX以A为左极限当X时，fX以A为极限当X时，fX以A为极限(三)函数极限存在判别法(了解记忆)1.海涅定理：limfxA对任意一串X0xX),n1,2L，都有xX02.充要条件：(1)limf(x)AlimfxlimfxA;XX0XX0XX0(2)limf(x)Alimf(x)limf(x)A.XXX3.柯西准则：limfxA对任意给定的0,存在0,当xX00X1X0,0x2x0时，有fX1fx2.limfxnAn4 .夹逼准则：若存在0,当0xx0时，有(x)f(x)(x)，且lim

3、(x)lim(x)A,xX)xxo则limf(x)A.xxo5 .单调有界准则：若对于任意两个充分大的x1,x2,xx2，有f为fx2(或fx1fx2，且存在常数M,使fxM(或fxM，则limfx存在.x(四)无穷小量的比较(重点记忆)1 .无穷小量阶的定义，设lim(x)0,lim(x)0.(1)若lim()0,则称(x)是比(x)高阶的无穷小量.(x)若lim3，则(x)是比(x)低阶的无穷小量.(x)若lim(c(c0),则称(x)与(x)是同阶无穷小量.(x)若lim(x)1,则称(x)与(x)是等价的无穷小量，记为(x)(x).(x)(5)若limk(x)c(c0),k0,则称(x

4、)是(x)白k阶无穷小量k(x)2 .常用的等价无穷小量(命题重点，历年必考)当x0时，(五)重要定理(必记内容理解掌握)定理1limf(x)Af(x0)f(x0)A.xx定理2limf(x)Af(x)Aa(x),其中lima(x)0.xx0xx0定理3(保号定理)：设limf(x)A,又A0(或A0),则一个0,当xx0x(%,%)，且x%时，f(x)0(或f(x)0).定理4单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限；单调减少有下界数列必有极限.定理5(夹逼定理)：设在先的领域内，恒有(x)f(x)(x)，且lim(x)lim(x)A,则limf(x)A.x0xx0xx0定理6无穷小量的性质

5、：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量；(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量；(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量.定理7在同一变化趋势下，无穷大量的倒数为无穷小量；非零的无穷小量的倒数为无穷大量.定理8极限的运算法则：设limfxA,limgxB,则lim(f(x)g(x)AB(2)limf(x)g(x)AB（3）lim fix） - （B 0） g（x） B定理9数列的极限存在，则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限.定理10初等函数在其定义域的区间内连续.定理11 设f x连续，则f x也连续.（六）重要公式（重点记，卜内容，应考必备）sin x . lim 1x 0 x1(2)

6、 |im(1 x)x e,lim(11)n ne.（通过变量替换，这两个公式可写成更加一般的形式：设lim f x 0 ,且 f xsin f x-0 则有 lim 1, lim 1 f x f x e)f x0, n mnn 1.a°xaxLan1xana。(3) lim -mmi -, n m -x b°x>xLbm1xbmb,n m（4）函数f x在x M处连续f x0fx°f x°（5）当x时，以下各函数趋于的速度（6）几个常用极限lim ex 0,lim ex,lim xx 1.xxx 0（七）连续函数的概念1. f x在x %处连续，需

7、满足三个条件：f x在点x0的某个领域内有定义f x当xx时的极限存在 lim f x f m lim y lim f & x f m 0.x x0x 0x x02. f x在x0左连续：fx在Xj ,x）内有定义，且lim f xf%x x3. f x在X。右连续：fx在X），X）内有定义，且lim f xfxox xo4. f x在a,b内连续:如果f x在a,b内点点连续.b处左连5.fx在a,b内连续：如果fx在a,b内连续，且左端点xa处右连续，右端点x续.（八）连续函数在闭区间上的性质1.有界性定理：设函数fx在a,b上连续，则fx在a,b上有界，即常数M0,对任意的xa,

8、b，恒有fxM2 .最大最小值定理:设函数f x在a, b上连续，则在a, b上f x至少取得最大值与最小值各一次，即,使得：f max f xa x ba,b ; f min f x , a,ba x b3.介值定理:若函数f x在a, b上连续,是介于f a与f b （或最大值M与最小值m）之间的任一实数，则在a,b上至少一个，使得0,则在a,b内至少 一个，使得4.零点定理：设函数fx在a,b上连续，且fafbf0ab.（九）连续函数有关定理1 .连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商（分母在连续点处的数值不为零）仍为连续函数.2 .反函数的连续性：单值、单调增加（减少）的连续函数，其反函数在对应区间上也单值、单调增加（减少）且连续.3 .复合函数的连续性：ux在点xo连续，xoU0,而函数yfu在点Uo连续，则复合函数yfx在点x0连续.4 .初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数.（十）间断点的定义及分类1.定义：若在xxo处，limfx不存在，或f%无定义，或limfxf为，则称fx在xx0处间xxoxxo断，x%称为fx的间断点.2.间断点的分类间断点的类型条件例子第一类间断点可去型间断点c日